第二章+实验几何(初中)课件

初等几何与几何教学研究之初等几何与几何教学研究之云南师范大学云南师范大学“国培计划国培计划中西部初中数学骨干教师培训中西部初中数学骨干教师培训”第二章第二章 实验几何学实验几何学 实验几何就是人们通过对大量的具体几何实验几何就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对其加以验较为一般的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。系的一种实验型几何的历史阶段。题题 记记提提 纲纲一、概一、概 说说二、点、直线与平面的相互关系二、点、直线与平面的相互关系三、方向、角度与平行三、方向、角度与平行四、恒等、叠合与对称四、恒等、叠合与对称五、小结五、小结六、几点说明六、几点说明数学教学是数学思维的教学。数学思维是数学教学是数学思维的教学。数学思维是一种创造性的思维活动，知识是其外在化一种创造性的思维活动，知识是其外在化的结果，数学观念、数学精神、数学素养、的结果，数学观念、数学精神、数学素养、数学方法等则是结晶。数学方法等则是结晶。实验几何揭示了数学思维与数学知识的产实验几何揭示了数学思维与数学知识的产生、数学观念、精神、素养、方法形成的生、数学观念、精神、素养、方法形成的规律和关系。规律和关系。一、概一、概 说说 实验几何的中心课题是：实验几何的中心课题是：确定空间的基本确定空间的基本概念、把握空间的基本性质。概念、把握空间的基本性质。实验几何学研究的一般程序是：实验几何学研究的一般程序是：问题结论验证（推广、拓展）（推广、拓展）应用应用 实验几何在研究过程中强调：实验几何在研究过程中强调：过程、体验、过程、体验、累积得到的经验。累积得到的经验。论证几何学的研究程序则是：论证几何学的研究程序则是：它强调的是培养逻辑思维和推理能力。它强调的是培养逻辑思维和推理能力。结论（推广、拓展）（推广、拓展）问题问题应应 用用1.1.位置与路径位置与路径问题：问题：几何学是研究几何学是研究“空间空间”的科学，而的科学，而空间中空间中最原始、最基本最原始、最基本的概念是的概念是“位置位置”。空间看作由所有可能的位置所组成的总体。空间看作由所有可能的位置所组成的总体。二、点、直线与平面的相互关系二、点、直线与平面的相互关系.线段（曲或直）段（曲或直）（1）位置）位置点点路径路径（2 2）连接）连接P P、Q Q两点的路径有许多，哪一条两点的路径有许多，哪一条最短？最短？实验：实验：借助光学实验借助光学实验：由光学实验：光在均匀介质中走直线；由光学实验：光在均匀介质中走直线；光走最省时间的路，所以，连接光走最省时间的路，所以，连接P、Q两两点最短的路径是直线段点最短的路径是直线段推广：推广：（1）由）由P出发的光线可向点出发的光线可向点Q无限延伸，点无限延伸，点Q出发的光线可以向点出发的光线可以向点P无限延伸，因此，无限延伸，因此，两两点确定唯一的直线点确定唯一的直线PQ。（2）相交两直线定一点。相交两直线定一点。反证：若反证：若 光学光学实验：两眼成像。：两眼成像。结论：结论：（1）“位置位置”与与“路径路径”是空间中最原始、是空间中最原始、最基本的概念，在几何学的讨论中，点是最基本的概念，在几何学的讨论中，点是位置的抽象化、线是路径的抽象化。位置的抽象化、线是路径的抽象化。【生活概念：位置、路径生活概念：位置、路径抽象成抽象成科学概念：科学概念：点、直线（或曲线）点、直线（或曲线）】（2）对空空间中任意中任意给定的两点（相异）定的两点（相异）P、Q，连接接P、Q两点所有的路径中，两点所有的路径中，以直以直线段段（3）直线可以向两端无限延伸）直线可以向两端无限延伸基本规律基本规律（4）相异两点定直线，相交两直线定一点）相异两点定直线，相交两直线定一点 基本性质。基本性质。应用应用：上述结论成为几何学中不定义概念和上述结论成为几何学中不定义概念和公理。公理。课课 例例北师大版北师大版数学数学七年级上册第一章七年级上册第一章“丰丰富的图形世界富的图形世界”课题：课题：第第 1单元单元“生活中的立体图形生活中的立体图形”第第2课课时时教材第教材第7页给出了一幅情境图：页给出了一幅情境图：“立交桥立交桥”有些教师看不懂教材在这里放这幅情境有些教师看不懂教材在这里放这幅情境图的用意是什么？其实，教材编写的意图的用意是什么？其实，教材编写的意图就是图就是通过对立交桥中的物体进行抽象通过对立交桥中的物体进行抽象得到得到“位置位置”，再抽象成，再抽象成“点点”，这，这些点分为些点分为定点定点和和动点；动点；动点运动的路径动点运动的路径抽象成抽象成“线段线段”(直的或曲的直的或曲的)。在第在第8页的页的“想一想想一想”中，又出现了中，又出现了3副情副情境图：分别是风筝、汽车雨刷和圆锥。这境图：分别是风筝、汽车雨刷和圆锥。这三幅情境图说明三幅情境图说明点动成线、线动成面点动成线、线动成面(平的平的或曲的或曲的)、面动成体。、面动成体。丰富的图形世界就是丰富的图形世界就是由由“点点”、“线线”、“面面”、“体体”这四这四种元素组成。种元素组成。在教材的第一单元第在教材的第一单元第1课时中，教材以课时中，教材以“几几何之旅何之旅”为题，给出了情境图（为题，给出了情境图（赛车、建赛车、建筑物、地球等筑物、地球等），再以），再以“议一议议一议”的方式，的方式，让学生从生活中的物体（让学生从生活中的物体（窗、书桌、书柜、窗、书桌、书柜、铅笔盒、笔筒、书籍、魔方、足球等铅笔盒、笔筒、书籍、魔方、足球等）再）再次抽象几何体：次抽象几何体：圆柱、圆锥、正方体、长圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球。方体、棱柱、球。之后，教材再以牛奶盒、之后，教材再以牛奶盒、螺丝钉为情境，说明几何体可以由两个以螺丝钉为情境，说明几何体可以由两个以上的几何体组成，最后介绍直棱柱和斜棱上的几何体组成，最后介绍直棱柱和斜棱柱。柱。在习题在习题1.1中，首先通过中，首先通过“数学理解数学理解”，让，让学生对构成几何体的面进行分类：学生对构成几何体的面进行分类：正方体、正方体、长方体、球、圆柱、圆锥、四棱柱、三棱柱。长方体、球、圆柱、圆锥、四棱柱、三棱柱。之后是从生活中的立体图形抽象几何体，再之后是从生活中的立体图形抽象几何体，再通过通过“联系拓广联系拓广”指明：指明：图形由点、线、面图形由点、线、面构成构成，其中特别指明面有平的和曲的；，其中特别指明面有平的和曲的；面与面与面相交得线、线与线相交得点。面相交得线、线与线相交得点。以上这些内容，既是对小学以上这些内容，既是对小学“图形的认识图形的认识”的复习，也是对中学阶段学习几何的导课。的复习，也是对中学阶段学习几何的导课。这就是一个教学的这就是一个教学的“先行组织者先行组织者”。2.2.长度和度量长度和度量问题问题：直线段：直线段 的长度叫做的长度叫做P、Q两点间两点间的距离，的距离，长度是最基本的度量性质，长度是最基本的度量性质，如何如何理解长度？理解长度？实验：实验：（1）取定一个长度单位）取定一个长度单位u，被测线段，被测线段a恰恰好是好是u的的m倍，则倍，则a的长度为的长度为m：u.（2）设单位长度恰好可以分为）设单位长度恰好可以分为n段，被测线段，被测线段段b恰好等于其中一段，则的长度为恰好等于其中一段，则的长度为（3）将）将单位位长分分为n段，使被段，使被测线段段c恰好是恰好是的的m倍，倍，则的的长度度为【注注】以上三种情况，称两线段可以上三种情况，称两线段可“公度公度”，即可以同时找到某个线段同时量尽这两个线段。即可以同时找到某个线段同时量尽这两个线段。结论：结论：（1 1）一个量的量数是该量对单位量的比。）一个量的量数是该量对单位量的比。（2 2）同类二量对同一单位的量数之比，称为）同类二量对同一单位的量数之比，称为二量的比。二量的比。（3 3）若量数是有理数，则称）若量数是有理数，则称a a可公度，若量可公度，若量数是无理数，则称数是无理数，则称a a不可公度。不可公度。一般，一般，一个正五边形的边长与对角线之比一个正五边形的边长与对角线之比不可公度；不可公度；正方形的边长和对角线的之比正方形的边长和对角线的之比也不可公度。也不可公度。应用：应用：数轴数轴OEPx10规定：规定：平面直角坐标系：平面直角坐标系：规定：规定：OOEP(x，y)xy3.3.直线和平面直线和平面平面：平面：直观地说，平面是一个直观地说，平面是一个“处处平直处处平直”的面，其中的面，其中“平直性平直性”的检验方法是：的检验方法是：拿一根直尺所要检查的平面上各处比较，拿一根直尺所要检查的平面上各处比较，看看是否总可以密合。看看是否总可以密合。将上述方法加以抽象，可得：将上述方法加以抽象，可得：（1）平面的特性：平面的特性：平面处处平直且可以向四平面处处平直且可以向四方无限延伸，其特性是：方无限延伸，其特性是：对于平面上两个对于平面上两个相异点相异点P、Q，直线，直线PQ完全包含在这个平面完全包含在这个平面内。内。（2）不共线三点确定一个平面。）不共线三点确定一个平面。（2）不共线三点确定一个平面。）不共线三点确定一个平面。设设A、B、C是空间中不共线的是空间中不共线的三点，连接三点，连接AB、BC、CA得三得三条相异直线。条相异直线。再设再设PAB、QBC、RCA，连接，连接PC、QA、RB.让点让点P、Q、R分别在直线分别在直线AB、BC、CA上移动，则上述三直线分别上移动，则上述三直线分别绕点绕点C、A、B转动。转动。RBCAPQ从而编织出一个包含从而编织出一个包含A、B、C三点的平面三点的平面（因为满足（因为满足“密合密合”）反之，设包含反之，设包含A、B、C三点的平面是三点的平面是，则，则由平面的特性，直线由平面的特性，直线AB、BC、CA落在平落在平面面上，而且由它们编织而成，这说明：上，而且由它们编织而成，这说明：空空间不共线三点确定唯一的平面间不共线三点确定唯一的平面。推论推论1：一直线及线外一点确定唯一的平面。一直线及线外一点确定唯一的平面。【说明说明】设设l是空间中任意给定的一条直线，是空间中任意给定的一条直线，P是不在是不在l上的定点。在上的定点。在l上任取相异两点上任取相异两点A、B，则，则A、B、P是不共线三点，确定一个平是不共线三点，确定一个平面，由平面的特性，该平面包含直线面，由平面的特性，该平面包含直线推论推论2：相交两直线确定一个平面。相交两直线确定一个平面。【说明说明】设设l1、l2是空间中任意两条直线，是空间中任意两条直线，l1与与l2相交于一点相交于一点A.在在l1、l2上分别取点上分别取点B、C，则，则A、B、C三点为不共线三点，确定一三点为不共线三点，确定一个平面，由平面的特性，该平面包含直线，个平面，由平面的特性，该平面包含直线，直线与平面的关系：直线与平面的关系：（1 1）空间中任何两个相交的平面，其交界）空间中任何两个相交的平面，其交界是一条直线。是一条直线。（2 2）对空间一条给定的直线）对空间一条给定的直线l l，存在无穷多，存在无穷多个包含的平面。个包含的平面。实例：实例：门轴和门门轴和门结论：结论：点、直线和平面点、直线和平面这三个空间中最简这三个空间中最简单、最基本的几何想象，具有下列简明的单、最基本的几何想象，具有下列简明的相相“关联关联”（“关联关联”也可称为也可称为“结合结合”）的基本性质。）的基本性质。两点定一直线；两点定一直线；平面平面包含相异两点包含相异两点A A、B B时，它包含整条时，它包含整条直线直线ABAB；不共线三点定一个平面；不共线三点定一个平面；空间中两相交平面交于一直线；空间中两相交平面交于一直线；一条直线一条直线l上一点上一点P把它切成两段；把它切成两段；一个平面一个平面上一直线上一直线l把它切成两侧；把它切成两侧；空间中一个平面空间中一个平面把全空间切成两半。把全空间切成两半。【注注】这里的这里的、常称为常称为“剖分剖分”定理定理.1.1.方向与夹角方向与夹角问题：问题：（在日常生活中）如何笔直地从（在日常生活中）如何笔直地从A点点走到走到B点？点？实验：实验：（借助经验或本能）（借助经验或本能）三、三、方向、角度与平行方向、角度与平行光线光线射线射线得到启示：得到启示：射射线可表示方向可表示方向用用夹角表示两个方向的差异。角表示两个方向的差异。定义定义：（1）自某点）自某点A出发的所有方向和以点出发的所有方向和以点A为始为始点的射线是一一对应的，所以，点的射线是一一对应的，所以，几何学中几何学中以一条射线表示一个方向。以一条射线表示一个方向。（2）自点）自点A出发的方向，可以用它所对应的出发的方向，可以用它所对应的射线的一个部分来表示。射线的一个部分来表示。因此，因此，“方向方向”是一个是一个“局部性局部性”概念。概念。（3）设射线）设射线 、分别表示两个由点分别表示两个由点A出出发的方向，这两个方向的差则是发的方向，这两个方向的差则是 .在几何中，在几何中，“夹角夹角”定义为平面定义为平面中以射中以射线线 和和 为界的区域，它可以想像为界的区域，它可以想像成射线成射线 沿平面沿平面绕点绕点A旋转到旋转到 而成。射线经过的区域叫做角的内部。而成。射线经过的区域叫做角的内部。（4）角也是一种局部概念。角也是一种局部概念。ABC认认 识识 角角 直观形象直观形象 本质抽象本质抽象逐步强化本质属性逐步强化本质属性,随之淡化非本质属性。随之淡化非本质属性。经历从生活到数学的经历从生活到数学的“数学化数学化”过程过程.直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象直观形象本质抽象本质抽象顶点顶点边边边边2.2.角度与旋转角度与旋转两个方向的夹角其实是一个方向旋转到另两个方向的夹角其实是一个方向旋转到另一个方向的一个方向的“途径途径”，途径可以度量，因途径可以度量，因此，角度是旋转量多少的度量。此，角度是旋转量多少的度量。问题：问题：什么是角度的度量？什么是角度的度量？方法：类比线段的度量，取一个单位（平方法：类比线段的度量，取一个单位（平角的角的 1/180 ），再去和要度量的角比较大），再去和要度量的角比较大小。实现角度比较大小的手段是平移和旋小。实现角度比较大小的手段是平移和旋转。转。平移：平移：让角顶重合；让角顶重合；旋转：旋转：且且“角区角区”位于重合边的位于重合边的某一侧。某一侧。（1）角的大小。）角的大小。BAC和和BAC有以下三种关系之一。有以下三种关系之一。用一张透明的胶片复制用一张透明的胶片复制BAC，然后把将，然后把将胶片盖在胶片盖在BAC上，使上，使 （平移平移），），再让再让AB=AB，以实现角度大小的比较。，以实现角度大小的比较。ACBABC（2）两角相加）两角相加BADBACCAD若两角相加得一平角时，称两角互为补角，若两角相加得一平角时，称两角互为补角，简称简称互补互补。（3）角的度量与量角器）角的度量与量角器单位：单位：“度度”、“分分”、“秒秒”工具：工具：量角器量角器结果：近似值结果：近似值（4）角度与测量）角度与测量测量学的课题是：测量学的课题是：确定所要测确定所要测量的各点之间的相对位置。量的各点之间的相对位置。测量学的基本方法是：测量学的基本方法是：将要测将要测量的相对位置化归为：量的相对位置化归为：“基线基线”的长度和各可观测点之间的的长度和各可观测点之间的方向的测定。方向的测定。PAB基线基线测测AP的距离、方位，可化归的距离、方位，可化归为使用正弦定理。于是，角为使用正弦定理。于是，角度的测量又化归为测三角形度的测量又化归为测三角形的内角和。的内角和。问题：问题：怎样测三角形的内角怎样测三角形的内角和？和？PAB基线基线实验：实验：（1）量各个内角和相加）量各个内角和相加(内角和近似等于内角和近似等于180)（2）拼凑：）拼凑：（方案二：折叠）（方案二：折叠）（方案一：剪拼）（方案一：剪拼）311232（3）在不同的情境下重复实验（改变三角形）在不同的情境下重复实验（改变三角形的大小与形状）的大小与形状）结论：结论：无论三角形的形状与大小如何，其无论三角形的形状与大小如何，其内角和在实验误差范围内恒等于内角和在实验误差范围内恒等于180.180.推广推广:三角形内角和公式三角形内角和公式:(n-2)180.应用：应用：对顶角相等。对顶角相等。112说明说明1=1的方法：的方法：利用同角（或等角）的补角相等。利用同角（或等角）的补角相等。测量；测量；旋转；旋转；112三角形内角和的课例三角形内角和的课例3.3.角度与平行角度与平行问题：问题：如何定义始点不同的两个方向是相如何定义始点不同的两个方向是相同的？同的？方法：方法：利用同位角相等定义平行。利用同位角相等定义平行。实验：实验：先定义两个始点不同的方向之间的相等关先定义两个始点不同的方向之间的相等关系系平行平行。平行的定义平行的定义：射线：射线 和和 所表示的方向所表示的方向互相平行的条件是：互相平行的条件是：和和 在同一平面在同一平面上，而且连接上，而且连接 后形成的同位角相等。后形成的同位角相等。AACCBB平行的定义平行的定义：射线：射线 和和 所表示的方向所表示的方向互相平行的条件是：互相平行的条件是：和和 在同一平面在同一平面上，而且连接上，而且连接 后形成的同位角相等。后形成的同位角相等。（一般化）（一般化）l和和l互相平行互相平行,l和和l位于同一平位于同一平面，它们被直线面，它们被直线AA所截，同位角相等。所截，同位角相等。l1与与l2平行记作平行记作l1/l2.平行与三角形内角和平行与三角形内角和180的等价性。的等价性。.A2A1B1C1A3B3D3B2C2D212213证明平行于三角形内角和等于证明平行于三角形内角和等于180的等价性。的等价性。又又 D3A3B3+3=180，D2A2B2 12123 180反之，反之，123 180，显然，显然，（定义平行的理论基础）（定义平行的理论基础）推广：推广：平行的等价性与平行的性质。平行的等价性与平行的性质。（1）设）设l是一条给定直线，是一条给定直线，A是线外给定一点，是线外给定一点，则存在唯一一条过则存在唯一一条过A而且和而且和l平行的直线。平行的直线。【说明说明】由于直线由于直线l和线外一点和线外一点A唯一地确定一唯一地确定一个平面个平面，在，在l上任取一点上任取一点A，连接直线，连接直线AA，然后在平面，然后在平面上作一直线上作一直线l，使，使A=A，则，则 l 就是那个唯一和就是那个唯一和l平行而且过平行而且过A点的点的直线。这里直线。这里“唯一性唯一性”只能予以直观地承认。只能予以直观地承认。（2）长方形的特征是四边形互相垂直，即交）长方形的特征是四边形互相垂直，即交角为角为90.所以，长方形的对边互相平行。所以，长方形的对边互相平行。（3）设直线）设直线l1、l，被某一直线，被某一直线AA所截时同所截时同位角相等，则位角相等，则l、l，被其它直线所截的同位，被其它直线所截的同位角也一定相等。角也一定相等。【说明说明】设一条任意直线分别交设一条任意直线分别交l、l于于B、B点，连接直线点，连接直线AB。则由则由AA截截l、l同位角相等可推知同位角相等可推知AB截截l、l同位角也相等，同理，直线同位角也相等，同理，直线BB截截l、l的的同位角也相等。同位角也相等。AAAA截截l l、l l，A=AAA=AA；连连ABAB，则，则 ABAB截截l l、ll，DAC=ABC;DAC=ABC;再连再连BBBB，则，则BBBB截截l l、ll，B=BBC;B=BBC;ABCBA DCll（4）相异两条平行线，不可能相交。共面不）相异两条平行线，不可能相交。共面不相交的直线相交的直线l，l 一定互相平行。一定互相平行。AA 11 23 ll P【说明说明】假若两平行线假若两平行线l，l 相交的话，设交相交的话，设交点为点点为点P.在在l，l 各取一点各取一点A、A，连接，连接AA，则由，则由l/l 知，同位角知，同位角1=1，因此，因此，AAP的三个角内角和为：的三个角内角和为：反之，若反之，若l、l是共面不相交的直线，是共面不相交的直线，AA直直线截线截 l、l得得A和和A，则1+2是平角。此是平角。此时，时，1+2也是平角，否则也是平角，否则1+2平角。平角。则存在则存在3，使，使1+2+3=平角，即平角，即l与相交于一点与相交于一点P，此与，此与l、l不相交矛盾不相交矛盾.既然既然1+2平角，故平角，故1=1，所以，所以l/l.小结小结：平行公理；平行公理；共面但不相交直线一定平行；共面但不相交直线一定平行；矩形是对边互相平行的四边形。矩形是对边互相平行的四边形。平行的课例平行的课例平移与平行平移与平行北师大版四年级数学上册北师大版四年级数学上册学习目标学习目标1.借助实际情景和操借助实际情景和操作活动，认识平行作活动，认识平行线。线。2.能用三角尺和直尺能用三角尺和直尺画平行线。画平行线。案案 例例什么是平移？什么是平移？这是什么？这是什么？对了，就是线段AB。AB我们来把我们来把它变一下！它变一下！A1B1 这样的过程就是平这样的过程就是平移。平移前后的图形，大移。平移前后的图形，大小、长短都是一样的。小、长短都是一样的。平移前后的图形，大小、长短都是一样的。平移前后的图形，大小、长短都是一样的。我们生活中有很多的东我们生活中有很多的东西都是用平移得到的。西都是用平移得到的。你们知道有哪些吗？举你们知道有哪些吗？举个例子来看看！个例子来看看！推土机的车轮印是互相推土机的车轮印是互相平行平行的。的。铅笔在平移前后的线条是铅笔在平移前后的线条是互相平行互相平行的的。观察一下观察一下平移一下看看！平移一下看看！这两条线怎么这两条线怎么样？样？这样的两条线这样的两条线就叫就叫平行线。平行线。平行线。平行线。什么叫平行线什么叫平行线呢？呢？平行线无论怎么延平行线无论怎么延长，永远都不会交长，永远都不会交叉在一起叉在一起你们知道吗？平行线不你们知道吗？平行线不光不交叉，而且它们还光不交叉，而且它们还都在同一个平面上。都在同一个平面上。在同一个平面内，无论怎么延长也永远在同一个平面内，无论怎么延长也永远不相交的两条直线叫做平行线。不相交的两条直线叫做平行线。思考一下思考一下怎么画平行线呢？怎么画平行线呢？1.利用三角板画一条直线。利用三角板画一条直线。2.用另一个三角板靠齐第一个三角板。平移第一个三用另一个三角板靠齐第一个三角板。平移第一个三角板到指定位置。角板到指定位置。3.在新的位置再画一条直线。在新的位置再画一条直线。找出图中的平移和平行现象找出图中的平移和平行现象BD你知道虚线的图形是怎么得到的吗？你知道虚线的图形是怎么得到的吗？FGEAAFCECBDG试一试试一试过下面的点过下面的点o作直线作直线AB 的平行线。的平行线。OAB练一练练一练过点过点A分别作下列直线的平行线分别作下列直线的平行线AAA本课小结本课小结通过本课的学习，大家放学后找一找平通过本课的学习，大家放学后找一找平移和平行的现象。用我们学过的知识移和平行的现象。用我们学过的知识能够解决什么问题？能够解决什么问题？课例课例北师大版数学七年级下册第北师大版数学七年级下册第2 2章章 平行线与相交线平行线与相交线第第2单元单元 课题：课题：探索直线平行的条件探索直线平行的条件教材设计教材设计（一）情境与问题（一）情境与问题 我们已经知道，在同一平面内不相交的两我们已经知道，在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。在日常生活中，人们经条直线叫平行线。在日常生活中，人们经常用到它。常用到它。装修工人向墙上钉木条，如果木条装修工人向墙上钉木条，如果木条b与墙边与墙边缘垂直，那么木条缘垂直，那么木条a与墙边缘所夹角为多少与墙边缘所夹角为多少度时，才能使木条度时，才能使木条a与木条与木条b平行？平行？ab(二二)做一做做一做教材介绍用一个教具：三根木条，其中木教材介绍用一个教具：三根木条，其中木条条a、b与木条与木条c相交成相交成1和和2，固定木条，固定木条b、c，转动木条，转动木条a，探究木条，探究木条a何时与木条何时与木条b平行。平行。在木条在木条a转动的过程中，观察到当转动的过程中，观察到当1与与2的大小满足什么关系时，木条的大小满足什么关系时，木条a与木条与木条b平平行？与同伴进行交流。行？与同伴进行交流。（三）概念（三）概念 具有具有1与与2(见上页图见上页图)这样位置关系这样位置关系的角称为的角称为 同位角。同位角。（四）结论：（四）结论：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。1.1.恒等与叠合恒等与叠合概念：概念：空间中存在着各种各样的形象，两个形状空间中存在着各种各样的形象，两个形状和大小完全相同的图形叫做和大小完全相同的图形叫做恒等恒等（确切的（确切的意义见意义见初等几何研究初等几何研究第一章第一章II1.19）对于平面上的图形（简称平面形），检查对于平面上的图形（简称平面形），检查它们是否恒等，只要它们能否相互叠合。它们是否恒等，只要它们能否相互叠合。四、恒等、叠合与对称四、恒等、叠合与对称2.2.三角形恒等的条件三角形恒等的条件问题：问题：两个三角形恒等，需要哪几个两个三角形恒等，需要哪几个“最最起码起码”的条件？的条件？实验：实验：（手段是作图）（手段是作图）至少有一个条件是对应边相等至少有一个条件是对应边相等两个条两个条件（二个角；两条边；一个角；一条边）件（二个角；两条边；一个角；一条边）不足以证明不足以证明三个条件（三个条件（SSS，ASA，SAS，SSA，AAS）确定条件：确定条件：SSS，ASA，SAS，AAS.结论：结论：两个三角形恒等的条件是下列条件两个三角形恒等的条件是下列条件之一：之一：SAS，ASA，SSS，AAS.课例课例北师大版七年级数学下册北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件（2 2）北师大版数学七年级下册第五章北师大版数学七年级下册第五章“三角形三角形”的第四个单元是探索三角形全等的条件。的第四个单元是探索三角形全等的条件。教材的设计如下：教材的设计如下：（1）提出问题提出问题：要画一个三角形与小明画：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？有关的条件呢？一个条件、两个条件、三一个条件、两个条件、三个条件个条件 （2）做一做做一做：只给出一个条件（一条边或：只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？给出两个条件画三角形时，一定全等吗？给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？角形一定全等吗？（经过探索可以得出结论：（经过探索可以得出结论：只给出一个或两个只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。）（3）如果给出三个条件画三角形（）如果给出三个条件画三角形（三条边、三条边、三个角、三个角、两边一角两边一角和和两角一边两角一边），你能说出），你能说出哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？（4）做一做：）做一做：已知一个三角形的三个角分别是已知一个三角形的三个角分别是40、60、80，作这个三角形。，作这个三角形。已知一个三角形的三条边分别是已知一个三角形的三条边分别是4cm、5cm、7cm，作这个三角形。，作这个三角形。（5）结论：三边对应相等的两个三角形全等，）结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为简写为“边边边边边边”或或“SSS”（公理这个名（公理这个名词在八年级出现）。词在八年级出现）。（6）介绍三角形稳定性。）介绍三角形稳定性。（后面的课后面的课）仿照上面，用实验几何的）仿照上面，用实验几何的方法借助作图给出三角形全等的方法借助作图给出三角形全等的“角边角角边角”和和“边角边边角边”公理，以及公理，以及“角角边角角边”推推论论。【注注】从探索三角形全等的条件出发，实验从探索三角形全等的条件出发，实验几何的方法是先探索几何的方法是先探索“SAS”,“ASA”,SAS”,“ASA”,再再探索探索“SSS”.SSS”.从直观性说从直观性说“SSS”SSS”的直观性的直观性不如前两者。不如前两者。3.3.空间的对称性与均匀性空间的对称性与均匀性（1）平面的对称性）平面的对称性事实：一个平面关于其上任意一条直线是事实：一个平面关于其上任意一条直线是对称的对称的 ClCABBA 实验：实验：将平面将平面又沿其上一直线折叠，折又沿其上一直线折叠，折叠后应注意：纸只是平面的局部，无限延叠后应注意：纸只是平面的局部，无限延伸后当然叠合。伸后当然叠合。（2）空间的对称性）空间的对称性事实：事实：由镜面反射可知，原象与镜象关于由镜面反射可知，原象与镜象关于镜面是对称的。镜面是对称的。（3）平面对称的组合（参看）平面对称的组合（参看初等几何研究初等几何研究(第二版第二版)P.70定理定理1定理定理3）事实：事实：设设l1、12是平面是平面上的两条平行线，距离为上的两条平行线，距离为h，一点对，一点对l1、12的两个对称的组合是一个的两个对称的组合是一个平移，向平移，向l1、12垂直的方向平移。垂直的方向平移。设设l1、12交于交于O点，其夹角为点，其夹角为，一点对，一点对l1、12两个对称的组合是一个旋转，是将两个对称的组合是一个旋转，是将A绕交绕交点点O旋转旋转2.AAhl1l2AAAAl1l2O（4）平面的均匀性）平面的均匀性事实：事实：由于对称的组合知道，对称组合之后，互由于对称的组合知道，对称组合之后，互相对应的图形依然是恒等的。反之，平面相对应的图形依然是恒等的。反之，平面上任何两个恒等形都可以看作某些平面对上任何两个恒等形都可以看作某些平面对称的组合，这就是平面的均匀性。称的组合，这就是平面的均匀性。叠合过程如下：叠合过程如下：ACBA1C1B1CBCBAACBC2平移平移旋转旋转对称对称【注注】（参看（参看高等几何高等几何(第二版第二版)1.4节节P.9：给定平面内任意两个三角形，至多利给定平面内任意两个三角形，至多利用三回透视仿射，可使一个三角形变为另用三回透视仿射，可使一个三角形变为另一个三角形。一个三角形。结论：结论：给定平面两个恒等三角形，最多可给定平面两个恒等三角形，最多可用三次正交变换（五次对称），可使一个用三次正交变换（五次对称），可使一个三角形变为另一个三角形。三角形变为另一个三角形。五、小结五、小结在这一章中，我们对空间的某些基本概念，在这一章中，我们对空间的某些基本概念，如如位置、路径、方向、恒等位置、路径、方向、恒等进行了分析，进行了分析，确立了一些系列原始的基本几何概念：确立了一些系列原始的基本几何概念：点、点、直线、平面、方向、角、平行；长度、角直线、平面、方向、角、平行；长度、角度、恒等形度、恒等形等。我们还通过观察、实验、等。我们还通过观察、实验、分析与归纳，总结出一系列的空间基本性分析与归纳，总结出一系列的空间基本性质，如质，如“两点定一直线两点定一直线”、“不共线三点不共线三点定一平面定一平面”，“三角形内角和恒等于一平三角形内角和恒等于一平角角”。这些基本概念和基本性质是整个几这些基本概念和基本性质是整个几何学的基础。何学的基础。下面我们再把本章所叙述的基本概念和基下面我们再把本章所叙述的基本概念和基本性质概括如下本性质概括如下：1.1.点、直线、平面及其相互关系点、直线、平面及其相互关系基本概念：基本概念：点是位置的抽象，点是位置的抽象，线是路径（也线是路径（也称为轨迹）的抽象；称为轨迹）的抽象；直线段则是两点之间直线段则是两点之间的最短路径；的最短路径；直线是直线段向两端的无限直线是直线段向两端的无限延伸。延伸。基本性质：基本性质：1-1：相异两点定一直线。：相异两点定一直线。1-2：当平面：当平面包含相异两点包含相异两点A、B时，则它也时，则它也就包含整条直线就包含整条直线AB（这也就是平面的特征（这也就是平面的特征性质，直观地说法是：性质，直观地说法是：平面是一个到处平平面是一个到处平直而且是一个向四方无限伸展的面）。直而且是一个向四方无限伸展的面）。1-3：空间的不共线三点定一面。：空间的不共线三点定一面。1-4：空间两个相交的（相异）平面：空间两个相交的（相异）平面1、2的的交界是一条直线。对于空间一条给定的直交界是一条直线。对于空间一条给定的直线线l，存在着无穷多个包含，存在着无穷多个包含l的平面；他们是的平面；他们是任取其中一个包含任取其中一个包含l的平面的平面，把它以，把它以l为轴为轴旋转时所得到的各种位置。旋转时所得到的各种位置。1-5：一条直线：一条直线l上的一点上的一点P，把这条直线切成，把这条直线切成两段；一个平面两段；一个平面上的一条直线上的一条直线l，把这个，把这个平面切成两片；空间中的任一平面平面切成两片；空间中的任一平面，把全，把全空间切成两块。空间切成两块。（剖分定理）（剖分定理）2.2.方向、角、平行与三角形方向、角、平行与三角形基本概念：基本概念：一条与一条与A点为起点的射线表示由点为起点的射线表示由A点出发点出发的一个的一个方向方向。方向本质上是一个局部性质；方向本质上是一个局部性质；两条以两条以A A点为起点的射线之间的夹角，表示点为起点的射线之间的夹角，表示这两条射线所表示的两个方向之间的差；这两条射线所表示的两个方向之间的差；角可以看成是一条射线由夹角一边旋转到角可以看成是一条射线由夹角一边旋转到另一边所扫过的平面区域；另一边所扫过的平面区域；两条直线互相平行的条件是：它们共一平两条直线互相平行的条件是：它们共一平面，而且被任一割线所截，所成的同位角相面，而且被任一割线所截，所成的同位角相等。等。基本概念：基本概念：两个现状大小完全相同的图形叫做两个现状大小完全相同的图形叫做恒等恒等形形。两个平面形恒等的实践检验法则是：。两个平面形恒等的实践检验法则是：它们能够完全叠合。它们能够完全叠合。基本性质基本性质：2-1：两条线段恒等的唯一条件是它们的长度：两条线段恒等的唯一条件是它们的长度相等。在一条任给直线相等。在一条任给直线l和线上一点和线上一点P，可以，可以分别在分别在P点两侧量得唯一的点两侧量得唯一的Q、Q点，使得点，使得2-2：两个角恒等的唯一条件就是它们的角度两个角恒等的唯一条件就是它们的角度相等。相等。在一个任一给定平面在一个任一给定平面和面一条射线和面一条射线AB，在直线，在直线AB两侧分别存在唯一的射线两侧分别存在唯一的射线AC和和AC使得：使得：2-3：三角形的内角和恒等于一平角。：三角形的内角和恒等于一平角。2-3：对于一个平面对于一个平面的一条直线的一条直线l和线外一点和线外一点P，在，在上存在着唯一一条过上存在着唯一一条过P点而和点而和l不相交的不相交的直线，它就是那条过直线，它就是那条过P点而和点而和l平行的直线。平行的直线。2-4:（SAS）两个三角形若有两边一夹角对）两个三角形若有两边一夹角对应相等，则它们恒等。应相等，则它们恒等。2-4:（ASA）两个三角形若有两角与一边对）两个三角形若有两角与一边对应相等，则它们恒等。应相等，则它们恒等。2-4:（SSS）两个三角形若有三边对应相等，）两个三角形若有三边对应相等，则它们恒等。则它们恒等。（但这条性质的直观性不明（但这条性质的直观性不明显）显）六、几点说明六、几点说明(1)在义务教育阶段，在义务教育阶段，“空间与图形空间与图形”的内容的内容分为四个模块。在第一、二学段，这四个分为四个模块。在第一、二学段，这四个模块是：模块是：“图形的认识图形的认识”，“测量测量”、“图形与变换图形与变换”、“图形与位置图形与位置”。在第三在第三学段，这四个模块是：学段，这四个模块是：“图形的认识图形的认识”，“图形与变换图形与变换”“”“图形与坐标图形与坐标”，“图形图形与证明与证明”。(各模块的内容详见各模块的内容详见课程标准课程标准)(2)各课标实验教材，在编写上尽量注意了第各课标实验教材，在编写上尽量注意了第一、二学段与第三学段的衔接，方式上采一、二学段与第三学段的衔接，方式上采用了用了“螺旋上升螺旋上升”。(3)在在“图形的认识图形的认识”这一模块，小学和初中这一模块，小学和初中都采用了都采用了从生活中的物体，抽象成几何体，从生活中的物体，抽象成几何体，再认识点、线段、面、角度再认识点、线段、面、角度的方式。的方式。这一方式是经过教学法加工的，便于学生这一方式是经过教学法加工的，便于学生感知几何概念、逐步形成空间观念；但是，感知几何概念、逐步形成空间观念；但是，它与几何的发展历史是不尽一致的。它与几何的发展历史是不尽一致的。“空间与图形空间与图形”领域教学的核心是帮助学领域教学的核心是帮助学生形成生形成“空间观念空间观念”，教材借助了，教材借助了视图与视图与投影投影的手段。这部分内容应该是教学的一的手段。这部分内容应该是教学的一个难点内容，尤其是怎么样让学生从个难点内容，尤其是怎么样让学生从二维二维图形想象三维图形图形想象三维图形，还需要教师们在长期，还需要教师们在长期的教学实践中去摸索。的教学实践中去摸索。(4)在在“图形与位置图形与位置”/“图形与坐标图形与坐标”这一这一模块，学生认知的难点是模块，学生认知的难点是“方向方向”，教材，教材编排的特点是：先从学生的生活经验出发，编排的特点是：先从学生的生活经验出发，从从“上下上下”、“左右左右”、“前后前后”逐步抽逐步抽象，先认识象，先认识东、南、西、北东、南、西、北，再认识，再认识东南、东南、西南、东北、西北西南、东北、西北，再逐步抽象出，再逐步抽象出“东偏东偏北北”、“北偏东北偏东”、“西偏南西偏南”、“南偏南偏西西”等。等。在小学四年级和初中阶段，再利用数在小学四年级和初中阶段，再利用数形结合的方法，运用坐标系学习用形结合的方法，运用坐标系学习用有序数有序数对对表示方向。从几何上说，表示方向。从几何上说，方向就是斜率方向就是斜率的倒数。的倒数。(5)在在“图形与变换图形与变换”这一模块，教材的编排这一模块，教材的编排都是先学习都是先学习平移、旋转平移、旋转，再学习，再学习轴对称轴对称。在几何发展史上，则是由空间的对称性出在几何发展史上，则是由空间的对称性出发，先有发，先有轴对称变换轴对称变换，再将，再将平移、旋转分平移、旋转分解为两次轴对称变换的乘积。解为两次轴对称变换的乘积。按照按照F克莱因的观点克莱因的观点,几何变换几何变换(平移、平移、旋转、轴对称、相似旋转、轴对称、相似(特例是位似特例是位似)、仿射、仿射、射影射影)是学习几何的是学习几何的“钥匙钥匙”。从几何上说。从几何上说,图形的恒等是依靠几何变换实现的。图形的恒等是依靠几何变换实现的。(6)义务教育阶段，几何内容关于证明的处理，义务教育阶段，几何内容关于证明的处理，采用了从实验几何过渡到论证几何的方法：采用了从实验几何过渡到论证几何的方法：即即“问题问题实验实验结论结论说理说理证明证明”的方法。的方法。但是，逻辑证明延后但是，逻辑证明延后(北师大版教材安北师大版教材安排在九年级下册排在九年级下册)，九年的教改实验表明，九年的教改实验表明，一方面对学生学习其它领域如一方面对学生学习其它领域如“数与代数数与代数”、“统计与概率统计与概率”，会造成一定的影响；，会造成一定的影响；另一方面对于发展学生的逻辑思维能力可另一方面对于发展学生的逻辑思维能力可能会延误了发展的时机。能会延误了发展的时机。现在的教材编写的一个趋势是：现在的教材编写的一个趋势是：尽量按照尽量按照数学学科发展的历史线索去安排内容，数学学科发展的历史线索去安排内容，一一些经典的内容些经典的内容(以往的教材没有涉及到的或以往的教材没有涉及到的或重视不够的重视不够的)又出现在教材中，如多边形中又出现在教材中，如多边形中的的费玛问题、黄金分割、无理数的发现、费玛问题、黄金分割、无理数的发现、勾股定理的证明及应用等。勾股定理的证明及应用等。