[经济学]概率论与数理统计-第一章课件

在终极的分析下，一切知识都是历史在终极的分析下，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学在理性的基础上，所有的判断都是统计学C.R.Rao在终极的分析下，一切知识都是历史C.R.Rao1教材：教材：概率论与数理统计（经管类），第三版概率论与数理统计（经管类），第三版吴赣昌吴赣昌 主编，中国人民大学出版社主编，中国人民大学出版社参考教材参考教材：1 1、概率论与数理统计概率论与数理统计 浙江大学浙江大学 盛骤盛骤 等主编，等主编，高等教育出版社高等教育出版社2 2、统计学与计量经济学统计学与计量经济学 多米尼克多米尼克.萨尔瓦多萨尔瓦多 等，等，复旦大学出版社复旦大学出版社推荐阅读书籍推荐阅读书籍：见文档：见文档“概率统计课程推荐书籍概率统计课程推荐书籍.doc”关于教材配套光盘关于教材配套光盘：作为习题集及解答使用作为习题集及解答使用教材：概率论与数理统计（经管类），第三版吴赣昌 主编，中国人2如何学好如何学好“概率统计概率统计”课程课程课前预习课前预习课堂跟进课堂跟进课后回顾课后回顾+练习练习如何学好“概率统计”课程课前预习课堂跟进课后回顾+练习3概率论与数理统计课程结构图概率论与数理统计课程结构图ProbabilityStatistics概率论与数理统计课程结构图ProbabilityStatis4第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 作业：作业：1-1：8,91-2：2,41-3：5,6,9 1-4：6,8,101-5：2,4,5,8 1.11.1随机事件；1.21.2随机事件的概率；1.31.3古典概型与几何概型；1.41.4条件概率*；1.51.5事件的独立性*；第一章 随机事件及其概率 作业：1.1随机事件；51.1 随机事件随机事件 从观察现象开始从观察现象开始二、随机试验二、随机试验E1.1.可重复性可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行;2.2.可观察性可观察性:试验结果可观察试验结果可观察,所有可能的结果是明确的所有可能的结果是明确的;3.3.不确定性不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知每次试验出现的结果事先不能准确预知.三、样本空间三、样本空间四、随机事件四、随机事件两个特殊的事件：两个特殊的事件：不可能事件不可能事件必然事件必然事件一一.什么是随机现象什么是随机现象?1.1 随机事件 从观察现象开始二、随机试验E1.可重6六六 事件间的关系与运算事件间的关系与运算通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单事件的事件的“组合组合”。六 事件间的关系与运算通过事件的关系与运算来实现将复杂的事7事件的关系与运算的维恩图表示法事件的关系与运算的维恩图表示法注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系A A，B B互不相容互不相容互不相容互不相容A A，B B对立对立对立对立事件的关系与运算的维恩图表示法注意区别互斥与对立两种关系A，8完备事件组完备事件组两两互不相容两两互不相容完备事件组两两互不相容9回顾：回顾：1.1 随机事件随机事件 随机现象；随机现象的统计规律性；样本空间；随机事件；事件的集合表示；事件的关系与运算；事件的运算规律思考：“两个事件的互不相容”与“两个事件对立”有什么区别？用集合及其运算表达随机事件有什么便捷之处？回顾：1.1 随机事件 随机现象；随机现101.2 随机事件的概率随机事件的概率 频率及其性质 概率的统计定义 概率的公理化定义 概率的性质*内容分布：内容分布：1.2 随机事件的概率 频率及其性质内容分布：11尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的.历史发展：历史发展：频率频率概率（频率的稳定值）概率（频率的稳定值）概率：度量事件出现的可能性大小概率：度量事件出现的可能性大小 如何求值？如何求值？尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的可能性大小是客12“抛硬币抛硬币”试验：抛掷试验：抛掷n次，观察出现正面次数次，观察出现正面次数.n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494“抛硬币”试验：抛掷n次，观察出现正面次数.n=5n=50n13【定义【定义1】在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这n次试验次试验中，事件中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为事件称为事件 A 发生的发生的频数频数。比值比值nA/n 称为事件称为事件A 发生的发生的频率频率，并记成，并记成fn(A).).A出现的频率出现的频率 fn(A)A出现的次数出现的次数试验总次数试验总次数一、频率及其性质【定义1】在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n次试验中14概率概率 事件事件A发生发生的频繁程度的频繁程度事件事件A发生发生的可能性的大小的可能性的大小概率的统计定义概率的统计定义频频 率率稳稳 定定 值值p只是概率的近似值只是概率的近似值【定义【定义2】概率的统计定义】概率的统计定义概率 事件A发生事件15(A.H.柯尔莫哥洛夫1903-1987)20世世纪纪最最有有影影响响的的数数学学家家，是是美美国国、英英国国、法法国国等等多多国国院院士士或皇家学会会员。或皇家学会会员。他他建建立立了了在在测测度度论论基基础础上上的的概概率率论论公公理理体体系系，奠奠定定了了近近代代概概率论的基础，率论的基础，同时他也是随机过程论的奠基人之一，同时他也是随机过程论的奠基人之一，此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献“数学界的莫扎特数学界的莫扎特”前苏联科学家前苏联科学家(A.H.柯尔莫哥洛夫1903-1987)“数学界16设设 E,S,对于对于 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为 事件事件 A 的概率，的概率，非负性非负性完备性完备性可列可加性可列可加性二、概率的定义（公理化定义）二、概率的定义（公理化定义）要求集合函数要求集合函数 满足满足 下列三个公理下列三个公理：设 E,S,对于 17三、概率的性质三、概率的性质分解思想分解思想求概率的迂回战术求概率的迂回战术三、概率的性质分解思想求概率的迂回战术18SBA性质4:特别地特别地:概率的单调性概率的单调性P(AP(A1 1A A2 2AAn n)P(AP(A1 1A A2 2AAn-1n-1)P(AP(A1 1A A2 2)P(AP(A1 1)SBA性质4:特别地:概率的单调性P(A1A2An)19SABABA性质性质6(6(加法公式加法公式):):SSSBASABABA性质6(加法公式):SSSBA20加法公式的推广加法公式的推广加法公式的推广21课堂练习习题课堂练习习题12，4题题问题：问题：课堂练习习题12，4题问题：22例例5：利用分解思想：利用分解思想例5：利用分解思想23回顾：回顾：1.2 随机事件的概率随机事件的概率 频率及其性质；概率的统计定义；概率的公理化定义；概率的性质思考：当采用“频率的稳定值”近似得到事件的概率值方法时，会有哪些局限性？试验次数n究竟要大到什么程度？频率究竟在什么意义下趋近于概率？1.31.3学习准备：排列与组合计数方法学习准备：排列与组合计数方法回顾：1.2 随机事件的概率 频率及其性质；241.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型古典概型古典概型 （含有限个样本点）含有限个样本点）该模型中概率的计算依据：建立在对称性基础上的等可能性该模型中概率的计算依据：建立在对称性基础上的等可能性几何概型几何概型（含无限个样本点）含无限个样本点）1.3 古典概型与几何概型古典概型 （含有限个样本点）几25一、古典概型一、古典概型古典概型古典概型 随机试验E：样本空间S （有限性有限性）S只含有限个样本点只含有限个样本点 （等概性）（等概性）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等一、古典概型古典概型 随机试验E：样本空间S26计算方法计算方法若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件个基本事件则事件则事件 A 发生的概率发生的概率计算方法若事件 A 包含 k 个基本事件则事件 A 发生的概27计算古典概率例计算古典概率例2基本事件总数基本事件总数放球的所有可能结果：放球的所有可能结果：A:每个杯子最多放每个杯子最多放1 1个球；个球；B:每个杯子最多放每个杯子最多放2 2个球；个球；C:每个杯子最多放每个杯子最多放3 3个球；个球；（本例目的：求事件（本例目的：求事件B B的概率的方法）的概率的方法）计算古典概率例2基本事件总数放球的所有可能结果：A:每个杯28古典概型计算概率时应注意的问题：古典概型计算概率时应注意的问题：计算样本空间和事件计算样本空间和事件计算样本空间和事件计算样本空间和事件A A A A所包含的基本事件数时，分清排列所包含的基本事件数时，分清排列所包含的基本事件数时，分清排列所包含的基本事件数时，分清排列与组合，不重复计数，也不要遗漏；与组合，不重复计数，也不要遗漏；与组合，不重复计数，也不要遗漏；与组合，不重复计数，也不要遗漏；当直接计算遇到困难时，可以选择：当直接计算遇到困难时，可以选择：当直接计算遇到困难时，可以选择：当直接计算遇到困难时，可以选择：将复杂的事件分成若干个简单事件的和，再将复杂的事件分成若干个简单事件的和，再将复杂的事件分成若干个简单事件的和，再将复杂的事件分成若干个简单事件的和，再利用概率的加法公式或有限可加性；利用概率的加法公式或有限可加性；利用概率的加法公式或有限可加性；利用概率的加法公式或有限可加性；选择先计算其对立事件的概率，再利用性质选择先计算其对立事件的概率，再利用性质选择先计算其对立事件的概率，再利用性质选择先计算其对立事件的概率，再利用性质3 3 3 3古典概型计算概率时应注意的问题：计算样本空间和事件A所包含的29三、几何概型三、几何概型古典概型必须假定试验结果是有限个，这限制了它的使用范围。推广：保留等可能性，允许试验结果为无推广：保留等可能性，允许试验结果为无限个，这种试验模型为限个，这种试验模型为几何概型几何概型。法国数学家法国数学家蒲丰蒲丰提出提出:将随机事件与几何结合起来将随机事件与几何结合起来.三、几何概型古典概型必须假定试验结果是有限个，这限制了它的使30何为几何概型？何为几何概型？往区域往区域S S内内随机抛掷一点随机抛掷一点何为几何概型？往区域S内随机抛掷一点31例例6例632课堂练习课堂练习【问题】：【问题】：任取两个真分数，求它们的乘积不大于任取两个真分数，求它们的乘积不大于1/41/4的概率的概率课堂练习【问题】：33在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些条件时随机事件发生的概率。条件时随机事件发生的概率。1.4、条件概率、条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式概率性质：概率性质：有限可加性有限可加性注意对此种条件概率的理解注意对此种条件概率的理解在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些条件时随机34S=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH,B=HH,TT连抛硬币连抛硬币2次，观察向上面出现的情况。次，观察向上面出现的情况。求已知事件求已知事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的概率？发生的概率？一、引例一、引例事件AB中样本点的数目事件A中样本点的数目S=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH,B35定义定义1：设设A，B两个事件，两个事件，P(A)0，将将已知事件已知事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率记为记为P(B|A)二、条件概率的定义二、条件概率的定义条件概率的两种计算方法条件概率的两种计算方法条件概率的两种计算方法条件概率的两种计算方法1 1 1 1、通通通通过过过过定定定定义义义义，在在在在样样样样本本本本空空空空间间间间S S中中中中，先先先先计计计计算算算算出出出出P P(ABAB)、P P(A A)，再再再再利利利利用用用用定定定定义义义义计算计算计算计算P P（B B|A A）P P(ABAB)/)/)/)/P P(A A)。2 2 2 2、在在在在A A已已已已经经经经发发发发生生生生的的的的条条条条件件件件下下下下，将将将将S S 缩缩缩缩减减减减为为为为A A（即即即即事事事事件件件件A A所所所所包包包包含含含含的的的的基基基基本本本本事事事事件全体）中，直接计算件全体）中，直接计算件全体）中，直接计算件全体）中，直接计算B B发生的概率。发生的概率。发生的概率。发生的概率。定义1：二、条件概率的定义条件概率的两种计算方法1、通过定义361.对于任一事件对于任一事件B，有，有1 P(B|A)02.P(S|A)13.设设 两两互不相容两两互不相容条件概率性质设事件设事件A满足满足P（A）0，则，则1.对于任一事件B，有1 P(B|A)02.P(37条件概率条件概率P(B|A)与无条件与无条件P(B)的区别的区别P P(B B)是在原始试验条件下事件是在原始试验条件下事件是在原始试验条件下事件是在原始试验条件下事件B B发生的可能性大小。发生的可能性大小。发生的可能性大小。发生的可能性大小。P P(B B)与与与与P P(B B|A A)的的的的区区区区别别别别在在在在于于于于两两两两者者者者发发发发生生生生的的的的环环环环境境境境不不不不同同同同,它它它它们们们们是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。条件概率条件概率条件概率条件概率P P(B B|A A)是在原是在原是在原是在原始始始始条件下又添加条件下又添加条件下又添加条件下又添加“A A发生发生发生发生”这个条件这个条件这个条件这个条件时时时时B B发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即P P(B B|A A)仍是概率。仍是概率。仍是概率。仍是概率。一般的一般的，P(B|A)P(B)条件概率P(B|A)与无条件P(B)的区别P(B)是在原始试38有关条件概率的三公式 乘法定理（乘法定理（同时发生的事件的概率同时发生的事件的概率同时发生的事件的概率同时发生的事件的概率）全概率公式（全概率公式（如何以全局的观点认识事件的发生如何以全局的观点认识事件的发生如何以全局的观点认识事件的发生如何以全局的观点认识事件的发生）贝叶斯公式（贝叶斯公式（）有关条件概率的三公式乘法定理（同时发生的事件的概率）39三、乘法公式三、乘法公式作用：计算两个事件同时发生的概率作用：计算两个事件同时发生的概率作用：计算两个事件同时发生的概率作用：计算两个事件同时发生的概率三、乘法公式作用：计算两个事件同时发生的概率40例例3：求两次取到均为黑球的概率求两次取到均为黑球的概率1 1、古典概型方法：、古典概型方法：2 2、乘法公式方法：、乘法公式方法：解：解：例3：求两次取到均为黑球的概率1、古典概型方法：2、乘法公式41乘法公式的推广乘法公式的推广-P20（4.4式）式）对于任一对于任一n1n1，如果，如果则有则有乘法公式适用范围：乘法公式适用范围：求求若若干干事事件件的的积积事事件件的的概概率率，如如果果这这些些事事件件之之间间存存存存在在在在“顺顺顺顺序序序序”，可以考虑，可以考虑“顺序顺序”造成的概率影响，利用乘法公式求概率。造成的概率影响，利用乘法公式求概率。乘法公式的推广-P20（4.4式）对于任一n1，如果则有42四、四、全概率公式全概率公式完备事件组：完备事件组：完备事件组：完备事件组：对于任一事件对于任一事件对于任一事件对于任一事件B B，有，有，有，有四、全概率公式完备事件组：对于任一事件B，有43全概率公式的应用环境全概率公式的应用环境我们把事件我们把事件 B看作某一过程的看作某一过程的“结果结果”，若已知每一原因发生的概率，若已知每一原因发生的概率，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率A1,A2,An为导致结果为导致结果B产生的原因产生的原因,由由“原因原因”推推“结果结果”全概率公式的应用环境我们把事件 B看作某一过程的“结果”，若44五、贝叶斯公式五、贝叶斯公式例例5 5：续：续若若当当前前无无法法得得知知利利率率是是否否上上涨涨，但但是是已已知知该该只只股股票票上上涨涨了了，分析利率上涨的概率。分析利率上涨的概率。分析：由例分析：由例5 5得知，得知，现在是已经知道结果，逆向分析某种原因造成的概率现在是已经知道结果，逆向分析某种原因造成的概率五、贝叶斯公式例5：续若当前无法得知利率是否上涨，但是已知该45有完备事件组：有完备事件组：有完备事件组：有完备事件组：对于任一事件对于任一事件对于任一事件对于任一事件B B，有，有，有，有定理定理2（贝叶斯公式）：（贝叶斯公式）：有完备事件组：对于任一事件B，46Bayes公式的应用环境公式的应用环境我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件如果已知事件如果已知事件B B已经发生，求此时是由第已经发生，求此时是由第已经发生，求此时是由第已经发生，求此时是由第 i i 个原因个原因个原因个原因A Ai i引起引起引起引起B B的概的概的概的概率率率率(后验概率后验概率后验概率后验概率)，则用，则用，则用，则用BayesBayes公式公式公式公式A1 1,A2 2,An n为导致结果为导致结果B产生的原因产生的原因若已知每一原因发生的概率若已知每一原因发生的概率(先验概率先验概率)，是对先验概率是对先验概率的一种校正的一种校正Bayes公式的应用环境我们把事件B看作某一过程的结果，而且47扩展：贝叶斯判别法扩展：贝叶斯判别法例例例例：为为为为了了了了判判判判断断断断一一一一根根根根木木木木材材材材是是是是桦桦桦桦木木木木还还还还是是是是桉桉桉桉木木木木，通通通通常常常常采采采采用用用用先先先先抽抽抽抽取取取取它它它它的的的的某某某某一一一一个个个个特特特特征征征征（例例例例如如如如平平平平均均均均亮亮亮亮度度度度X X），然然然然后后后后再再再再根根根根据据据据这这这这个个个个特特特特征征征征作出判别。作出判别。作出判别。作出判别。A A1 1：木材是桦木木材是桦木木材是桦木木材是桦木；A A2 2：木材是桉木木材是桉木木材是桉木木材是桉木；事先掌握了事先掌握了事先掌握了事先掌握了 P(AP(A1 1)，P(AP(A2 2)，P(X|AP(X|A1 1)，P(X|AP(X|A2 2)；再根据贝叶斯公式计算出再根据贝叶斯公式计算出再根据贝叶斯公式计算出再根据贝叶斯公式计算出P(AP(A1 1|X)|X)，P(AP(A2 2|X X)；若若若若P(AP(A1 1|X)P(A|X)P(A2 2|X X)，则具有特征则具有特征则具有特征则具有特征X X的木材是桦木的木材是桦木的木材是桦木的木材是桦木。扩展：贝叶斯判别法例：为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采48回顾：回顾：全全全全局局局局观观观观点点点点，由因至果由因至果由因至果由因至果“顺顺顺顺序序序序”结结结结构构构构由果溯因由果溯因由果溯因由果溯因回顾：全局观点，由因至果“顺序”结构由果溯因491.5 事件的独立性事件的独立性事件独立性事件独立性 试验序列独立性试验序列独立性独独立立性性是是概概率率论论中中应应用用即即为为广广泛泛的的重重要要概概念念，其其重重要要性性主主要要表表现在：现在：1 1、概概率率论论中中的的许许多多重重要要普普遍遍规规律律，最最初初是是在在独独立立性性条条件件下下发发现现的；的；2 2、从从带带有有独独立立性性条条件件的的特特殊殊概概型型中中看看出出的的许许多多本本质质，常常可可以以作作为研究一般概型的线索；为研究一般概型的线索；3 3、在在数数理理统统计计中中，样样本本的的抽抽取取总总是是要要求求在在一一定定的的独独立立性性条条件件下下进行；进行；4 4、独立性的概念有助于简化概率计算。、独立性的概念有助于简化概率计算。1.5 事件的独立性事件独立性 试验序列独立性独50引例引例:（例（例1）A:抽到抽到KB:抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的引例:（例1）A:抽到KB:抽到的牌是黑色的51一、两个事件的独立一、两个事件的独立若两事件A，B满足则称A，B独立独立独立独立,或称相互独立相互独立相互独立相互独立 注：注：事件互不相容、相互独立是完全不同的两个概念事件互不相容、相互独立是完全不同的两个概念两个事件相互独立性质两个事件相互独立性质【定理【定理1 1】：设】：设A，B是两事件，若是两事件，若A，B相互独立，则相互独立，则【定理【定理2 2】：若随机事件】：若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则独立独立一、两个事件的独立若两事件A，B满足则称A，B独立,或称相52二、有限个事件的独立性二、有限个事件的独立性对于任意n个事件 A1，A2，An，若对每一2k n，任意 k 个事件称事件 A1，A2，An，相互独立相互独立满足：【性质【性质1 1】若】若n个事件相互独立个事件相互独立,则其中任意则其中任意k个事件也相互独立个事件也相互独立;【性质【性质2 2】若】若n个事件相互独立个事件相互独立,则将其中任意则将其中任意 个事件换个事件换成它们的对立事件成它们的对立事件,所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立;二、有限个事件的独立性对于任意n个事件 A1，A2，A53运用多个事件的相互独立简化概率计算运用多个事件的相互独立简化概率计算1、计算积事件的概率为：、计算积事件的概率为：2、加法定理可以简化为：、加法定理可以简化为：运用多个事件的相互独立简化概率计算1、计算积事件的概率为：54练习：练习：设事件设事件A1,A2,An相互独立，相互独立，P(Ai)=pi,求：求：所有事件所有事件全不发生的概率；全不发生的概率；至少发生一个事件的概率；至少发生一个事件的概率；恰好发生一个事件的概率恰好发生一个事件的概率练习：设事件A1,A2,An相互独立，P(Ai)=pi55扩展扩展-独立性与可靠性理论：独立性与可靠性理论：模型描述：模型描述：一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性。现有两系统都由同。现有两系统都由同类电子元件类电子元件A、B、C、D所组成，如图所示。每个元件的可靠性都是所组成，如图所示。每个元件的可靠性都是p。分别求两。分别求两个系统的可靠性。个系统的可靠性。解：以解：以R1、R2分别记两个系统的可靠性，以分别记两个系统的可靠性，以A、B、C、D分别记相应元件工作正分别记相应元件工作正常的事件，则常的事件，则 扩展-独立性与可靠性理论：模型描述：一个系统能正常工作的概率56例例3：初始状态：甲胜初始状态：甲胜初始状态：甲胜初始状态：甲胜0 0 0 0局，乙胜局，乙胜局，乙胜局，乙胜0 0 0 0局局局局结束状态：甲先胜结束状态：甲先胜结束状态：甲先胜结束状态：甲先胜2 2 2 2局局局局甲获胜概率：甲获胜概率：甲获胜概率：甲获胜概率：甲胜甲胜甲胜甲胜1 1 1 1局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜乙胜乙胜乙胜乙胜甲胜甲胜甲胜甲胜0 0 0 0局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜乙胜乙胜乙胜乙胜甲胜甲胜甲胜甲胜1 1 1 1局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜0 0 0 0局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜2 2 2 2局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜乙胜乙胜乙胜乙胜甲胜甲胜甲胜甲胜1 1 1 1局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜2 2 2 2局局局局甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜甲胜2 2 2 2局局局局例3：初始状态：甲胜0局，乙胜0局结束状态：甲先胜2局甲获胜57三、伯努利概型三、伯努利概型独独立立重重复复试试验验序序列列：由由某某个个随随机机试试验验的的多多次次重重复复组组成成，且且各各次次试试验验的的结结果相互独立。果相互独立。对每一次试验的结果只关心：对每一次试验的结果只关心：事件事件事件事件A A发生与否发生与否发生与否发生与否：只有两种可能结果的试验只有两种可能结果的试验伯努利试验伯努利试验伯努利试验伯努利试验（Bernoulli）独立重复进行独立重复进行n次次 n n重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验每每一一次次中中事事件件A发发生生的的概概率率相相同同，都是都是 p。各次试验结果互不影响各次试验结果互不影响P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)Ai：第：第i次试验结果次试验结果三、伯努利概型独立重复试验序列：由某个随机试验的多次重复组成58伯努利伯努利定理（定理定理（定理3）在在n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A恰好恰好发生发生k次的概率：次的概率：Bk：在：在n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A恰好恰好发生发生k次。次。在在n次试验中，某次试验中，某k次试验结果是次试验结果是A，另外，另外n-k次试验结果是次试验结果是A的对立事件的对立事件。P(B0)P(B1)P(Bn)伯努利定理（定理3）在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的59课堂练习习题课堂练习习题15，13题题课堂练习习题15，13题60女士品茶问题（假设检验）女士品茶问题（假设检验）实际推断原理实际推断原理假设问题：女士说法不可信，那么她是碰运气猜出来的。假设问题：女士说法不可信，那么她是碰运气猜出来的。应解决问题：应解决问题：“她是碰运气猜出来的她是碰运气猜出来的”可能性多大。可能性多大。推翻假设！推翻假设！【问问题题描描述述】：一一位位常常饮饮牛牛奶奶加加茶茶的的女女士士称称：她她能能够够从从一一杯杯冲冲好好的的饮饮料料中中辨辨别别出出先先放放牛牛奶奶还还是是先先放放茶茶。并并且且她她在在1010次次试试验验中中都都能能正正确确的的辨辨别别出出来来，问问该该女女士士的的说法是否可信？说法是否可信？一个小概率的事件在一个小概率的事件在一个小概率的事件在一个小概率的事件在一次一次试验中实际上是几乎不会发生的。试验中实际上是几乎不会发生的。试验中实际上是几乎不会发生的。试验中实际上是几乎不会发生的。但是如果不断地、独立地重复试验，无论事件的概率多么小，它迟早会发生的。但是如果不断地、独立地重复试验，无论事件的概率多么小，它迟早会发生的。女士品茶问题（假设检验）实际推断原理假设问题：女士说法不可61利用独立性认识小概率事件利用独立性认识小概率事件设设设设E E中事件中事件中事件中事件A A的概率为的概率为的概率为的概率为00。证明：不断独立地重复进行试验。证明：不断独立地重复进行试验。证明：不断独立地重复进行试验。证明：不断独立地重复进行试验E E，A A迟早会出现的概率为迟早会出现的概率为迟早会出现的概率为迟早会出现的概率为1 1，不论，不论，不论，不论如何小。如何小。如何小。如何小。A Ak k：事件：事件：事件：事件A A在第在第在第在第k k次试验中出现，次试验中出现，次试验中出现，次试验中出现，P(AP(Ak k)=)=则前则前则前则前n n次试验中次试验中次试验中次试验中A A都不出现的概率为都不出现的概率为都不出现的概率为都不出现的概率为于是，前于是，前于是，前于是，前n n次试验中次试验中次试验中次试验中A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为利用独立性认识小概率事件设E中事件A的概率为0。证明：不62第一章第一章 基本要求基本要求第一章 基本要求63练习：练习：练习：64