第九章-拉普拉斯变换课件

第九章第九章拉普拉斯变换拉普拉斯变换n掌握拉氏变换定义及其基本性质；掌握拉氏变换定义及其基本性质；n牢记常用典型信号的拉氏变换；牢记常用典型信号的拉氏变换；n掌握运用拉氏变换分析掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法；系统的方法；n掌握系统的典型表示方法：掌握系统的典型表示方法：H(sH(s)、h(th(t)、微分方程、模拟框、微分方程、模拟框图、信号流图、零极点图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。收敛域图，以及它们之间的转换。n掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。n能应用拉氏变换分析具体电路。能应用拉氏变换分析具体电路。9.0引言引言n连续时间对应的复频域是用直角坐标连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为表示的复数平面，简称为S平面或平面或连续时间复频域（连续时间复频域（s域）域）.S平面上的每一个点平面上的每一个点s都都代表一个复指数信号代表一个复指数信号,整个整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。平面上所有的点代表了整个复指数信号集。S平面平面S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集数信号集9.1拉氏变换拉氏变换一个信号一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：的拉氏变换定义如下：记作记作：或或几个典型信号的拉氏变换几个典型信号的拉氏变换拉普拉斯变换的收敛域与零极点拉普拉斯变换的收敛域与零极点收敛域：收敛域：一般把使积分一般把使积分收敛的收敛的s值的范值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。ReReS-planeS-planeImIm-a-a零极点零极点n只要只要x(t)x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)X(s)就就一定是有理的一定是有理的,具有如下形式：具有如下形式：N(s)N(s)和和D(s)D(s)分别为分子多项式和分母多项式。分别为分子多项式和分母多项式。使使N(s)=0N(s)=0的根为的根为X(s)X(s)的零点，在的零点，在s s平面上用平面上用“O O”表表示。示。使使D(s)=0D(s)=0的根为的根为X(s)X(s)的的极点，在极点，在s s平面上用平面上用“”表示。表示。例例ReIm12xx-1请问：请问：x(t)的傅立叶变换存在吗的傅立叶变换存在吗?9.2拉氏变换收敛域的性质拉氏变换收敛域的性质性质性质1:1:拉氏变换收敛域的形状：拉氏变换收敛域的形状：X(s)X(s)的的ROCROC在在s s平面内由平行于平面内由平行于j j轴的带状区域所组成。轴的带状区域所组成。S-planeReReReImImImRLLRReIms平面性质性质2：对有理拉氏变换来说，：对有理拉氏变换来说，ROC内不内不包括任何极包括任何极点。点。性质性质3：如果：如果x(t)是是有限持续期，并且是绝对可积有限持续期，并且是绝对可积的，那么的，那么ROC就是整个就是整个s平面。平面。ReIms平面平面性质性质4：如果：如果x(t)是是右边信号，而且如果右边信号，而且如果这条线位于这条线位于ROC内，那么内，那么的全的全部部s值都值都一定在一定在ROC内。内。ReIms平面平面性质性质5：如果：如果x(t)是是左边信号，而且如果左边信号，而且如果这条线位于这条线位于ROC内，那么内，那么的全部的全部s值都值都一定在一定在ROC内。内。x(t)T2te-0te-1tReIms平面平面性质性质6：如果：如果x(t)是是双边信号，而且如果双边信号，而且如果这条线位于这条线位于ROC内，那么内，那么ROC就就一定是由一定是由s平面的一条带状区域所组成，平面的一条带状区域所组成，直线直线位于带中。位于带中。S-planeReReReImImImRLLR性质性质7：如果：如果x(t)的的拉氏变换拉氏变换X(s)是是有理的，那么它的有理的，那么它的ROC是被是被极点所界定或延伸到无限远。极点所界定或延伸到无限远。性质性质8 8：如果如果x(t)x(t)的的拉氏变换拉氏变换X(s)X(s)是是有理的，若有理的，若x(t)x(t)是是右边信号，则其右边信号，则其ROCROC在在s s平面上位于最右边极平面上位于最右边极点的右边；若点的右边；若x(t)x(t)是是左边信号，则其左边信号，则其ROCROC在在s s平面上平面上位于最左边极点的左边。位于最左边极点的左边。n例例ReIms平面-2 -1求其可能有的所有的收敛域求其可能有的所有的收敛域-2 -1ReIms平面ReIms平面-2 -1ReIms平面-2 -1ReIms平面-2 -1-2 -1ReIms平面时域信号时域信号x(t)的特点的特点拉氏变换拉氏变换X(s)的的ROC有限长有限长整个整个S S平面平面左边时间信号左边时间信号某一左半平面某一左半平面右边时间信号右边时间信号某一右半平面某一右半平面双边时间信号双边时间信号某一带状收敛域某一带状收敛域例：例：求其拉氏变换求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。，并画零极点图以及收敛域。解：解：9.3拉氏反变换拉氏反变换信号信号x(t)的的拉氏变换为：拉氏变换为：利用傅立叶反变换：利用傅立叶反变换：两边同乘以两边同乘以est即可从拉氏变换中恢复即可从拉氏变换中恢复x(t)：n所有实信号所有实信号x(t)可以表示成复指数信号可以表示成复指数信号est的的加权加权。拉氏反变换公式表明：原函数拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像可以由它们的像函数函数X(s)乘以复指数信号乘以复指数信号est后后积分求得。积分求得。拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚轴的一条自下而上的直线。虚轴的一条自下而上的直线。ImRes平面平面一、求解拉氏反变换的方法一、求解拉氏反变换的方法1 1、留数定理；（这里不讨论）留数定理；（这里不讨论）2 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未知的拉氏变换，或它们的反变换。未知的拉氏变换，或它们的反变换。3 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开法。式展开法。二、部分分式展开法求解拉氏反变换二、部分分式展开法求解拉氏反变换思路：思路：n单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数，其收敛域也是单纯的。有理函数，其收敛域也是单纯的。n单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集。一项复指数分量相应的收敛域的交集。部部分分分分式式展展开开的的第第一一步步是是把把分分母母N(s)进进行行因因式式分分解解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。一、假设信号一、假设信号x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且分没有多阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（有理真分式有理真分式），），那么那么X(s)就可以展开成如下形式：就可以展开成如下形式：例例：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：ReIm-1xx-2X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：分别对应什么时间信号？例例：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：ReIm-1xx-2设设：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：ReIm-1xx-2例：例：求求x(t)解：解：先转换为真分式：先转换为真分式：故：故：例：已知：例：已知：求求x(t)将将X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：二、二阶和高阶极点二、二阶和高阶极点当当N(s)0有有r重根，其余为单根的分解式为：重根，其余为单根的分解式为：例：已知：例：已知：求求x(t)将将X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：故：故：则：则：9.4由零极点图对傅立叶变换进行几何求值由零极点图对傅立叶变换进行几何求值n目的：目的：揭示信号和系统的复频域表示与其频域特揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系。性间的关系。n对于系统函数是有理函数的因果稳定对于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统，系统，其收敛域包括其收敛域包括s平面虚轴，那么系统的频率响应平面虚轴，那么系统的频率响应H(j)如果有理系统函数如果有理系统函数H(s)表示为表示为分别为零点和极点分别为零点和极点这类因果稳定这类因果稳定LTI系统的频率响应为：系统的频率响应为：根据复数的向量表示法，根据复数的向量表示法，复数复数可用复平面上原点到该点的向量来表示。可用复平面上原点到该点的向量来表示。按照向量和差运算法则，两个复数的差按照向量和差运算法则，两个复数的差分别是分别是s平面上点平面上点指向点指向点j的的向量。向量。零点指向点零点指向点j的的向量为零点向量，记作向量为零点向量，记作极点指向点极点指向点j的向量为极点向量，记作的向量为极点向量，记作幅频响应幅频响应H(j)：例：例：求其幅频特性与性与相频特性曲线求其幅频特性与性与相频特性曲线9.5拉氏变换的性质拉氏变换的性质一、线性一、线性则则ROC但有时候会扩大但有时候会扩大例：例：已知：已知：求：求：X(s)解：解：二、时移性质二、时移性质例：例：求：求：X(s)解：解：三、三、S域域平移平移例：例：求：求：X(s)解：已知解：已知则则同理：同理：四、时域尺度变换四、时域尺度变换五、共轭五、共轭注：若注：若x(t)为实函数，如果为实函数，如果X(s)有一个极点或零点有一个极点或零点为复数在为复数在s=s0处，那么处，那么X(s)也一定有一个复数共轭也一定有一个复数共轭的的极点或零点，且对于极点或零点，且对于X(s)的部分分式展的部分分式展开式中的系数也互为共轭。开式中的系数也互为共轭。六、卷积性质六、卷积性质那么那么七、时域微分七、时域微分但但ROC有可能扩大有可能扩大八、八、s域微分域微分九、时域积分九、时域积分例：求例：求的拉氏变换的拉氏变换解：解：故：故：推广：推广：及：及：故：故：例：例：关于一个拉氏变换为关于一个拉氏变换为X(s)的实信号的实信号x(t)给出下列条件：给出下列条件：1、X(s)只有两个极点；只有两个极点；2、X(s)在有限在有限s平面没有零点；平面没有零点；3、X(s)有一个零点在有一个零点在-1+j；4、e2tx(t)不是绝对可积；不是绝对可积；5、X(0)=8求求X(s)解：由（解：由（1）由（由（2）由（由（3）由（由（4）不含不含j轴轴由（由（5)得：得：十、初值和终值定理十、初值和终值定理则则若若t0，x(t)=0且在且在t=0不不包括任何冲激或高阶奇异包括任何冲激或高阶奇异函数，则函数，则初值定理所得到的初值都是初值定理所得到的初值都是x(t)在在t=0+时刻的值，时刻的值，而不是在而不是在t=0或或t=0-时刻的值。时刻的值。sX(s)的收敛域的收敛域一定要包含一定要包含j轴轴例：例：求该信号的终值求该信号的终值解：当解：当a0时，收敛域不包括时，收敛域不包括j，故：，故：不存在不存在9.6常用拉氏变换对常用拉氏变换对nP499表9.2。9.7用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统利用卷积性质，有：利用卷积性质，有：H(s)为为系统函数系统函数或或转移函数转移函数。一、因果性一、因果性一个因果系统的系统函数的一个因果系统的系统函数的ROC是是某个右半平面。某个右半平面。对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于等效于ROCROC位于最右边极点的右边的右半平面。位于最右边极点的右边的右半平面。例例有一系统，其单位冲激响应为有一系统，其单位冲激响应为其其系统函数和系统函数和ROC为：为：系统函数是有理的，系统函数是有理的，ROC是是右半平面，所以系统是因果的。右半平面，所以系统是因果的。例例考虑下面系统函数考虑下面系统函数请问该系统是因果的吗？请问该系统是因果的吗？例例有一系统，其单位冲激响应为有一系统，其单位冲激响应为其其系统函数和系统函数和ROC为：为：ROC 不是右半平面，不是因果的不是右半平面，不是因果的 二、稳定性二、稳定性定理一：当定理一：当且仅当且仅当系统函数系统函数H(s)的的ROC包括包括j轴轴即：即：Res=0时，一个时，一个LTI系统就是稳定的。系统就是稳定的。ReImxs=jws-plane系统系统稳定稳定h(t)绝绝对可对可积积H(j)收敛收敛例例：考虑一：考虑一LTI系统，系统函数系统，系统函数ReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-plane因果、因果、不稳定不稳定系统系统非因果、非因果、稳定系稳定系统统反因果、反因果、不稳定系不稳定系统统定理二：一个具有有理系统函数定理二：一个具有有理系统函数H(s)的因果的因果LTI系统，当且仅当系统，当且仅当系统函数系统函数H(s)的的全部极点都位于全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部平面的左半平面时，也即全部极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。ReImxxs=jws-plane例：例：ReIm-1xx-2s=jw ws-plane收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。例：已知一因果例：已知一因果LTI系统的系统函数如下系统的系统函数如下问：讨论该系统的稳定性问：讨论该系统的稳定性解：该系统的零极点图为：解：该系统的零极点图为：当其收敛域位于当其收敛域位于时，该系统是稳定的。时，该系统是稳定的。当其收敛域位于当其收敛域位于时，该系统是不稳定的。时，该系统是不稳定的。三、由线性常系数微分方程表征的三、由线性常系数微分方程表征的LTI系统系统例：已知一因果例：已知一因果LTI系统，其微分方程为：系统，其微分方程为：求（求（1）系统函数）系统函数H(s)（2）若输入信号）若输入信号x(t)为为e-tu(t),求求y(t)（3）若输入信号）若输入信号x(t)为为e2t,求求y(t)解：解：（1）（2）(3)根据特征函数特征值的概念：根据特征函数特征值的概念：9.8系统函数的方框图与信流图表示系统函数的方框图与信流图表示一、一、LTI系统互联的系统函数系统互联的系统函数H1(s)H2(s)xyw反反馈馈互互联联实际例子：实际例子：控制飞机的副翼，使其沿着特定的轨迹飞行等。控制飞机的副翼，使其沿着特定的轨迹飞行等。H2(s)H1(s)xyw+-+二、微分方程、有理系统函数、因果二、微分方程、有理系统函数、因果LTILTI系统系统的方框图表示的方框图表示2系统的信号流图表示系统的信号流图表示对对于于比比较较大大的的系系统统，如如果果用用方方框框图图的的方方式式就就比比较较麻麻烦烦，而而由由上上面面的的讨讨论论可可知知，一一个个系系统统的的特特性性完完全全由由其其子子系系统统的的系系统统函函数数以以及及各各个个子子系系统统之之间间的的连连接接方方式式所所决决定定。因因此此可可以以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。将方框图简化，用系统的信号流图来表示。信号流图中的一些术语：信号流图中的一些术语：节点：表示系统中变量或信号的点：节点：表示系统中变量或信号的点：X(s)、Y(s)、x2源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号；阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号；支支路路：连连接接两两个个节节点点之之间间的的定定向向线线段段，支支路路的的增增益益即即为为其其转转移函数。移函数。转移函数：两个节点之间的增益：转移函数：两个节点之间的增益：b0、b1通通路路：沿沿支支路路箭箭头头方方向向通通过过各各相相连连支支路路的的途途径径（注注意意：不不允许有相反方向支路存在）允许有相反方向支路存在）前前向向通通路路：从从源源点点到到阱阱点点方方向向的的通通路路上上，通通过过任任何何节节点点不不多余一次的全部路径；多余一次的全部路径；闭闭合合通通路路：通通路路的的终终点点为为通通路路的的起起点点，且且与与任任何何其其它它节节点点相交不多于一次，又称为环路；相交不多于一次，又称为环路；前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；不接触环路：两环路之间无任何公共节点；不接触环路：两环路之间无任何公共节点；信号流图的性质：信号流图的性质：1）信号只能沿着支路上的箭头方向通过；信号只能沿着支路上的箭头方向通过；2）节节点点可可以以将将所所有有输输入入支支路路的的信信号号叠叠加加，并并把把总总和和信信号号传传送到所有输出支路；送到所有输出支路；3）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合节节点点，可可通通过过增增加加一一个个具具有有单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理；单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理；4）给定的系统，其流图形式不唯一；给定的系统，其流图形式不唯一；5）流图转置后，其转移函数保持不变；流图转置后，其转移函数保持不变；3：信号流图的简化：信号流图的简化梅逊公式：梅逊公式：gk：表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；k：称称为为对对于于第第k条条前前向向通通路路特特征征行行列列式式的的余余因因子子,是是除除去去与与第第k条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式其中：其中：称为流图的特征行列式：称为流图的特征行列式：k：表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号；条前向通路的标号；例：例：例：例：例：有一因果系统的微分方程为：例：有一因果系统的微分方程为：求求（1）系统函数）系统函数H(s)（2）画出信流图。）画出信流图。一、定义根据时间变量根据时间变量t 取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和单边拉氏变换之分。如果单边拉氏变换之分。如果t 的取值范围是从的取值范围是从-到到+，则称为，则称为双边拉氏变换；如果双边拉氏变换；如果t 的取值范围是从的取值范围是从0-到到+，则称为单边拉，则称为单边拉氏变换，其定义式为氏变换，其定义式为:9.9单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！n双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的不同的不同因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。单边拉氏变换的收敛域只有两种可能：单边拉氏变换的收敛域只有两种可能：要么在最右边极点右边的要么在最右边极点右边的s平面，要么是整个平面，要么是整个s平面。平面。n例例考虑信号考虑信号x(t)这个信号的双边拉氏变换为：这个信号的双边拉氏变换为：这个信号的单边拉氏变换为：这个信号的单边拉氏变换为：n对于在对于在t 0-具有相同函数表达式，而在具有相同函数表达式，而在t0-时却并不相时却并不相同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏变换却各不相同。的双边拉氏变换却各不相同。对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用。相同的作用。二、性质二、性质nP517表表9.3。单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：时移性质、时域微分和时域积分。时移性质、时域微分和时域积分。1、时、时移移性质性质2、单边拉氏变换的时域微分性质、单边拉氏变换的时域微分性质例：已知一系统的微分方程为：例：已知一系统的微分方程为：求分别输入求分别输入时的输出时的输出y(t)。解：解：解：解：(1)对方程两边同时进行单边拉氏变换：对方程两边同时进行单边拉氏变换：（一）、元件的复频域模型（一）、元件的复频域模型1、电阻、电阻三、三、应用拉氏变换分析电路应用拉氏变换分析电路2、电容、电容3、电感、电感当元件初始储能为零时：当元件初始储能为零时：（二）、（二）、线性电路的分析线性电路的分析1、分析步骤、分析步骤u计算计算及及；u将元件换为复频域模型，绘运算电路将元件换为复频域模型，绘运算电路u据据一一般般的的电电路路分分析析方方法法对对运运算算电电路路进进行行分分析析，计计算出响应的象函数算出响应的象函数u据据拉拉氏氏变变换换表表及及部部分分分分式式展展开开，对对响响应应的的象象函函数数进行反变换，得出时域响应进行反变换，得出时域响应例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u(t)u(t)。求。求输出电输出电压压v vR R(t(t)的初值的初值v vR R(0)(0)和和终值终值v vR R()()。CvR(t)+u(t)_R -解：解：利用初值定理：利用初值定理：利用终值定理：利用终值定理：例、求电路的零状态响应例、求电路的零状态响应运算运算电路电路其中其中例、已知：例、已知：求：全响应求：全响应运算运算电路电路据节点法：据节点法：例例.一个一个LTI系统，其系统函数为：当系统，其系统函数为：当x(t)=e-tu(t)时，时，y(t)=(e-t-e-2t)u(t)1.求出具有这一特性的系统函数求出具有这一特性的系统函数H(s)。做零极点图、标收敛做零极点图、标收敛域，并判定因果性、稳定性。域，并判定因果性、稳定性。2.求该系统的冲击响应求该系统的冲击响应h(t)。3.求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）4.画出该系统的信号流程图与方框图。画出该系统的信号流程图与方框图。5.若输入若输入x(t)e2t，求输出求输出y(t)。解：解：（1）因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数为有理函数，故其是因果的；为有理函数，故其是因果的；稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（j轴），故是稳定的。轴），故是稳定的。（4）方框图与信流图：）方框图与信流图：（5）若输入信号为）若输入信号为e2t，则响应为：，则响应为：(2)(3)单位冲激响应：单位冲激响应：微分方程：微分方程：