定积分的几何意义课件

定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义11、求曲边梯形面积、求曲边梯形面积分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限2、定积分定义、定积分定义3、定积分几何意义、定积分几何意义4、定积分计算性质、定积分计算性质1、求曲边梯形面积分割-近似代替-求和-21.求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)近近似似代代替替:任任取取x xi xi-1,xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高高为为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。(4)取极限取极限:所求曲边所求曲边梯形的面梯形的面积积S为为 (3)求和求和:取取n个小矩形面积的和个小矩形面积的和作为曲边梯形面积作为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1x xi (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度x1.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 32.2.定积分的定义定积分的定义 如果如果当当n n时，时，S S 无限接近某个无限接近某个常数常数，这个常数叫做函，这个常数叫做函数数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，上的定积分，记作记作分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极取极限限 说明说明:定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即2.定积分的定义 如果当n时，S 无限接近某个常数，这个4定积分的定义：定积分的定义：被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限积分号积分号a,b叫做积分区间叫做积分区间定积分的定义：被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分53 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义：Ox yab yf(x)x a、x b与与 x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。3、定积分的几何意义：Ox yab yf(x)x=a、6 当当f(x)0时，由时，由y f(x)、x a、x b 与与 x 轴所围成轴所围成的曲边梯形位于的曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yO-ab y f(x)y-f(x)-S上述上述曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：定积分的几何意义：-S 当f(x)0时，由yf(x)、xa、7 的实质的实质 （1 1）当）当f f(x x)在区间在区间a a,b b上上大于大于0 0时，时，表示表示 由由 ，这也是定积分的几何意义，这也是定积分的几何意义.（2 2）当）当f f(x x)在区间在区间a a,b b上上小于小于0 0时，时，表示表示 .直线直线x x=a a,x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线和曲线y y=f f(x x)所围成的曲所围成的曲边梯形的面积边梯形的面积由直线由直线x x=a a，x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线和曲线y y=f f(x x)所围成的所围成的曲边梯形的面积的相反数曲边梯形的面积的相反数3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义：的实质直线x=a,x=b8根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴如何用定积分表示图中阴影部分的面积影部分的面积?ab yf(x)Ox y定积分的几何意义：定积分的几何意义：根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?a9 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3 34.4.定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1 1性质性质2 2ab y=f(x)cOx y(a(ac cb)b)定积分关于积分区间具有可加性性质34.定积分的基本性质 10S-SS S表示以表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积ababxxyy00SS2.2.如果如果f(x)在在a,b上时正，时负，如下图上时正，时负，如下图abxyy=f(x)0-几何意义S-SS表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积ababxxy110000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例例1.用定积分表示图中四个用定积分表示图中四个阴影部分面积阴影部分面积变式变式:用定积分表示下列用定积分表示下列阴影部分面积。阴影部分面积。（1）（2）0 0 1 12 2 x xy y1 11 1-1-10 0y yx x0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(12例例2.2.解：xyf(x)=sinx1-1变式变式:1 1）2 2）例例3.3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。1 1）2 2）例2.解：xyf(x)=sinx1-1变式:1）2）例3.利13变式变式1.1.变式变式2.2.变式：变式：求右图阴影部分的面积。求右图阴影部分的面积。0 0 x x1 1y y变式1.变式2.变式：求右图阴影部分的面积。0 x1y14 解：由定积分几何意义可知1 10 0 x xy yy=xy=x-465OxyAB变式变式1.解：由定积分几何意义可知10 xyy=x-465Ox15变式变式2.x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的变式2.x1y面积值为圆的面积的16 例例5.5.分析：如图所示分析：如图所示0 01 12 2y yx x 例5.012yx17 变式变式.求下图阴影部分的面积。解：由定积分几何意义知 0 0 x x1 1y y 变式.求下图阴影部分的面积。0 x1y18解 如图所示，阴影部分面积0 01 12 2y yx x012yx19课后探究：课后探究：解解 如图所示，阴影部分面积如图所示，阴影部分面积0 01 12 2y yx x课后探究：012yx20