第三章傅里叶变换-课件

宁波大学科技学院理工分院 2008.23.1 引言第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换X第第第第 2 2 页页页页频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等重要概念。X第第第第 3 3 页页页页发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。X第第第第 4 4 页页页页主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。X第第第第 5 5 页页页页第第第第 5 5 页页页页三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差3.2 周期信号傅里叶级数分析X第第第第 6 6 页页页页第第第第 6 6 页页页页一三角函数形式的傅里叶级数 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.由积分可知由积分可知1.三角函数集X第第第第 7 7 页页页页第第第第 7 7 页页页页在满足狄氏条件时，可展成在满足狄氏条件时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式X第第第第 8 8 页页页页第第第第 8 8 页页页页其他形式余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式X第第第第 9 9 页页页页第第第第 9 9 页页页页例3-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为直流直流基波基波谐波谐波X第第第第 1 10 0 页页页页第第第第 1 10 0 页页页页关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性。幅度频率特性和相位频率特性X第第第第 1 11 1 页页页页第第第第 1 11 1 页页页页二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集2 2级数形式级数形式3 3系数系数利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性X第第第第 1 12 2 页页页页第第第第 1 12 2 页页页页说明X第第第第 1 13 3 页页页页第第第第 1 13 3 页页页页三两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式X第第第第 1 14 4 页页页页第第第第 1 14 4 页页页页相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性X第第第第 1 15 5 页页页页第第第第 1 15 5 页页页页 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线X第第第第 1 16 6 页页页页第第第第 1 16 6 页页页页四总结（1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系（4）引入负频率引入负频率X第第第第 1 17 7 页页页页第第第第 1 17 7 页页页页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式X第第第第 1 18 8 页页页页第第第第 1 18 8 页页页页(2)两种频谱图的关系单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱关系关系X第第第第 1 19 9 页页页页第第第第 1 19 9 页页页页(3)三个性质(4)引入负频率注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性X第第第第 2 20 0 页页页页第第第第 2 20 0 页页页页五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量X第第第第 2 21 1 页页页页第第第第 2 21 1 页页页页1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的X第第第第 2 22 2 页页页页第第第第 2 22 2 页页页页2奇函数X第第第第 2 23 3 页页页页第第第第 2 23 3 页页页页3奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：X第第第第 2 24 4 页页页页第第第第 2 24 4 页页页页4偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量X第第第第 2 25 5 页页页页第第第第 2 25 5 页页页页六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：表明：周期信号平均功率周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和；也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。X第第第第 2 26 6 页页页页第第第第 2 26 6 页页页页七傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数误差函数方均误差方均误差宁波大学科技学院理工分院 2008.23.3 典型周期信号的傅里叶级数X第第第第 2 28 8 页页页页第第第第 2 28 8 页页页页本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：主要讨论：频谱的特点，频谱的特点，频谱结构，频谱结构，频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。其他信号，如其他信号，如周期锯齿周期锯齿脉冲信号脉冲信号 周期三角周期三角脉冲信号脉冲信号 周期半波余弦周期半波余弦信号信号 周期全波余弦周期全波余弦信号信号请请自学。自学。3.3 典型周期信号的傅里叶级数X第第第第 2 29 9 页页页页第第第第 2 29 9 页页页页一频谱结构1.1.三角函数形式的谱系数三角函数形式的谱系数2.2.指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数3.3.频谱特点频谱特点X第第第第 3 30 0 页页页页第第第第 3 30 0 页页页页1三角形式的谱系数 是个偶函数是个偶函数X第第第第 3 31 1 页页页页第第第第 3 31 1 页页页页2指数形式的谱系数X第第第第 3 32 2 页页页页第第第第 3 32 2 页页页页3频谱及其特点(1)(1)包络线形状：抽样函数包络线形状：抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性）X第第第第 3 33 3 页页页页第第第第 3 33 3 页页页页4总结 矩矩形形脉脉冲冲的的频频谱谱说说明明了了周周期期信信号号频频谱谱的的特特点点：离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛性。X第第第第 3 34 4 页页页页第第第第 3 34 4 页页页页1.问题提出二频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。X第第第第 3 35 5 页页页页第第第第 3 35 5 页页页页而总功率而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值二者比值