第2章--流体运动学和动力学基础资料课件

第二章第二章 流体运动学和动力学基础 本章作业：习题本章作业：习题1,3,6,8,9,10,11,13,15 流场流场(流场及其描述方法流场及其描述方法,迹线、流线和流管迹线、流线和流管)流体微团运动的分析流体微团运动的分析(散度、旋度和速度位散度、旋度和速度位)连续方程和流函数连续方程和流函数(连续方程、流函数连续方程、流函数)旋涡运动旋涡运动(涡线、涡管及旋涡强度、环量诱导速度及相关定理涡线、涡管及旋涡强度、环量诱导速度及相关定理)欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分(欧拉运动方程、伯努利方程欧拉运动方程、伯努利方程)流体力学中的动量定理流体力学中的动量定理(一般原理及例子一般原理及例子)2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法 连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉格朗日方法，拉格朗日方法，质点法）质点法）1）拉格朗日坐标：）拉格朗日坐标：在某一初始时刻在某一初始时刻t0，以不同的一组数（，以不同的一组数（a,b,c）来标记不同的）来标记不同的流体质点，这组数（流体质点，这组数（a,b,c）就叫拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。）就叫拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。2）拉格朗日描述：拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观）拉格朗日描述：拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每一个流体质点的运动轨迹（察每一个流体质点的运动轨迹（流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的集流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的集合合称为迹线）以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化，然后综合称为迹线）以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有流体质点的运动，得到整个流场的运动规律。所有流体质点的运动，得到整个流场的运动规律。具体形式：若具体形式：若f表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述地说学表达是：表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述地说学表达是：f=f(a,b,c,t);x(a,b,c,tx(a,b,c,t),),y(a,b,c,ty(a,b,c,t),),z(a,b,c,tz(a,b,c,t)其中，其中，a,b,ca,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点的。为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点的。t t表示时间。表示时间。a.b.c.ta.b.c.t称为拉格朗日变数。称为拉格朗日变数。a.b.ca.b.c给定，表示指定质点的轨迹。给定，表示指定质点的轨迹。t t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。(警察抓小偷的方法警察抓小偷的方法警察抓小偷的方法警察抓小偷的方法)xyz2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法2024/7/112沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例如流体质点的运动速度的拉格朗日描述为：压强 p的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法脉脉线线：指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条染色线，故脉线也称为染色线。染色线也是同一时刻不同流体质点的连线。经过烟头和烟囱冒出的烟都是形成脉线的例子。2024/7/113沈阳航空工业学院飞行器设计教研室对于给定流体质点，速度表达式是对于给定流体质点，速度表达式是流体质点的加速度为流体质点的加速度为流体质点的其它物理量也都是流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。迹线方程为：的函数。迹线方程为：2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法2024/7/114沈阳航空工业学院飞行器设计教研室2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）方法（欧拉方法，空间点法，流场法）1）欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运）欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法。动描述方法。2）欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动规律的质点空间坐标）欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变数。变量称为欧拉坐标或欧拉变数。在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。个流场的运动规律。(流线流线:流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的速度方流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的速度方向与各该点的切线方向重合。向与各该点的切线方向重合。)压强场：压强场：p=p(x,y,z,t)其中，其中，x,y,zx,y,z为空间点的坐标，为空间点的坐标，t t表示时间，表示时间，x.y.z.tx.y.z.t称为欧拉变数。称为欧拉变数。x.y.zx.y.z给定，给定，t t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t t给定，给定，x.y.zx.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。定速度场。(守株待兔，看门房式的工作方法)2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法2024/7/115沈阳航空工业学院飞行器设计教研室应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该空间点流体质点所具有的速度。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法2024/7/116沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 一个布满了某种物理量的空间称为场。流场:流体流动所占据的空间(运动流体所充满的空间运动流体所充满的空间)。用以表示流体运动特征的物理量称用以表示流体运动特征的物理量称“流动参数流动参数”,如速度、密度、压强等。所以流场如速度、密度、压强等。所以流场又是上述物理量的场。又是上述物理量的场。如果物理量是速度，描述的是速度场；如果是压强，称为压强场；在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场，这都包括在流场的概念之内。如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场定常场，否则为非定常场。非定常场。对于定常速度场的表达为：2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法一个速度场2024/7/117沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。参看下图，第以下面例子说明之。参看下图，第1图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B速度不变；第速度不变；第2图图表示流体质点从表示流体质点从A流到流到B点，因水位下降引起速度减小；第点，因水位下降引起速度减小；第3图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因管道收缩引起速度增加；第点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因水位点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。下降和管道收缩引起速度的变化。水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。性，其二是流场的非定常性。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法2024/7/118沈阳航空工业学院飞行器设计教研室设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在t时刻位于流场中时刻位于流场中M点，经过微分时段位于点，经过微分时段位于N点，根据加速度定义有点，根据加速度定义有根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式2024/7/119沈阳航空工业学院飞行器设计教研室由于流场不均匀性引起的速度变化为由于流场不均匀性引起的速度变化为 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式2024/7/1110沈阳航空工业学院飞行器设计教研室综合起来，得到流体质点的全加速度为综合起来，得到流体质点的全加速度为 等式右边第等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度；右边第称为局部加速度，或当地加速度；右边第2项表示因流体质点位置迁移引项表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合成称为全加速度，或随体加速度。写成分量形式为成称为全加速度，或随体加速度。写成分量形式为 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式2024/7/1111沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式如果流动参数是一维空间流程坐标 s和时间 t的函数，速度场为v（s,t）。则全加速度表示为：vs2024/7/1112沈阳航空工业学院飞行器设计教研室根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式2024/7/1113沈阳航空工业学院飞行器设计教研室2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时，便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任在这条曲线上，任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲线称为流线。线称为流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条这样的流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。(a)l(a)l1 1瞬时过点瞬时过点1 1的流线的流线(b)l(b)l2 2瞬时过点瞬时过点1 1的流线的流线时间 t 固定2024/7/1114沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：(1)在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合；在非定常流动中，流线和迹线一般是不在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合；在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。重合的。(2)通过空间固定点流线的形状，在定常流场中不随时间变化通过空间固定点流线的形状，在定常流场中不随时间变化;而在非定常流场中，要随而在非定常流场中，要随时间变化。这是由于非定常流场中流体质点速度随时间改变。所以在瞬时时间变化。这是由于非定常流场中流体质点速度随时间改变。所以在瞬时t2通过流场空间点通过流场空间点1的速度矢量将改变为的速度矢量将改变为v1，按流线的定义，按流线的定义，t2瞬时流过点瞬时流过点1的流线将改变为的流线将改变为s。见。见图图2-1(b)。(3)流场中每一点都有流线通过，所有流线的集合称流线谱或简称流谱。流场中每一点都有流线通过，所有流线的集合称流线谱或简称流谱。(4)在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线；也就是，在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线；也就是，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。在奇点（速度无穷大点，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。在奇点（速度无穷大点，源和汇源和汇）、驻点（零速）、驻点（零速度点）流线相切等例外。度点）流线相切等例外。(5)在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。ABo2024/7/1115沈阳航空工业学院飞行器设计教研室由流线上任意点的速度矢量与流线相切这一性质，可以求出流线的微分方程。由流线上任意点的速度矢量与流线相切这一性质，可以求出流线的微分方程。如图如图2-3所示，设在流线上某点所示，设在流线上某点M(x,y,z)处的速度为处的速度为v(其分量为其分量为vx,vy,vz)，M点点的流线微段长的流线微段长ds(其分量为其分量为 )，根据流线的定义可知，根据流线的定义可知ds与各坐标与各坐标轴的夹角同速度与相应坐标轴的夹角相同，因而相应的夹角余弦必相等轴的夹角同速度与相应坐标轴的夹角相同，因而相应的夹角余弦必相等,即即式中式中I,j,k分别为分别为x,y,z方向上的单位矢量方向上的单位矢量,由式由式(2-4)可求出可求出上式就是流线的微分方程式上式就是流线的微分方程式.当速度分布为已知时当速度分布为已知时,根据式根据式(2-5)可求出流场中通过任意点流线的形状。可求出流场中通过任意点流线的形状。或或(2-5)(2-4)2024/7/1116沈阳航空工业学院飞行器设计教研室与流线密切相关的，是流管流管和流面流面两个概念。流管是由一系列相邻的流线围成。在三维流动里，经过一条有流量流量穿过的封闭曲线的所有流线围成封闭管状曲面称为流管流管。图2-6 流管（a）流线组成流管侧壁；（b）没有流量由流管侧壁流出流面流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面。由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。流量流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量 、质量流量 和重量流量 可分别表为其中，是局部速度向量，是密度，是微元面积 的法线向量2024/7/1117沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例2-1 2-1 已知二维定常不可压流动的速度分布为已知二维定常不可压流动的速度分布为v vx x=ax,=ax,v vy y=-ay=-ay，a a为常数，求通过点为常数，求通过点P(2P(2，1)1)的流线方程。的流线方程。解解 由式由式(2-5)得流线得流线的微分方程的微分方程 积分后可得积分后可得即即将将P点坐标代入上式，定出点坐标代入上式，定出C=2。最后可得通过最后可得通过P点的流线为点的流线为xy=2.可见流线是等边双曲线，以可见流线是等边双曲线，以x,y轴轴为渐近线，若以为渐近线，若以x,y 轴同时当做轴同时当做固壁，且只研究在第一象限的流固壁，且只研究在第一象限的流动，上述流动为直角内的流动，动，上述流动为直角内的流动，见右图见右图2-4。2024/7/1118沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团运动的分析 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：（1）质点（无体积大小的空间点）只有平移运动（平动）；（2）刚体（具有一定体积大小，但无变形）运动除平移运动外，还 有整体的旋转运动（转动）；在流体力学中，研究对象是质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动2024/7/1119沈阳航空工业学院飞行器设计教研室流体微流体微团的一般运的一般运动 a)a)平移平移 b)b)线变形形 c)c)角角变形形 d)d)旋旋转 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1120沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据泰勒级数展开，微分为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据泰勒级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。面四个顶点的速度可表示如下。（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。（）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。（u,v,w）（2）线变形速率）线变形速率 线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段边长，在微分时段内边长的增加量为内边长的增加量为 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1121沈阳航空工业学院飞行器设计教研室由此得到由此得到x方向的线变形速率为方向的线变形速率为同理，在同理，在y方向的线变形速率为方向的线变形速率为平面微团的面积变化率为平面微团的面积变化率为 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1122沈阳航空工业学院飞行器设计教研室（3）角变形速率与旋转角速度）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，在微分时段内，AB与与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）边的偏转角度为（逆时针为正）在微分时间内，在微分时间内，AC边的偏转角度为（顺时针为负）边的偏转角度为（顺时针为负）2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1123沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示。平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示。设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为，边线的纯角变形量为，边线的纯角变形量为，则由几何关系可得，则由几何关系可得解出可得解出可得 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1124沈阳航空工业学院飞行器设计教研室定义，平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为定义，平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1125沈阳航空工业学院飞行器设计教研室流体微团平动速度：流体微团平动速度：流体微团线变形速率：流体微团线变形速率：流体微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团旋转角速度：流体微团旋转角速度：2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式2024/7/1126沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 德国物理学家德国物理学家 HelmholtzHelmholtz（1821-18941821-1894）18581858年提出的流场速度的分解年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。意两点，按泰勒级数展开给出分解。在在 速度为速度为 在在 点处，速度点处，速度为为 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理2024/7/1127沈阳航空工业学院飞行器设计教研室按泰勒级数展开有按泰勒级数展开有 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理2024/7/1128沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 应指出的是，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如，应指出的是，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如，（1 1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。（2 2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。（3 3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理2024/7/1129沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.2.3 散度及其意义散度及其意义散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）。为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是x,y,z，原来体积是（xyz），经过t时间后三个边长分别变为：2024/7/1130沈阳航空工业学院飞行器设计教研室流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零。如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为：2.2.3 散度及其意义散度及其意义2024/7/1131沈阳航空工业学院飞行器设计教研室一个流场，如果各处的都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动称为无无旋流旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流有旋流。根据数学上Stokes定律 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数业已知道，流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为x，y，x，合角速度可用矢量表示为这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。旋度。即有即有旋度为旋转角速度的二倍：旋度为旋转角速度的二倍：。2024/7/1132沈阳航空工业学院飞行器设计教研室；2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数2024/7/1133沈阳航空工业学院飞行器设计教研室解：流体微团绕z轴的旋转角速度为流动无旋，存在速度势函数。例2.1 设有一个二维流场其速度分布的式子是 ，问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？变形率的是什么？流线方程为 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数对于无旋流，沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分，结果只与二端点的值之差有关而与积分路径无关。即2024/7/1134沈阳航空工业学院飞行器设计教研室积分得常数C取一系列的值画得一系列的流线，见下图。角变形率：考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；由于相对体积膨胀率为零，x方向线段有缩短，y方向线段必有拉伸，流动过程中矩形微团面积保持不变；流体微团无角变形。2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数2024/7/1135沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例2-2 2-2 在例在例2-12-1流场中，已知流场中，已知vx=ax;vx=ax;vyvy=-ay=-ay，求位函数，求位函数。解解 由式由式 分别进行积分得分别进行积分得由由可知流场存在速度位函数可知流场存在速度位函数,于是有于是有最后得最后得2024/7/1136沈阳航空工业学院飞行器设计教研室等位线是等位线是 ,为等边双曲线，以为等边双曲线，以x=y，及，及x=-y两直线为其渐近线，画两直线为其渐近线，画出来的流线和等位线如图出来的流线和等位线如图2-9所示所示.图中的实线表示流线，虚线表示等位线。该流动图中的实线表示流线，虚线表示等位线。该流动称为直角流动称为直角流动.图图2-9 流场中的流线和等位线流场中的流线和等位线2024/7/1137沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例2-3 有一二维流动，其流线族为圆心在原点的一系列同心圆，即 .求流场的速度位函数.(k为常数)解解 假定流场存在速度位假定流场存在速度位，应用式，应用式 分别对分别对 r,进行积分进行积分,得得由速度位由速度位存在的条件又可得出流场一定是无旋流场存在的条件又可得出流场一定是无旋流场(除原点外除原点外).该流场的流线和该流场的流线和等位线如等位线如图图2-10所示。该流动为流体力学中的基本流动、通常称为点涡流动所示。该流动为流体力学中的基本流动、通常称为点涡流动.图图2-10 点涡流动的流线和等位线点涡流动的流线和等位线2024/7/1138沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例2-4 2-4 设某二维流动的速度分布为设某二维流动的速度分布为v vx x=ay,=ay,v vy y=0,a=0,a为常数，求为常数，求该流场的速度位函数。该流场的速度位函数。解解 假定流场存在速度位假定流场存在速度位,于是有于是有将将vx,vy进行积分后得进行积分后得 显然显然.无法找到无法找到f1(y)和和f2(x)使上面的两个表达式一致使上面的两个表达式一致.故此，速度位函数故此，速度位函数不存在不存在.另外，注意另外，注意该流动为有旋流动，即不存在速度位函数该流动为有旋流动，即不存在速度位函数，这与前面，这与前面的结论相符的结论相符.该流动称为平面该流动称为平面Couette流动。流动。2024/7/1139沈阳航空工业学院飞行器设计教研室连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。假设六面体中心点坐标为（x，y，z）。在 t 时，过中心点流体微团的三个分速是u，v，w，密度是。在t瞬时，过该点处通过垂直于x轴单位面积的流体流量为u，如果把这个量看作为空间和时间的函数，则根据台劳级数展开有在dt时段内，从ABCD面进入的流体质量为 2.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组xzy2024/7/1140沈阳航空工业学院飞行器设计教研室在在dt时段内，从时段内，从ABCD面流出的流体质量为面流出的流体质量为在在dt时段内，由时段内，由x面储存在在微分六面体的流体质量为（净流入量）面储存在在微分六面体的流体质量为（净流入量）同理可得，在同理可得，在dt时段内，由时段内，由y,z面储存在微分六面体的流体质量为面储存在微分六面体的流体质量为 2.3.1 连续方程连续方程2024/7/1141沈阳航空工业学院飞行器设计教研室由此可得，在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为 由于是空间位置和时间的函数，在dt时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为根据质量守恒定律，在dt时段内从侧面净流入微分六面体的总质量应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量。2.3.1 连续方程连续方程2024/7/1142沈阳航空工业学院飞行器设计教研室上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程。即 2.3.1 连续方程连续方程2024/7/1143沈阳航空工业学院飞行器设计教研室结论：流体在运动时，应服从质量守恒定律，这条定理在空气动力学中的流体在运动时，应服从质量守恒定律，这条定理在空气动力学中的数学表达式称为连续方程或质量方程数学表达式称为连续方程或质量方程.矢量表达形式矢量表达形式对于定常不可压流体的极坐标方程对于定常不可压流体的极坐标方程另一形式另一形式2024/7/1144沈阳航空工业学院飞行器设计教研室不可压 指的是每个质点的密度在流动过程中保持不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如变密度平行流动。2.3.1 连续方程连续方程2024/7/1145沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.3.1 连续方程连续方程2024/7/1146沈阳航空工业学院飞行器设计教研室2.3.2 流函数流函数函数函数(x,y)称为流函数称为流函数.对于二维定常不可压缩流动，连续方程式对于二维定常不可压缩流动，连续方程式(2-21)可写为可写为由高等数学可知式由高等数学可知式(2-22)表明是某一函数表明是某一函数的全微分，即的全微分，即又又故有故有(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)2024/7/1147沈阳航空工业学院飞行器设计教研室流函数与速度位关系流函数与速度位关系2024/7/1148沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例2-5 2-5 已知一二维均匀直线流动已知一二维均匀直线流动,v,vx x=A,v=A,vy y=B=B。A,BA,B为常数，求流场的流为常数，求流场的流函数及速度位函数及速度位.解解 由式由式(2-25)得得积分后得积分后得由解的同一性可知由解的同一性可知即即等位线斜率为等位线斜率为而而于是可知均匀直线流动中的流线于是可知均匀直线流动中的流线族与等位线族是正交的，见右图族与等位线族是正交的，见右图直匀流场中的流线与等位线直匀流场中的流线与等位线2024/7/1149沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例2-6 2-6 设二维不可压流动中设二维不可压流动中 v vr rf(rf(r),v),v=0=0。求满足质量守恒定律。求满足质量守恒定律所要求的所要求的f(rf(r)的表达式及流函数和速度位。的表达式及流函数和速度位。解解 由二维不可压流动的质量守恒定律的数学表达式由二维不可压流动的质量守恒定律的数学表达式可得可得积分后得积分后得vr的解为：的解为：式中式中k为常数为常数极坐标系中极坐标系中积分后得积分后得点源流动的流线与等位线点源流动的流线与等位线由解的同一性知由解的同一性知最后得最后得这里的常数这里的常数k由通过半径为由通过半径为r的圆周的体积流量的圆周的体积流量求出，即求出，即流线在原点处相交且原点处速度为无穷大，其在原点处流动为奇点，这类流流线在原点处相交且原点处速度为无穷大，其在原点处流动为奇点，这类流动称为点源（或汇）流动，见右图动称为点源（或汇）流动，见右图2024/7/1150沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体微团来看，不计粘性力，表面力没有切向力，仅有法向力（压力）一种。设六面体中心点坐标为(x,y,z)，相应该点处的流体要素为压强p(x,y,z,t),单位质量力，速度u,v,w。在微元体的左面，压力为 在微元体的右面，压力为xyzPdxdydz2024/7/1151沈阳航空工业学院飞行器设计教研室微元六面体质量力在x方向的分力为 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组根据牛顿定律：x 方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得两边同除以微元体积 的质量dxdydz，取极限得到x方向的运动方程。为请注意，这里写成全加速度形式，是因为在上述分析过程中，在微分时段内跟随流体微团建立的。或者可表示为2024/7/1152沈阳航空工业学院飞行器设计教研室同理可得其它两个方向的运动方程。综合起来，有上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（1755年）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另一种形式，为 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组2024/7/1153沈阳航空工业学院飞行器设计教研室s矢量形式如果把加速度项重新组合，可以在加速度项中显示出旋转角度来，这样的方程称为格罗米柯-Lamb型方程。如x方向的方程，有 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组2024/7/1154沈阳航空工业学院飞行器设计教研室由此可得“格罗米柯形式”为写成矢量形式为这个方程本质上仍是在理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度项。便于分析无旋流动。对于理想流体，可以无旋运动也可以有旋运动。只是对于理想流体，微团在运动过程中不会受到切向力的作用，因而流体微团在运动过程中不会改变它的旋度，如原来旋度为零的（即无旋流）在运动过程也保持无旋流；原来有旋的，继续保持为有旋流，且其旋度不变。2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组2024/7/1155沈阳航空工业学院飞行器设计教研室对于理想正压流体，在质量力有势条件下，假设为定常流动，有 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义这样格罗米柯方程变为现在流场中，任取一条光滑曲线，并将上式投影到曲线上，有2024/7/1156沈阳航空工业学院飞行器设计教研室如果上式右边项为零，有这样在曲线上，下式成立。这就是Bernoulli积分，或伯努利方程。上式表明，对于理想正压流体的定常上式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。（压能和动能之和不变，即总机械能不变。（1738年）年）2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义2024/7/1157沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义2024/7/1158沈阳航空工业学院飞行器设计教研室如果两边同除以g，最后得到的能量方程形式为y-表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头；表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头；p/-表示表示单位重量流体在位重量流体在绝对真空管中上升的高度，称真空管中上升的高度，称为压强强水水头；V2/2g-表示表示单位重量流体垂直上抛所能达到高度，称位重量流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水速度水头；H-表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义2024/7/1159沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例.求如图光滑容器中小孔的出流速度 v，假设小孔中心距自由面深为 hvhpapa解解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0 与小孔的出流速度相比可以忽略不计，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度此式也可是将流动看成是一维流动的结果，从而（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值 ，其中cv叫做速度系数，实验表明cv0.97）2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2024/7/1160沈阳航空工业学院飞行器设计教研室测量低速气流的速度时，用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图。基本原理是 总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0，而静压空处感受到的是静压。测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0-p）就行了。风速管的结构 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2024/7/1161沈阳航空工业学院飞行器设计教研室直匀流对机翼的绕流 例例.在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压p=p101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的=1.255千克/米3。假设流动无旋，求A、B、C三点的压强解解:流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据远前方的条件得这就是通用于全流场的常数。于是 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2024/7/1162沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其正比于半径r，即=kr，如图。试证伯努利常数C是r的函数。证:先沿着流线写出伯努利方程 一种旋转流动 对半径取导数：法向压力差必须平衡微团的离心力，故有 左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的投影。略去微量的高次项，得代入的式子，并将代入，得 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2024/7/1163沈阳航空工业学院飞行器设计教研室如果速度场是如果速度场是试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。该流场实际上是一个无涡流场，能量方程积分常数不变。该流场实际上是一个无涡流场，能量方程积分常数不变。对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡核外的诱导流场。在涡核内流体质点像对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡核外的诱导流场。在涡核内流体质点像刚体一样绕涡轴旋转，其周向速度与刚体一样绕涡轴旋转，其周向速度与r成正比，在涡核外的诱导流场是无涡运动，成正比，在涡核外的诱导流场是无涡运动，其周向速度与其周向速度与r成反比。成反比。2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2024/7/1164沈阳航空工业学院飞行器设计教研室推导动量方程用图推导动量方程用图 2.4 2.4 动量方程动量方程在瞬时 和 ，系统所具有的动量分别以 和 表示，根据牛顿第二定律，对于定常流体有：即所以对于任意定常流动的控制体，只要其进出口截面上流动参数是均匀的，则动量方程为：（1.41）2.4.1 微分形式的动量方程微分形式的动量方程2024/7/1165沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 将雷诺输运定律表达式 中的换为动量mV，则 ，根据牛顿第二定律 上式即为动量方程。关于此式需要强调以下3点：1、V是流体相对于某一惯性坐标系的速度，如果坐标系运动则应考虑相对速度，而且，在非惯性系中必须要考虑惯性力。2.是作用在控制体上所有力的矢量和，包括表面力及质量力（体积力）。3.整个方程为矢量关系式，在直角坐标系中有三个分量式，其分量式为：同理可得到，x,y方向的分量方程。（2.43）我们称式（2.42）右边第二项为动量通量（2.44）（2.42）如果控制体的所有进出口都是一维流动，则有：（2.45）2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1166沈阳航空工业学院飞行器设计教研室v质量力v表面力2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1167沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例2-4-1：水在水平放置的U 型管内流动如图2-4-1所示，U 型管的截面积为A。进、出口的压强均为P，流速为V。不计粘性摩擦，求水对管子的作用力。解：解：取U 型管的侧壁和进、出口截面为控制体。作用在控制体上流体的力沿y方向的力抵消；沿 x方向的力有 ，假设向右为正；作用在进、出口截面上的力为 pA，方向指向作用面。沿x方向的动量方程为 图图 例例2-4-1 用图用图vv作用力的方向沿x方向。因此，水对管子的作用力为即2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1168沈阳航空工业学院飞行器设计教研室2.4.2 微分形式的动量方程微分形式的动量方程 推导微分形式的动量方程推导微分形式的动量方程作用在流管侧表面上的压强的合力在 S方向上的分量为则沿S方向的动量方程为：略去高阶无限小量，得微分形式的动量方程：（2-46）注：为作用在流管侧表面上的摩擦力在S方向的分量。2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1169沈阳航空工业学院飞行器设计教研室式（2-46）可以写成力的平衡形式：对于无粘性的理想流体，则可写成或写成 对气体来讲，重量很小，通常可以不计重力，则欧拉运动微分方程为 这就是无粘性流体的一维定常流动的运动微分方程式，也称一维流动的欧拉运动方程式。（2-47）（2-48）（2-49）2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1170沈阳航空工业学院飞行器设计教研室观察发动机的内部结构，思考如何表达推力（推力公式）2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1171沈阳航空工业学院飞行器设计教研室解：解：取与发动机相同速度的相对坐标系，并取控制体如图3-5中的虚线所示，则各力在x方向的合力为例例：利用动量方程式推导空气喷气发动机的推力公式。推导空气喷气发推导空气喷气发 动机的推力公式动机的推力公式燃油x方向的动量变化率为由动量方程得 即则发动机对控制体内气流的作用力：忽略 有：2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1172沈阳航空工业学院飞行器设计教研室例例：运用动量定理导出火箭向上垂直加速飞行（图3.22）的加速度公式（设火箭内气体的运动相对火箭是定常的）。解：取火箭本身的外壳表面和喷管的出口平面为控制面。对此控制面沿火箭飞行方向（z方向）写动量方程。为方便起见，取与火箭以同样速度运动的相对坐标系。因为火箭作加速运动，故该坐标系为非惯性系。对于非惯性坐标系，在运用动量方程时，要将惯性力考虑到合力中，并把速度改为相对速度。由此，对所取的控制面沿z方向的动量方程可以写为：推导推导火箭向上垂直加火箭向上垂直加速飞行的加速速飞行的加速 式中，第一项为作用在控制体的重力（MR为火箭整体的瞬时质量）；2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1173沈阳航空工业学院飞行器设计教研室第二项为作用在控制面上的压强的合力在z轴上的投影（pe为喷管出口处的压强，pa为大气压强，Ae为喷管出口处的截面积）；第三项为作用在控制面上的全部阻力的合力在z轴上的投影；第四项为火箭的惯性力，方向与火箭的加速度相反（V为火箭飞行的瞬时速度）；第五项为从控制面ee气体动量的流出率（为燃气的流量，Ve为气体相对于所取坐标的速度）。将上式整理后得：2.4 2.4 动量方程动量方程2024/7/1174沈阳航空工业学院飞行器设计教研室附附附附 2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程流体运动的积分方程流体运动的积分方程 2.4.1 基本概念基本概念流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题：（1）流体的运动学问题；（2）作用于流体上各种力的特征；（3）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量矩守恒、能量守恒等）流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程，如果关系式是以积分形式给出，称为流体动力学积分方程，如果是以微分形式给出，称为微分方程。在流体动力学积分方程中，具体包括：（1）连续方程；（2）动量方程；（3）动量矩方程；（4）能量方程1、系统、系统(System)定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。系统的基本特点（1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的交换；（3）在系统的边界上受到外界的表面力；（4）在系统的边界上存在能量的交换。2024/7/1175沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 例例如如，F=ma，F指指作作用用于于系系统统上上所所有有外外力力的的合合力力。a指指系系统统的的平平均均加加速速度度。系系统统对对应应于于Lagrange观观点点，即即以以确确定定的的流流体体质质点点系系统统作作为为研研究究对对象象，研究系统各物理量的关系。研究系统各物理量的关系。2、控制体（Control Volume）定定义义：被被流流体体所所流流过过，相相对对于于某某个个坐坐标标系系而而言言，固固定定不不变变的的任任何何体体积积称称为为控控制制体体。控控制制体体的的边边界界，称称为为控控制制面面。控控制制体体是是不不变变的的，但但占占据据控控制制体体的流体质点随时间是变化的。控制体的基本特点的流体质点随时间是变化的。控制体的基本特点（1）控控制制体体的的边边界界相相对对于于坐坐标标系系而而言言是是固固定定的的；（2）在在控控制制面面上上可可以以发发生生质质量量交交换换，即即流流体体可可以以流流进进、流流出出控控制制面面；（3）在在控控制制面面上上受受到到外外界界作作用用于于控控制制体体内内流流体体上上的的力力；（4）在在控控制制面面上上存存在在能能量量的的交交换换。例例如如，F=ma，F指指作作用用于于控控制制体体边边界界面面上上所所有有作作用用于于流流体体上上外外力力的的合合力力。控控制制体体对对应应Euler观观点点，即即以以通通过过确确定定的的体体积积流流体体质质点点作作为为研研究究对对象象，研研究究控控制体内流体各物理量的关系。制体内流体各物理量的关系。附附附附 2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程流体运动的积分方程流体运动的积分方程2024/7/1176沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 现任取一体积，边界表面积为现任取一体积，边界表面积为S0的确定系统作为考察对象。的确定系统作为考察对象。（1 1）连续方程（质量守恒）连续方程（质量守恒）表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。（2）动量方程动量方程 表示：系统的动量对时间的变化率等于外界作用于系统上的所有外力的合表示：系统的动量对时间的变化率等于外界作