离散型随机变量的均值课件

2.3.1 2.3.1 离散型随机离散型随机变量的均量的均值1精选ppt1.1.n n次独立重复次独立重复试验其中其中其中其中0 0p p1,1,p p+q q=1,=1,k k=0,1,2,.,=0,1,2,.,n nP(P(X Xk k)p pk kq qn nk kC Ck kn n则则称称称称X X服从参数服从参数服从参数服从参数为为n n，p p的二的二的二的二项项分布，分布，分布，分布，记记作作作作X X B B(n n，p p)一般地，由一般地，由一般地，由一般地，由n n n n次次次次试验试验构成，且每次构成，且每次构成，且每次构成，且每次试验试验互相独立完成，互相独立完成，互相独立完成，互相独立完成，每次每次每次每次试验试验的的的的结结果果果果仅仅有两种有两种有两种有两种对对立的状立的状立的状立的状态态，即，即，即，即A A A A与，每次与，每次与，每次与，每次试试验验中中中中P(P(P(P(A A A A)p p p p0 0 0 0。称。称。称。称这样这样的的的的试验为试验为n n n n次独立重复次独立重复次独立重复次独立重复试验试验，也，也，也，也称称称称伯努利伯努利伯努利伯努利试验试验。n n n n次独立重复次独立重复次独立重复次独立重复试验试验的特征的特征的特征的特征为为：1 1 1 1）每次）每次）每次）每次试验试验是在同是在同是在同是在同样样的条件下的条件下的条件下的条件下进进行的；行的；行的；行的；2 2 2 2）各次）各次）各次）各次试验试验中的事件是相互独立的；中的事件是相互独立的；中的事件是相互独立的；中的事件是相互独立的；3 3 3 3）每次）每次）每次）每次试验试验都只有两种都只有两种都只有两种都只有两种结结果果果果:发发生与不生与不生与不生与不发发生；生；生；生；4 4 4 4）每次）每次）每次）每次试验试验,某事件某事件某事件某事件发发生的概率是相同的生的概率是相同的生的概率是相同的生的概率是相同的.2.2.二二项分布分布复复习回回顾2精选ppt 一般地一般地,设离散型随机离散型随机变量量可能取的可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个取每一个值x xi i(i i1 1，2 2，)的概率的概率P(P(x xi i)p pi i，则称下表称下表为随机随机变量量的概率分布的概率分布.由概率的性由概率的性质可知可知,任一离散型随机任一离散型随机变量的分布都具有量的分布都具有下述两个性下述两个性质：3.3.离散型随机离散型随机变量的概率分布量的概率分布x1x2xiPp1p2pi（1）pi0，i1，2，n（2）p1p2pi+pn13精选ppt复复习引入引入 对于离散型随机于离散型随机变量量,可以由它的概率分布确可以由它的概率分布确定与定与该随机随机变量相关事件的概率量相关事件的概率.但在但在实际问题中中,有有时我我们更感更感兴趣的是随机趣的是随机变量的某些数字特征量的某些数字特征.例如例如:要了解某班同学在一次数学要了解某班同学在一次数学测验中的中的总体水体水平平,很重要的是看很重要的是看平均分平均分；要了解某班同学数学成；要了解某班同学数学成绩是否是否“两极分化两极分化”则需要考察需要考察这个班数学成个班数学成绩的的方差方差。我我们还常常希望常常希望直接通直接通过数字数字来反映随机来反映随机变量量的某个方面的特征的某个方面的特征,最常用的有最常用的有期望与方差期望与方差。4精选ppt按按3：2：1的比例混合，混合糖果中的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的每一粒糖果的质量都相等量都相等.定价定价为混合糖果的平均价格才合理混合糖果的平均价格才合理问题情景情景18元元/kg24元元/kg36元元/kg5精选pptm千克混合糖果的千克混合糖果的总价格价格为18元元/kg24元元/kg36元元/kg情景探究情景探究按按3：2：1混合以下糖果混合以下糖果 平均价格平均价格为362418PX权权数数数数加加权平平均均6精选ppt一一.离散型随机离散型随机变量的均量的均值或数学期望或数学期望 一般地一般地,若离散型随机若离散型随机变变量量 X X 的概率分布的概率分布为为X1.定定义2.2.性性质 已知随机已知随机变量量X X,其均其均值为E E(X X).).若若Y YaXaXb b,其中其中a a,b b为常数常数,则Y Y也是随机也是随机变量量.并且随机并且随机变量量Y Y的均的均值为：E E(Y Y)=E E(aXaXb b)aEaE(X X)b b 7精选pptpnxnpkxkp2x2p1x1PXpnaxn+bpkaxk+bp2ax2+bp1ax1+bPY随机随机变量量X X的分布列的分布列为：随机随机变量量Y Y=aXaX+b b的分布列的分布列为：随机随机变量量Y Y的数学期望是：的数学期望是：8精选ppt例例1.1.在在篮篮球比球比赛赛中中,罚罚球命中球命中1 1次得次得1 1分分,不中得不中得0 0分分。如。如果某运果某运动员罚球命中的概率球命中的概率为0.70.7,那么他那么他罚罚球球1 1次的得次的得分分X X的均的均值值是多少？是多少？X10P0.7 0.3解解:据据题意意,X,X的分布列的分布列为故他故他罚球球1 1次的得分次的得分X X的均的均值值是是0.70.7一般地一般地,如果随机如果随机变量量X X服从两点分服从两点分布布,那么那么E E(X X)=)=？X01P1 pp9精选ppt若若X X服从两点分布服从两点分布,则E E(X X)=)=p.p.二二.两点分布的均两点分布的均值?如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？三三.二二项分布的均分布的均值若若XB(n，p),则E(X)=np.注注:(1).:(1).随机随机变量的均量的均值是常数是常数,而而样本的平均本的平均值是随着是随着样本的不同而本的不同而变化的化的.因此因此,样本的平均本的平均值是随机是随机变量量;10精选ppt2.2.随机随机变量量的分布列是的分布列是 4 47 79 91010P P0.30.3a ab b0.20.2E()=7.5,E()=7.5,则则a=_,a=_,b b=_;=_;0.40.13.3.3.3.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 3 3 个个个个红红球和球和球和球和2 2 2 2个黄球个黄球个黄球个黄球,从中从中从中从中有放回地取有放回地取有放回地取有放回地取5 5 5 5次次次次,则则取到取到取到取到红红球次数的数学期望是球次数的数学期望是球次数的数学期望是球次数的数学期望是 .3练习:1.1.1.1.随机随机随机随机变变量量量量的分布列是的分布列是的分布列是的分布列是 1 13 35 5P P0.50.50.30.30.20.2(1).(1).则则E()=_;E()=_;2.4(2).(2).若若若若=2+1,=2+1,则则E()=_;E()=_;5.811精选ppt例例2 2.解解解解:设设学生甲和学生乙在学生甲和学生乙在学生甲和学生乙在学生甲和学生乙在这这次次次次测验测验中中中中选对选对的的的的题题数分数分数分数分别别是是是是E(E(E(E()200.9200.9200.9200.918181818，E()E()E()E()200.25200.25200.25200.255 5 5 5 由于答由于答由于答由于答对对每每每每题题得得得得5 5 5 5分分分分,所以学生甲和学生乙在所以学生甲和学生乙在所以学生甲和学生乙在所以学生甲和学生乙在这这次次次次测测验验中的成中的成中的成中的成绩绩分分分分别别是是是是5 5 5 5 和和和和5 .5 .5 .5 .这样这样,他他他他们们在在在在测验测验中的成中的成中的成中的成绩绩的期望分的期望分的期望分的期望分别别是是是是E(5E(5)5E5E()()5185189090，E(5 )E(5 )E(5 )E(5 )5E()5E()5E()5E()555555552525252512精选ppt课堂小堂小结1 1 1 1）离散型随机）离散型随机）离散型随机）离散型随机变变量取量取量取量取值值的平均的平均的平均的平均值值数学期望数学期望2 2 2 2）数学期望的性）数学期望的性）数学期望的性）数学期望的性质质3 3 3 3）若随机）若随机）若随机）若随机变变量量量量X X X X服从两点分布服从两点分布服从两点分布服从两点分布X X1 10 0P Pp p1 1p p则4 4 4 4）若随机）若随机）若随机）若随机变变量量量量X X X X服从二服从二服从二服从二项项分布分布分布分布,即即即即X X X XB B B B（n,pn,pn,pn,p）,则则13精选ppt?如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？若若XB(n，p)，则E(X)=np.14精选ppt则E(X)p若若XH(N，M，n)则E(X)若若XB(n，p)则E(X)np若若XB(1，p)各种不同概率模型下的数学期望各种不同概率模型下的数学期望15精选ppt例例1 甲、乙两名射手射甲、乙两名射手射击击的的环环数数为为两个相互独立两个相互独立的随机的随机变变量量X与与Y，且，且X，Y的分布列的分布列为为：问：甲、乙两名射手：甲、乙两名射手谁的射的射击水平高水平高?X123P0.3 0.1 0.6Y123P0.3 0.4 0.3所以，甲射手比乙射手的射所以，甲射手比乙射手的射击水平高水平高.解：解：例例题讲解解16精选ppt设在一在一组数据数据x1，x2，xn中，各数据与它中，各数据与它们的的平均数的差的平方的平均平均数的差的平方的平均值是：是：叫做叫做这组数据的方差数据的方差.方差方差说明了明了这组数据的波数据的波动情况情况.离散型随机离散型随机变量的方差定量的方差定义17精选ppt对于离散型随机于离散型随机变量量X的概率分布如下表：的概率分布如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi(i=1，2，n)相相对于均于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2.(xnE(X)2pn称称为离散型随机离散型随机变量量X的的方差方差，记为D(X).其算其算术平方根平方根为X的的标准差准差：记为随机随机变量的方差与量的方差与标准差都反映了随机准差都反映了随机变量取量取值的的稳定与波定与波动，集中与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机离散型随机变量的方差定量的方差定义18精选ppt定定义深析深析随机随机变量的方差和量的方差和样本的方差有何本的方差有何联系和区系和区别？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分加工的零件相等，所得次品数分别是是 、，分布，分布列如下列如下：试求随机求随机变量量 、的期望和方差的期望和方差.19精选ppt解：解：从上可知，从上可知，.所以，在所以，在射射击之前，可以之前，可以预测甲、乙两名射手所得甲、乙两名射手所得环数的平数的平均均值很接近，均在很接近，均在9环左右，但射手甲所得的左右，但射手甲所得的环数数比比较集中，得集中，得9环较多，而射手乙所得多，而射手乙所得环数比数比较分分散，得散，得8环和和10环的次数要多些的次数要多些.例例题讲解解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下甲、乙两名射手在同一条件下进行射行射击，分布列如下表：分布列如下表：射手甲射手甲 射手乙射手乙用用击中中环数的期望与方差分析比数的期望与方差分析比较两名射手的射两名射手的射击水平水平.0.4100.290.48概率概率p击中中环数数 2 20.2100.690.28概率概率p击中中环数数 1 120精选ppt重要重要结论：公式推广公式推广21精选ppt例例2 一次一次单元元测验由由20个个选择题构成，每个构成，每个选择题有有4个个选项，其中，其中仅有一个有一个选项正确正确.每每题选对得得5分，不分，不选或或选错不得分，不得分，满分分100分分.学生甲学生甲选对任意一任意一题的概率的概率为0.9，学生乙，学生乙则在在测验中中对每每题都从各都从各选项中随机地中随机地选择一个一个.分分别求学生甲和求学生甲和学生乙在学生乙在这次次测验中的成中的成绩的均的均值.例例题讲解解可可设甲、乙两学生做甲、乙两学生做对题的个数分的个数分别为X1、X2.22精选ppt例例2 一次一次单元元测验由由20个个选择题构成，每个构成，每个选择题有有4个个选项，其中，其中仅有一个有一个选项正确正确.每每题选对得得5分，不分，不选或或选错不得分，不得分，满分分100分分.学生甲学生甲选对任意一任意一题的概率的概率为0.9，学生乙，学生乙则在在测验中中对每每题都从各都从各选项中随机地中随机地选择一个一个.分分别求学生甲和学生乙在求学生甲和学生乙在这次次测验中的成中的成绩的均的均值.解：解：设学生甲和学生乙在学生甲和学生乙在这次英次英语测验中中选择了正了正确答案的确答案的选择题个数分个数分别是是X1 和和 X2，则X1B(20，0.9)，X2 B(20，0.25)，所以所以E(X1)200.918，E(X2)200.255由于答由于答对每每题得得5分，学生甲和学生乙在分，学生甲和学生乙在这次英次英语测验中的成中的成绩分分别是是5 X1和和5 X2所以，他所以，他们在在测验中的成中的成绩的期望分的期望分别是是E(5 X1)5E(X1)51890，E(5 X2)5E(X2)5525答答:甲、乙同学得分的期望分甲、乙同学得分的期望分别是是90分和分和25分分.23精选ppt求离散型随机求离散型随机变量均量均值的步的步骤：确定离散型随机确定离散型随机变量可能的取量可能的取值；写出分布列，并写出分布列，并检查分布列的正确与否；分布列的正确与否；求出均求出均值.方法与步方法与步骤24精选ppt例例题讲解解例例3 一年中一一年中一辆车辆车受受损损的概率的概率为为0.03.现现保保险险公司公司拟拟开开设设一年期租一年期租车车保保险险，假定一，假定一辆车辆车一年的保一年的保费为费为1000元，若在一年内元，若在一年内该车受受损，则保保险公司需公司需赔偿3000元元.一年内，一一年内，一辆车保保险公司公司平均收益平均收益多少多少？分析：分析：设保保险公司平均收益公司平均收益为X.则X的分布列的分布列为：X-2000 1000P0.030.97答：一答：一辆车保保险公司平均收益公司平均收益910元元.25精选ppt1.现要要发行行10000张彩票，其中中彩票，其中中奖金金额为2元的元的彩票彩票1000张，10元的彩票元的彩票300张，50元的彩票元的彩票100张，100元的彩票元的彩票50张，1000元的彩票元的彩票5张.问1张彩票彩票可能中可能中奖的均的均值是多少元？是多少元？2.在只需回答在只需回答“是是”与与“不是不是”的知的知识竞赛时识竞赛时，每个，每个选选手回答两个不同手回答两个不同问题问题，都回答失，都回答失败败，输输1分，否分，否则赢0.3分分.用用 X表示甲的得分，如果甲随机猜表示甲的得分，如果甲随机猜测测“是是”与与“不是不是”，计计算算X 的数学均的数学均值.小小试身手身手26精选ppt方案方案2：建建保保护围墙，建建设费2000元元，但，但围墙只能只能防小洪水防小洪水；试比比较哪一种方案好？哪一种方案好？遇大洪水遇大洪水损失失60000元元遇小洪水遇小洪水损失失10000元元有小洪水的概率有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率有大洪水的概率为0.01大型大型设备方案方案3：不采取措施不采取措施.方案方案1：运走：运走设备运运费为3800；能力展能力展现27精选ppt离散型随机离散型随机变量的方差量的方差28精选ppt例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分工的零件相等，所得次品数分别是是 、，分布列，分布列如下如下：012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：E()=E()=1那么甲、乙两人的技那么甲、乙两人的技术水平相同水平相同吗？情景引例情景引例29精选ppt设在一在一组数据数据x1，x2，xn中，各数据与它中，各数据与它们的的平均数的差的平方的平均平均数的差的平方的平均值是：是：叫做叫做这组数据的方差数据的方差.方差方差说明了明了这组数据的波数据的波动情况情况.离散型随机离散型随机变量的方差定量的方差定义30精选ppt对于离散型随机于离散型随机变量量X的概率分布如下表：的概率分布如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi(i=1，2，n)相相对于均于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2.(xnE(X)2pn称称为离散型随机离散型随机变量量X的的方差方差，记为D(X).其算其算术平方根平方根为X的的标准差准差：记为随机随机变量的方差与量的方差与标准差都反映了随机准差都反映了随机变量取量取值的的稳定与波定与波动，集中与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机离散型随机变量的方差定量的方差定义31精选ppt定定义深析深析随机随机变量的方差和量的方差和样本的方差有何本的方差有何联系和区系和区别？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分加工的零件相等，所得次品数分别是是 、，分布，分布列如下列如下：试求随机求随机变量量 、的期望和方差的期望和方差.32精选ppt重要重要结论：公式推广公式推广33精选ppt解：解：从上可知，从上可知，.所以，在所以，在射射击之前，可以之前，可以预测甲、乙两名射手所得甲、乙两名射手所得环数的平数的平均均值很接近，均在很接近，均在9环左右，但射手甲所得的左右，但射手甲所得的环数数比比较集中，得集中，得9环较多，而射手乙所得多，而射手乙所得环数比数比较分分散，得散，得8环和和10环的次数要多些的次数要多些.例例题讲解解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下甲、乙两名射手在同一条件下进行射行射击，分布列如下表：分布列如下表：射手甲射手甲 射手乙射手乙用用击中中环数的期望与方差分析比数的期望与方差分析比较两名射手的射两名射手的射击水平水平.0.4100.290.48概率概率p击中中环数数 2 20.2100.690.28概率概率p击中中环数数 1 134精选ppt例例3 袋中有袋中有4只只红球，球，3只黑球，今从袋中随机取只黑球，今从袋中随机取出出4只球只球.设取到一只取到一只红球得球得2分，取到一只黑球得分，取到一只黑球得1分，分，试求得分求得分 的分布列，数学期望的分布列，数学期望E()，方差，方差D().例例题讲解解35精选ppt例例4 每人在一每人在一轮投投篮练习中最多可投中最多可投篮4次，次，现规定一旦命中即停止定一旦命中即停止该轮练习，否，否则一直一直试投到投到4次次为止止.已知一已知一选手的投手的投篮命中率命中率为0.7，求一，求一轮练习中中该选手的手的实际投投篮次数次数 的分布列，并求出的分布列，并求出 的的期望期望E()与方差与方差D()和和标准差准差 ().例例5 将一枚硬将一枚硬币抛抛掷10次，求正面次数与反面次数次，求正面次数与反面次数之差之差 的概率分布，并求出的概率分布，并求出 的期望的期望E()与方差与方差D().例例题讲解解36精选ppt