矩阵及其运算教学课件2

梦 境矩阵及其运算1、不要轻言放弃，否则对不起自己。2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔卡耐基。3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。4、守业的最好办法就是不断的发展。5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。数值表达式书写规则数值表达式书写规则表达式由变量名、运算符、函数名等组成；表达式由变量名、运算符、函数名等组成；表达式按照与常规相同的优先级自左至右执行运表达式按照与常规相同的优先级自左至右执行运算；算；优先级：指数运算级别最高，乘除次之，加减运优先级：指数运算级别最高，乘除次之，加减运算最低；算最低；括号可改变运算次序；括号可改变运算次序；书写表达式时，赋值符书写表达式时，赋值符“=”和运算符两侧允许有空和运算符两侧允许有空格，以增加可读性。格，以增加可读性。MATLAB部分常用标点的功能部分常用标点的功能空格空格输入量间的分隔符；数组输入量间的分隔符；数组/矩阵元素分隔符矩阵元素分隔符，输入量间的分隔符；数组输入量间的分隔符；数组/矩阵元素分隔符；要矩阵元素分隔符；要显示计算结果的指令与其后指令间的分隔显示计算结果的指令与其后指令间的分隔.黑点黑点数值表示的小数点数值表示的小数点；分号；分号不显示计算结果的指令与其后指令间的分隔；不显示计算结果的指令与其后指令间的分隔；不显示计算结果的指令的不显示计算结果的指令的“结束结束”标志；数组标志；数组/矩矩阵的行分隔符阵的行分隔符：冒号：冒号单单/多下标的引用；用于生成一维数值数组多下标的引用；用于生成一维数值数组%注释号注释号字符串记述符字符串记述符数组数组/矩阵输入用；函数指令输出参量列表用矩阵输入用；函数指令输出参量列表用Cell数组记述符数组记述符2.1变量和数据操作变量和数据操作2.1.1变量与赋值变量与赋值1变量命名变量命名在在MATLAB6.5中中，变变量量名名是是以以字字母母开开头头，后后接接字字母母、数数字字或或下下划划线线的的字字符符序序列列，最最多多63个个字字符。符。变量名区分字母的大小写变量名区分字母的大小写。2.1.1变量与赋值变量与赋值(续续)2 2赋值语句赋值语句(1)(1)变量变量=表达式表达式 (2)(2)表达式表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个式子，其结果是一个矩阵矩阵。例：例：x=5*(6-1/0.5);5*(6-1/0.5)+3;MATLAB的基本算术运算符有：的基本算术运算符有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)，等等。，等等。注注:运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。是一种特例。例例2-1计算表达式的值，并显示计算结果。计算表达式的值，并显示计算结果。在在MATLAB命令窗口输入命令：命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中其中pi和和i都是都是MATLAB的预定义变量，分别代表的预定义变量，分别代表圆周率圆周率和虚数单位。和虚数单位。输出结果是：输出结果是：z=-0.3488+0.3286i任何任何MATLAB语句的执行结果都可以在屏幕上显语句的执行结果都可以在屏幕上显示，同时赋值给指定的变量，没有指定变量时，示，同时赋值给指定的变量，没有指定变量时，默认赋值给一个特殊变量默认赋值给一个特殊变量ans，数据的显示格式由，数据的显示格式由format命令控制。命令控制。format只是影响结果的显示，不影响其计算精度只是影响结果的显示，不影响其计算精度与存储；与存储；MATLAB总是以双字长浮点数（双精度）总是以双字长浮点数（双精度）来执行所有的运算。来执行所有的运算。(见下页见下页p14)2.1.1变量与赋值变量与赋值(续续)短格式短格式(Short)：默认格式：默认格式1.33330.0000短格式短格式e方式方式(Shorte)：1.3333e+001.2345e-06短格式短格式g方式方式(Shortg)：1.33330.0长格式长格式(Long)：1.333333333333330.00000123450000长格式长格式e方式方式(Longe)：1.33333333333333e+001.2345000000000e-06长格式长格式g方式方式(Longg)：1.333333333333330.0000012345银行格式银行格式(Bank)：1.330.00十六进制格式十六进制格式(Hex)：3ff5555555553eb46231abfd71+格式格式(+)：显示大矩阵用，：显示大矩阵用，+有理数（有理数（Rational）：）：1/32469/20000000002.1.1变量与赋值变量与赋值(续续)2.1.2预定义变量预定义变量在在MATLAB工工作作空空间间中中，还还驻驻留留一一些些由由系系统统本本身身定定义义的的变变量量。预预定定义义变变量量有有特特定定的的含含义义，在在使使用用时时，应应尽尽量量避避免免对对这些变量重新赋值这些变量重新赋值。预定义变预定义变量量含义含义预定义变预定义变量量含义含义ans计算结果的缺省变量计算结果的缺省变量名名NaN不定量，如不定量，如0/0,/i、j虚数单位虚数单位nargin函数的输入变量个数函数的输入变量个数pi圆周率圆周率nargout函数的输出变量个数函数的输出变量个数inf无穷大无穷大realmin最小正实数最小正实数eps计算机的最小数计算机的最小数realmax最大正实数最大正实数2.1.3内存变量的管理内存变量的管理1内存变量的删除与修改内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。按钮，将进入变量编辑器。通过通过变量编辑器变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，可修改可以直接观察变量中的具体元素，可修改变量中的具体元素，也可用于创建大数组变量中的具体元素，也可用于创建大数组/矩阵。矩阵。2.1.3内存变量的管理内存变量的管理(续续)clear命命令令用用于于删删除除MATLAB工工作作空空间间中中的的变变量量。who和和whos这这两两个个命命令令用用于于显显示示在在MATLAB工工作作空空间间中中已已经经驻驻留留的的变变量量名名清清单单。who命命令令只只显显示示出出驻驻留留变变量量的的名名称称，whos在在给给出出变变量量名名的的同同时时，还还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。2内存变量文件内存变量文件(数据文件数据文件)利用利用MAT文件可以把当前文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生文件的生成和装入由成和装入由save和和load命令来完成。常用格式为：命令来完成。常用格式为：save文件名文件名变量名表变量名表-append-asciiload文件名文件名变量名表变量名表-ascii说明如下：说明如下：2.1.3内存变量的管理内存变量的管理(续续)2.1.3内存变量的管理内存变量的管理(续续)其其中中，文文件件名名可可以以带带路路径径，但但不不需需带带扩扩展展名名.mat，命命令令默默认认是对是对.mat文件进行操作。文件进行操作。变变量量名名表表中中的的变变量量个个数数不不限限，只只要要内内存存或或文文件件中中存存在在即即可可，变量名之间以空格分隔。变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选选项项使使文文件件以以ASCII格格式式处处理理，省省略略该该选选项项时时文文件件将将以以二二进进制制格格式式处处理理。save命命令令中中的的-append选选项项控控制制将将变变量量追追加加到到MAT文件中。文件中。MATLAB提提供供的的许许多多数数学学函函数数，其其自自变变量量规规定定为为矩矩阵阵变变量量，运运运运算算算算法法法法则则则则是是是是将将将将函函函函数数数数逐逐逐逐项项项项作作作作用用用用于于于于矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的元素上，故运算的结果是与自变量同维数的矩阵元素上，故运算的结果是与自变量同维数的矩阵元素上，故运算的结果是与自变量同维数的矩阵元素上，故运算的结果是与自变量同维数的矩阵。例如，以下几个函数使用说明：例如，以下几个函数使用说明：(1)三角函数以弧度为单位计算。三角函数以弧度为单位计算。(2)abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。码值。(3)用于取整的函数有用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，详见说明帮，详见说明帮助。助。(4)求余函数求余函数rem与与mod函数。函数。rem(x,y)和和mod(x,y)要求要求x,y必必须为相同大小的实矩阵或为标量。须为相同大小的实矩阵或为标量。2.1.4数学函数的数据操作数学函数的数据操作2.1.5数据的输出格式数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。数法和科学记数法两种表示方法。在一般情况下，在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设命令设置或改变数据输出格式。置或改变数据输出格式。format命令的格式为：命令的格式为：format格式符格式符其中格式符决定数据的输出格式其中格式符决定数据的输出格式前面已讲。前面已讲。2.2MATLAB矩阵矩阵2.2.1矩阵的建立矩阵的建立1直接输入法直接输入法直接输入需遵循以下基本规则：直接输入需遵循以下基本规则：整整个个矩矩阵阵应应以以“”为为首首尾尾，即即整整个个输输入入矩矩阵阵必必须须包包含含在在方方括号中；括号中；矩矩阵阵中中，行行与与行行之之间间必必须须用用分分号号“；”或或Enter键键(按按Enter键键)分隔；分隔；每行中的元素用逗号每行中的元素用逗号“，”或空格分隔；或空格分隔；矩矩阵阵中中的的元元素素可可以以是是数数字字或或表表达达式式，但但表表达达式式中中不不可可包包含含未未知的变量，知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。当当矩矩阵阵中中没没有有任任何何元元素素时时，该该矩矩阵阵被被称称作作“空空阵阵”（EmptyMatrix）。例例2-2直接输入矩阵直接输入矩阵A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16A=12345678910111213141516利用表达式输入利用表达式输入B=1,sqrt(25),9,132,6,10,7*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16B=159132610143711154812162利用利用M文件建立矩阵文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创文件创建矩阵。建矩阵。2.2.1矩阵的建立矩阵的建立(续续)3利用冒号表达式建立一个向量利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中其中e1为初始值，为初始值，e2为步长，为步长，e3为终止值。为终止值。在在MATLAB中，还可以用中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用函数产生行向量。其调用格式为：格式为：linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量的第一个和最后一个元素，是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素是元素总数。总数。显然，显然，linspace(a,b,n)与与a:(b-a)/(n-1):b等价。等价。4建立大矩阵建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学自学)2.2.1矩阵的建立矩阵的建立(续续)1矩阵元素与引用矩阵元素与引用通过下标引用矩阵的元素，例如通过下标引用矩阵的元素，例如命令命令A(3,2)=200采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵中，矩阵元素元素按列存储按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如，先第一列，再第二列，依次类推。例如A=1,2,3;4,5,6;内存中依次存储为内存中依次存储为1，4，2，5，3，6.则：命令：则：命令：A(3)ans=2显然，序号显然，序号(Index)与下标与下标(Subscript)是一一对应的。是一一对应的。2.2.2矩阵的引用与拆分矩阵的引用与拆分2矩阵拆分矩阵拆分(1)利用冒号表达式获得子矩阵利用冒号表达式获得子矩阵A(:,j)表示取表示取A矩阵的第矩阵的第j列全部元素；列全部元素；A(i,:)表示表示A矩矩阵第阵第i行的全部元素；行的全部元素；A(i,j)表示取表示取A矩阵第矩阵第i行、第行、第j列的元列的元素。素。A(i:i+m,:)表示取表示取A矩阵第矩阵第ii+m行的全部元素；行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取表示取A矩阵第矩阵第kk+m列的全部元素，列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取表示取A矩阵第矩阵第ii+m行内，并在第行内，并在第kk+m列中的所有元素。列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。表示某一维的末尾元素下标。例：例：A(m:end,n)表示提取从第表示提取从第m行到最末行和第行到最末行和第n列的子块。列的子块。2.2.2矩阵的引用与拆分矩阵的引用与拆分(续续)(2)利用空矩阵删除矩阵的元素利用空矩阵删除矩阵的元素在在MATLAB中，定义中，定义为空矩阵。给变量为空矩阵。给变量X赋空矩阵的赋空矩阵的语句为语句为X=。注意，。注意，X=与与clearX不同，不同，clear是将是将X从工从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为为0。2.2.2矩阵的引用与拆分矩阵的引用与拆分(续续)MATLAB中矩阵和数组的区别中矩阵和数组的区别矩矩阵阵数数组组概念概念数学元素数学元素程序中数据的存储和管理方式程序中数据的存储和管理方式所属领域所属领域数学线性代数数学线性代数信息科学信息科学形式形式二维二维一维、二维和多维一维、二维和多维包含元素类型包含元素类型数字数字数字、字符等多种数据类型数字、字符等多种数据类型在在MATLAB中，矩阵以数组的形式存在中，矩阵以数组的形式存在1通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵)。ones：产生全：产生全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布随机矩阵。的标准正态分布随机矩阵。2.2.3特殊矩阵特殊矩阵例例2-3分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大小的零矩阵。同样大小的零矩阵。(1)建立一个建立一个33零矩阵。零矩阵。zeros(3)(2)建立一个建立一个32零矩阵。零矩阵。zeros(3,2)(3)设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩建立一个与矩阵阵A同样大小零矩阵。同样大小零矩阵。A=123;456;%产生一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样大小的零矩同样大小的零矩阵。阵。例例2-4建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1)在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2)均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阵。阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元，它在矩阵总元素保持不变的前提下，按列将矩阵素保持不变的前提下，按列将矩阵A重新排成重新排成mn的二维的二维矩阵。矩阵。2.2.3特殊矩阵特殊矩阵(续续)2用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共共n2个整数组成。个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生，其功能是生成一个成一个n阶魔方阵。阶魔方阵。例例2-5将将101125等等25个数填入一个个数填入一个5行行5列的表格中，使其每列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5)2.2.3特殊矩阵特殊矩阵(续续)(2)范得蒙矩阵范得蒙矩阵范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为矩阵最后一列全为1，倒数第二列为，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其前列与倒数第二列的点乘一个指定的向量，其他各列是其前列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数中，函数vander(V)生成以向量生成以向量V为基础向量的为基础向量的范得蒙矩阵。例如，范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范即可得到上述范得蒙矩阵。得蒙矩阵。2.3MATLAB运算运算2.3.1算术运算算术运算1基本算术运算基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：的基本算术运算有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)、(矩阵转置运矩阵转置运算符算符)。注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。算术运算只是一种特例。2.3.1算术运算算术运算(续续)(1)矩阵加减运算矩阵加减运算假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，则可以由，则可以由A+B和和A-B实现矩阵实现矩阵的加减运算。运算规则是：若的加减运算。运算规则是：若A和和B矩阵的维数相同，则矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，可以执行矩阵的加减运算，A和和B矩阵的相应元素相加减。矩阵的相应元素相加减。如果如果A与与B的维数不相同，则的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。提示用户两个矩阵的维数不匹配。2.3.1算术运算算术运算(续续)(2)矩阵乘法矩阵乘法假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，若，若A为为mn矩阵，矩阵，B为为np矩阵，矩阵，则则C=A*B为为mp矩阵。矩阵。(3)矩阵除法矩阵除法在在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：中，有两种矩阵除法运算：和和/，分别表，分别表示左除和右除。如果示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则矩阵是非奇异方阵，则AB和和B/A运运算可以实现。算可以实现。AB等效于等效于A的逆左乘的逆左乘B矩阵，也就是矩阵，也就是inv(A)*B，而，而B/A等效于等效于A的逆矩阵右乘的逆矩阵右乘B矩阵，也就是矩阵，也就是B*inv(A)。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和和43有相同的值，都等于有相同的值，都等于0.75。又如，设。又如，设a=10.5,25，则则a/5=5a=2.10005.0000。对于矩阵来说，左除和右除表。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般算，一般ABB/A。2.3.1算术运算算术运算(续续)例：用左除求解线性方程组例：用左除求解线性方程组2.3.1算术运算算术运算(续续)(4)矩阵的乘方矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求，要求A为方阵，为方阵，x为标量。为标量。2.3.1算术运算算术运算(续续)2点运算点运算在在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有算。点运算符有.*、./、.和和.。两矩阵进行点运算。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维、参数相同。的维、参数相同。点运算实际是一种元素对元素的运算点运算实际是一种元素对元素的运算。2.3.1算术运算算术运算(续续)例：例：x=123;456;789;y=987;654;321;x+y%数组和矩阵的加法规则相同数组和矩阵的加法规则相同ans=101010101010101010 x.*y%数组乘法：对应元素相乘数组乘法：对应元素相乘ans=9162124252421169x*y%矩阵乘法：按照矩阵理论进行矩阵乘法：按照矩阵理论进行ans=302418846954138114902.3.1算术运算算术运算(续续)3.向量的乘法运算函数向量的乘法运算函数1)点积：点积：dot函数函数2)叉积：叉积：cross函数函数例例:a=123;b=456;c=dot(a,b)d=cross(a,b)c=32d=-36-32.3.2关系运算关系运算MATLAB提供了提供了6种关系运算符：种关系运算符：(小于小于)、(大于大于)、=(大于或等于大于或等于)、=(等于等于)、=(不等于不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。等式符号不尽相同。2.3.2关系运算关系运算(续续)关系运算符的运算法则为：关系运算符的运算法则为：(1)当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为关系成立，关系表达式结果为1，否则为，否则为0。(2)当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。2.3.2关系运算关系运算(续续)(3)当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。例例2-8产生产生5阶随机方阵阶随机方阵A，其元素为，其元素为10,90区间的随机整区间的随机整数，然后判断数，然后判断A的元素是否能被的元素是否能被3整除。整除。(1)生成生成5阶随机方阵阶随机方阵A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10)(2)判断判断A的元素是否可以被的元素是否可以被3整除。整除。P=rem(A,3)=0其中，其中，rem(A,3)是矩阵是矩阵A的每个元素除以的每个元素除以3的余数矩阵。此的余数矩阵。此时，时，0被扩展为与被扩展为与A同维数的零矩阵，同维数的零矩阵，P是进行等于是进行等于(=)比比较的结果矩阵。较的结果矩阵。MATLAB提供了提供了3种逻辑运算符：种逻辑运算符：&(与与)、|(或或)和和(非非)。逻辑运算的逻辑运算的运算法则运算法则为：为：(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元表示，零元素为假，用素为假，用0表示。表示。(2)设参与逻辑运算的是两个标量设参与逻辑运算的是两个标量a和和b，那么，那么，a&ba,b全为非零时，运算结果为全为非零时，运算结果为1，否则为，否则为0。a|ba,b中只要有一个非零，运算结果为中只要有一个非零，运算结果为1。a当当a是零时，运算结果为是零时，运算结果为1；当；当a非零时，运算结果为非零时，运算结果为0。2.3.3逻辑运算逻辑运算2.3.3逻辑运算逻辑运算(续续)(3)(3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1 1或或0 0组成。组成。(4)(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1 1或或0 0组成。组成。2.3.3逻辑运算逻辑运算(续续)(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。(6)在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。逻辑运算优先级最低。MATLAB提供了一些逻辑函数提供了一些逻辑函数逻辑函函数数功功能能all如果所有的元素都是非零如果所有的元素都是非零值，返回，返回1；否；否则，返回，返回0。any如果有一个元素如果有一个元素为非零非零值，那么返回，那么返回1；否；否则，返回，返回0isempty判断是否空矩判断是否空矩阵isequal判断两矩判断两矩阵是否相同是否相同isreal判断是否是判断是否是实矩矩阵find返回一个由非零元素的下返回一个由非零元素的下标组成的向量成的向量xor逻辑异或异或例例2-9建立矩阵建立矩阵A，然后找出大于，然后找出大于4的元素的位置。的元素的位置。(1)建立矩阵建立矩阵A。A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0(2)找出大于找出大于4的元素的位置。的元素的位置。find(A4)2.3.4数值运算中部分常用数学函数数值运算中部分常用数学函数abs绝对值绝对值/复数模复数模angle复数的相角复数的相角complex创建一个复数创建一个复数cos,cosh余弦，双曲余弦余弦，双曲余弦cot,coth余切，双曲余切余切，双曲余切fix向向0方向取整方向取整gcd最大公因数最大公因数lcm最小公倍数最小公倍数log22为底的对数为底的对数mod有符号的求余有符号的求余log自然对数自然对数real复数的实部复数的实部log10常用对数常用对数image复数的虚部复数的虚部sign取数的符号取数的符号round取整为最近的整数取整为最近的整数ceil向无穷大舍入取整向无穷大舍入取整sqrt平方根平方根exp指数指数exconj取共轭复数取共轭复数rem相除后求余相除后求余floor向负无穷取整向负无穷取整sin,sinh正弦，双曲正弦正弦，双曲正弦tan,tanh正切，双曲正切正切，双曲正切sec,sech正割，双曲正割正割，双曲正割asin,asinh反正弦，反双曲正弦反正弦，反双曲正弦acos,acosh反余弦，反双曲余弦反余弦，反双曲余弦atan,atanh反正切，反双曲正切反正切，反双曲正切2.4矩阵分析矩阵分析常用简单矩阵函数常用简单矩阵函数函函数数功功能能det计算矩阵所对应的行列式的值计算矩阵所对应的行列式的值diag抽取矩阵对角线元素抽取矩阵对角线元素eig求特征值和特征向量求特征值和特征向量inv求矩阵的逆阵求矩阵的逆阵lu三角三角/LU分解分解poly求特征多项式求特征多项式rank求矩阵的秩求矩阵的秩svd奇异值分解奇异值分解2.4矩阵分析矩阵分析(续续)2.4.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵1对角阵对角阵只有对角线上有非只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。的对角矩阵称为单位矩阵。(1)提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素设设A为为mn矩阵，矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线主对角线元素，产生一个具有元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k条对角线的元素。条对角线的元素。(2)构造对角矩阵构造对角矩阵设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产生一个将产生一个mm对对角矩阵，其主对角线元素即为向量角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。的元素。diag(V)函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一，其功能是产生一个个nn(n=m+k)对角阵，其第对角阵，其第k条对角线的元素即为向量条对角线的元素即为向量V的元素。的元素。2.4.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵(续续)例例2-10先建立先建立55矩阵矩阵A，然后将，然后将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1，第二，第二行乘以行乘以2，第五行乘以，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;.10,12,19,21,3;11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A%用用D左乘左乘A，等价对，等价对A的每行乘以一个指定常数的每行乘以一个指定常数2.4.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵(续续)2三角阵三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。的一种矩阵。(1)上三角矩阵上三角矩阵求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu(A)。triu(A)函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是，其功能是求矩阵求矩阵A的第的第k条对角线以上的元素。例如，提条对角线以上的元素。例如，提取矩阵取矩阵A的第的第2条对角线以上的元素，形成新的条对角线以上的元素，形成新的矩阵矩阵B。(2)下三角矩阵下三角矩阵在在MATLAB中，提取矩阵中，提取矩阵A的下三角矩阵的函的下三角矩阵的函数是数是tril(A)和和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩，其用法与提取上三角矩阵的函数阵的函数triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。2.4.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵(续续)2.4.2矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转1矩阵的转置矩阵的转置转置运算符是单撇号转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转矩阵的旋转利用函数利用函数rot90(A,k)将矩阵将矩阵A逆时针旋转逆时针旋转90的的k倍，当倍，当k为为1时可省略。时可省略。3矩阵的左右翻转矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。依次类推。MATLAB对矩阵对矩阵A实施左右翻转的函实施左右翻转的函数是数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud(A)。2.4.2矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转(续续)1矩阵的逆矩阵的逆对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方，如果存在一个与其同阶的方阵阵B，使得：，使得：AB=BA=I(I为单位矩阵为单位矩阵)则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数的逆矩阵可调用函数inv(A)。例例2-11用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：其解为：x=A-1b2.4.3矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆2矩阵的伪逆矩阵的伪逆如果矩阵如果矩阵A不是一个方阵，或者不是一个方阵，或者A是一个非满是一个非满秩的方阵时，矩阵秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一没有逆矩阵，但可以找到一个与个与A的转置矩阵的转置矩阵A同型的矩阵同型的矩阵B，使得：，使得：ABA=ABAB=B此时称矩阵此时称矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。的伪逆，也称为广义逆矩阵。在在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。2.4.3矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆(续续)2.4.4方阵的行列式方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在式的值。在MATLAB中，求方阵中，求方阵A所对应的行列所对应的行列式的值的函数是式的值的函数是det(A)。在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的特征值和特征向量的的特征值和特征向量的函数是函数是eig(A)，常用的调用格式有，常用的调用格式有3种：种：(1)E=eig(A)求矩阵求矩阵A的全部特征值，构成向量的全部特征值，构成向量E。(2)V,D=eig(A)求矩阵求矩阵A的全部特征值，构成对的全部特征值，构成对角阵角阵D，并求，并求A的特征向量构成的特征向量构成V的列向量。的列向量。(3)V,D=eig(A,nobalance)与第与第2种格式类似，种格式类似，但第但第2种格式中先对种格式中先对A作相似变换后求矩阵作相似变换后求矩阵A的特的特征值和特征向量，而格式征值和特征向量，而格式3直接求矩阵直接求矩阵A的特征值的特征值和特征向量。和特征向量。2.4.8矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量例例2-12用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的伴随矩阵的伴随矩阵x1=eig(A)%求求A的特征值的特征值x2=roots(p)%直接求多项式直接求多项式p的零点的零点上机练习与指导上机练习与指导工作空间与内存变量工作空间与内存变量u变量的查看变量的查看u变量的文件保存与获取变量的文件保存与获取应用举例应用举例应用举例应用举例提提示示学好计算机的唯一途径是学好计算机的唯一途径是你的编程能力与你在计算机上投入的时间成你的编程能力与你在计算机上投入的时间成MATLAB中中，字字 符符 串串 是是 用用 单单 撇撇 号号 括括 起起 来来 的的 字字 符符 序序 列列。MATLAB将将字字符符串串当当作作一一个个行行向向量量，每每个个元元素素对对应应一一个个字字符符，其其标标识识方方法法和和数数值值向向量量相相同同。也也可可以以建建立立多多行行字字符串矩阵。符串矩阵。字字符符串串是是以以ASCII码码形形式式存存储储的的。abs和和double函函数数都都可可以以用用来来获获取取字字符符串串矩矩阵阵所所对对应应的的ASCII码码数数值值矩矩阵阵。相相反反，char函数可以把函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。码矩阵转换为字符串矩阵。2.6字符串字符串例例2-13建立一个字符串向量，然后对该向量做如下建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理：处理：(1)取第取第15个字符组成的子字符串。个字符组成的子字符串。(2)将字符串倒过来重新排列。将字符串倒过来重新排列。(3)将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。其余字符不变。(4)统计字符串中小写字母的个数。统计字符串中小写字母的个数。命令如下：命令如下：ch=ABc123d4e56Fg9;subch=ch(1:5)%取子字符串取子字符串revch=ch(end:-1:1)%将字符串倒排将字符串倒排k=find(ch=a&ch=z);%找小写字母的位置找小写字母的位置ch(k)=ch(k)-(a-A);%将小写字母变成相应的大写将小写字母变成相应的大写字母字母char(ch)length(k)%统计小写字母的个数统计小写字母的个数与字符串有关的另一个重要函数是与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为：，其调用格式为：eval(t)其中其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。语句来执行。上机练习上机练习第一讲上机练习第一讲上机练习本节例题本节例题2.7.1结构数据结构数据(结构体结构体/结构矩阵结构矩阵)1结构矩阵的建立与引用结构矩阵的建立与引用结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，它能结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，它能将一组具有不同属性的数据纳入到一个统一的变将一组具有不同属性的数据纳入到一个统一的变量名下进行管理。量名下进行管理。建立一个结构矩阵建立一个结构矩阵可采用给结可采用给结构成员赋值的办法。具体格式为：构成员赋值的办法。具体格式为：结构矩阵名结构矩阵名.成员名成员名=表达式表达式其中表达式应理解为矩阵表达式。其中表达式应理解为矩阵表达式。2.7结构数据和单元数据结构数据和单元数据2结构成员的修改结构成员的修改可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵a增加一个成员增加一个成员x4，可给，可给a中任意一个元素增加成员中任意一个元素增加成员x4：a(1).x4=410075;但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的值。但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的值。要删除结构的成员，则可以使用要删除结构的成员，则可以使用rmfield函数来完成。例如，函数来完成。例如，删除成员删除成员x4：a=rmfield(a,x4);3关于结构的函数关于结构的函数除了一般的结构数据的操作外，除了一般的结构数据的操作外，MATLAB还提供了部分函还提供了部分函数来进行结构矩阵的操作，如数来进行结构矩阵的操作，如struct等等(自学自学)。2.7.1结构数据结构数据(续续)例：建立温室数据例：建立温室数据包含温室名、容积、温度、湿度等包含温室名、容积、温度、湿度等1）建立）建立11的结构数组的结构数组Green_house.name=no.1greenhouse.;Green_house.volume=2000m3;Green_house.parameter.temperature=31.2,30.4,31.6,28.7,29,31,30,29.6;Green_house.parameter.humidity=62,59,57,61,62,61,59,57;注：此处结构体的域注：此处结构体的域parameter又有又有2个子域。个子域。2)显示该结构数据的结构和内容显示该结构数据的结构和内容Green_house%displaythestructureofthestructurearray.Green_house.parameter%displaythecontentoftheparameterregionofthestructurearray.Green_house.parameter.temperature%displaythecontentofthetemperaturegegionofthestructurearray.3）增加）增加/删除成员删除成员:光照度光照度“sunlight”Green_house.sunlight=72,59,57,71,72,71,59,67;%addin.Green_house=rmfield(Green_house,sunlight);%delete.如同银行的保险箱库。如同银行的保险箱库。1单元矩阵的建立与引用单元矩阵的建立与引用建立单元矩阵和一般矩阵相似，只是矩阵元素用大括建立单元矩阵和一般矩阵相似，只是矩阵元素用大括号括起来。号括起来。可以用带有大括号下标的形式可以用带有大括号下标的形式引用引用单元矩阵元素。例单元矩阵元素。例如如b3,3。单元矩阵的元素可以是结构体或单元数据。单元矩阵的元素可以是结构体或单元数据。可以使用可以使用celldisp函数来函数来显示显示整个单元矩阵，如整个单元矩阵，如celldisp(b)。还可以。还可以删除删除单元矩阵中的某个元素。单元矩阵中的某个元素。2关于单元的函数关于单元的函数MATLAB还提供了部分函数用于单元的操作还提供了部分函数用于单元的操作,如如cell创创建单元数组、建单元数组、deal调取元素调取元素(自学自学)。2.7.2单元数据单元数据(celldata/cellarray)例：建立例：建立22的的cellarray%给出给出cell数组的各个元素数组的各个元素C_str=char(thisis,anexampleofcellarray.);%giveacharacterstring.R=reshape(1:9,3,3);%givea33matrix.Cn=1+2i;%giveacomplexvalue.Ss=sym(sin(-3*t)*exp(-t);%giveasymbolicfunction.%建立建立cell数组数组A法一法一A(1,1)=C_str;A(1,2)=R;A(2,1)=Cn;A(2,2)=Ss;A%displaythecellarray.建立建立cell数组数组A法二法二A1,1=C_str;A1,2=R;A2,1=Cn;A2,2=Ss;celldisp(A)%displaytheAarray.删除删除cell数组数组A中的元素中的元素A(2,:)=;%删除第二行。删除第二行。扩充扩充cell数组数组A中的元素中的元素%设设C为已有的为已有的CELL数组，扩充后数组为数组，扩充后数组为AC。AC=A;C;%行扩充行扩充AC=AC;%列扩充。列扩充。Thankyou!56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。库法耶夫57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。吕凯特58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。朱熹59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。笛卡儿60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。左拉