理论力学-平面力系1课件

河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系静 力 学第二章第二章 平面力系平面力系yyyy年年M月月d日日 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系221 1平面汇交力系222 2平面力对点之矩&平面力偶223 3平面任意力系的简化本 章 内 容224 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程225 5物体系的平衡*静定和超静定问题226 6平面简单桁架的内力计算 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系汇交力系：各力作用线均汇交于一点。汇交力系：各力作用线均汇交于一点。AF2F1F4F3平面力系平面力系BDACPF1F22-1 平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系一、汇交力系合成的几何法、力多边形法则FR1=F1+F2F1、F2、F3、F4 为平面汇交力系。为平面汇交力系。aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表达式：合力的表达式：AF2F1F4F3 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 各力矢首尾相接，形成一个开口的多边形，称为各力矢首尾相接，形成一个开口的多边形，称为力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。1.1.力的多边形法则力的多边形法则eaF2F1F4F3FRbcdeaF2F1F4F3FRbcd改变力多边形中的各力顺序改变力多边形中的各力顺序，合力的大小和方向、，合力的大小和方向、作用点不变。作用点不变。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭，即形自行封闭，即 FR=0=0F F1 1F F2 2F F4 4F F3 3abcdF F1 1F F2 2F F3 3O OF F4 4或或 F1+F2+F3+F4=02.2.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4思考题思考题 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系A60FB30aaC例题例题 2-12-1 水平梁水平梁ABAB中点中点C C 作用着力作用着力F F，其大小等于，其大小等于2 kN2 kN，方向与梁的轴线成方向与梁的轴线成6060 角，支承情况如图角，支承情况如图a a 所示，试所示，试求固定铰链支座求固定铰链支座A A和活动铰链支座和活动铰链支座B B的约束力。梁的自的约束力。梁的自重不计。重不计。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系FBFADC6030FEFFBFA6030HK 1 1.取梁取梁AB作为研究对象作为研究对象。FA=F cos30=17.3 kN FB=F sin30=10 kN2.2.画出受力图。画出受力图。3.3.作出相应的力三角形。作出相应的力三角形。BA解：解：4.4.由力多边形解出：由力多边形解出：河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 门式刚架如下图所示，在门式刚架如下图所示，在门式刚架如下图所示，在门式刚架如下图所示，在B B B B点受一水平力点受一水平力点受一水平力点受一水平力F F F F=20 kN=20 kN=20 kN=20 kN，不计刚架自重，求支座，不计刚架自重，求支座，不计刚架自重，求支座，不计刚架自重，求支座A A A A、D D D D的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。FBADC8m4mFBADCFDFAcabFAFDFFD=bc=10 kNFA=ca=22.5 kN，=26.5 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例例2-3 棘轮插爪构成的止逆装置，如图所示，已知提升棘轮插爪构成的止逆装置，如图所示，已知提升重量重量W=500 N，d1=42 cm，d2=24 cm，a=12 m,h=5cm。求插爪及轴承所受的压力。求插爪及轴承所受的压力。FBWabFCcOFCFB。AW。FC=bc=680 NFB=ca=310 NAah 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（一）力在坐标轴上投影（一）力在坐标轴上投影图 a平行光线照射下物体的影子xyoy图b 力在坐标轴上的投影xoFxFy3.3.平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系由图由图b知，若已知力知，若已知力 F 的大小的大小 和其与和其与x轴、轴、y轴的夹轴的夹角为角为 、，则力在则力在 x、y 轴上的投影为轴上的投影为注意注意（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系若已知若已知 F 在正交坐标轴上的投影为在正交坐标轴上的投影为 F Fx x 和和 F Fy y ，则由几何关系可求出力则由几何关系可求出力 F F 的大小和方向，即的大小和方向，即式中式中 和和 称为力称为力 F F 的方向余弦。的方向余弦。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系定义：定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即轴上投影的代数和。即（二）（二）合力投影定理合力投影定理 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系这个定理也可很直观地理解，如下图表示这个定理也可很直观地理解，如下图表示因因 ,故故 同理可得同理可得yoxFF3F1F2oF2F3F1 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（三）（三）平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Fx x、Fy y后，可用下式求出合力的大小和方向后，可用下式求出合力的大小和方向 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例2-4 F1=2kN,F2=3kN,F3=1kN,F4=2.5kN,求力系的合成结果。解解FRyx。F2F1F3F4yx30o60o45o45oA 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例例2-2-5 5用解析法求下图所示汇交力系的合力的大用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向。已知小和方向。已知 xy先计算合力先计算合力 F FR R 在在x x、y y轴上的投影，有轴上的投影，有【解【解】河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系即即 故合力故合力 的大小为的大小为其方向余弦则为其方向余弦则为FRyx。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中上的投影之代数和均等于零。在两个坐标轴中上的投影之代数和均等于零。两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。4.4.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即是该力系的合力为零，即即即 则则 ，河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例例2-2-6 6 重物重物A A质量质量m=10kg,m=10kg,悬挂在支架铰接点悬挂在支架铰接点 B B 处，处，A A、C C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，件重量，求重物处于平衡时，AB AB、BCBC 杆的内力。杆的内力。y（b）x（a）河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系联立上述两方程，解得：联立上述两方程，解得：F F1 1=88 N=88 N，F F2 2=71.8 N=71.8 N。取铰B为研究对象【解【解】yx 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系ABCDaayxABC例例2-7 如图所示。如图所示。直角弯杆直角弯杆ABC受力如图，略去各杆的重量。沿受力如图，略去各杆的重量。沿BC方向作用已知力方向作用已知力F=60N。试求。试求A，C两点的约束力。两点的约束力。解解:（1）取取ABC为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（2）列平衡方程列平衡方程:（3）联立求解。）联立求解。yxABC 注意：坐标轴（投影轴）注意：坐标轴（投影轴）可以可以任意选取，与合成结果无关，任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。yxABC 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系解：研究解：研究AB杆杆 例例2-8 已知已知 P=2kN，求求SCD,RA由由EB=BC=0.4m，解得：解得：；河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系解方程得杆解方程得杆AB和和BC所受的力所受的力:解：解：由滑轮由滑轮B为为的平衡的平衡。xyBFABF2F1FBC例例 2-9 如图，如图，P=20 kN,求求AB、BC两杆受力。两杆受力。ABDCP显然，显然，F1=F2=P 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系28 例2-10下图为一索式挖掘机简图。支杆AB由缆索BC支持，土斗D的悬挂位置可借钢丝绳AD和跨过滑轮的钢丝绳DBE决定。已知土斗及其中土的总重为W=100 kN,=30,=10,=18,=17=7，不计支杆的自重，求平衡时支杆AB和缆索BC所受的力。yxFDBFDA+-WD解:首先取土斗D的悬挂点为研究对象，受力图如右上图所示.取坐标系Dxy，列平衡方程 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系29FABBFBCFBEFBDyx由此解得因为DBE是同一钢丝绳，故 再以滑轮B为研究对象，受力图如右图所示，河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系30由此解得 所求支杆和缆索所受的力与上述求得的力大小相等，方向相反，可见支杆AB受压力。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（4 4）合理选取坐标系，列平衡方程求解）合理选取坐标系，列平衡方程求解（1 1）弄清题意，明确已知量和待求量）弄清题意，明确已知量和待求量；（2 2）恰当选取研究队象，明确所研究的的物体）恰当选取研究队象，明确所研究的的物体；（3 3）正确画出研究队象的受力图（主动力，约）正确画出研究队象的受力图（主动力，约束反力，二力构件，三力汇交平衡）；束反力，二力构件，三力汇交平衡）；求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系思考题思考题匀速起吊重匀速起吊重 P P 的预制梁如图所示，如的预制梁如图所示，如果要求绳索果要求绳索 ABAB、BC BC 的拉力不超过的拉力不超过0.60.6P P ，问问 角应在什么范围内？角应在什么范围内？河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系2-2平面力对点之矩&平面力偶（1 1）用扳手拧螺母；）用扳手拧螺母；（2 2）开门，关门。）开门，关门。一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩）力力F F 使物体绕使物体绕 o o 点转动的效应，用乘积点转动的效应，用乘积 FdFd 来度量。称为力来度量。称为力F F 对点对点o o 之之矩，简称力矩，矩，简称力矩，用用 表示。表示。OAFBd 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系即力矩的正负号：力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。应注意应注意：力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。o 点称为力矩的中心，简称矩心矩心；o 点到力 F 作用线的垂直距离 d,称为力臂力臂。力矩的单位：国际制 ，也可表示为 MO(F)=2AOB 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（1 1）力对点之矩与矩心位置有关；）力对点之矩与矩心位置有关；（2 2）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；动而改变；（3 3）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；（4 4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。力矩的性质：力矩的性质：河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系二、合力矩定理与力矩的解析表达式二、合力矩定理与力矩的解析表达式表达式：表达式：证明：证明：由图得由图得而FyF Fx xF FA则则 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系书上证明：书上证明：由合力投影定理有，Od=Ob+OcA。B F1CF2DFRx。Ocbd因此，MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)又 MO(F1)=2SOAB=OAObMO(F2)=2SOAC=OAOcMO(FR)=2SOAD=OAOd 说明：可以证明上述结论对于平面汇交力系同样成立，说明：可以证明上述结论对于平面汇交力系同样成立，说明：可以证明上述结论对于平面汇交力系同样成立，说明：可以证明上述结论对于平面汇交力系同样成立，对于有合力的更普遍的力系，这一定理也是成立的。对于有合力的更普遍的力系，这一定理也是成立的。对于有合力的更普遍的力系，这一定理也是成立的。对于有合力的更普遍的力系，这一定理也是成立的。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例题例题2-12-1：图示梁受到载荷集度为：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位置。用，求均布载荷的合力及其作用线位置。解解:再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力假设合力Q的作用线距离的作用线距离A点的距离为点的距离为xC。合力的大小合力的大小 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系思考：这个力系的合力及作用线位置思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq1 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系FT1FT2OD 解解解解 应用力矩计算公式，胶带拉力沿轮的切线方向，则力臂均为 ,而与角无关，故d=D/2MO(FT1)=-FT1D/2=-300 NmMO(FT2)=FT2D/2=150 Nm例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 如图所示，一带轮直径如图所示，一带轮直径如图所示，一带轮直径如图所示，一带轮直径D=400mmD=400mmD=400mmD=400mm，胶带拉力，胶带拉力，胶带拉力，胶带拉力F F F FT T T T 1 1 1 1=1500N=1500N=1500N=1500N，F F F FT T T T 2 2 2 2=750N=750N=750N=750N，与水平线的夹角，与水平线的夹角，与水平线的夹角，与水平线的夹角=15=15=15=15。求它们对轮心。求它们对轮心。求它们对轮心。求它们对轮心O O O O之矩。之矩。之矩。之矩。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系41ODDFn例例2-32-3 如图所示，作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角=20。求啮合力Fn=1000N对于轮心O之矩。ODDFnFtF 解：解：直接用定义求解直接用定义求解MO(Fn)=-Fn(Dcos)/2 =-75.2 Nm应用合力矩定理求解应用合力矩定理求解Ft=FncosFr=FnsinMO(Fn)=MO(Ft)+MO(Fr)=-(Fncos)D/2+0 =-75.2Nm 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系三、力偶与力偶矩三、力偶与力偶矩例如：例如：（1）方向盘；）方向盘；（2）丝锥；）丝锥；（3）水龙头。）水龙头。力偶作用面力偶作用面力偶臂力偶臂1.1.力偶的概念力偶的概念把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（叫做力偶。并记作（，）。）。可用图表示：可用图表示：河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系3.力偶的性质力偶的性质（1）力偶在任何坐标轴上投影的代数和等于零；）力偶在任何坐标轴上投影的代数和等于零；（2）力偶没有合力，它不能与一个力等效，因而也不能被）力偶没有合力，它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡，力偶是一个基本力学量；一个力平衡，力偶是一个基本力学量；力偶的作用是使物体产生转动，其转动效应取决于力偶力偶的作用是使物体产生转动，其转动效应取决于力偶矩的大小和转向，平面力偶是代数量，逆时针转向为正。矩的大小和转向，平面力偶是代数量，逆时针转向为正。2.力偶矩力偶矩（3）力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。）力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。FFdDABK 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系4.力偶的三要素力偶的三要素（3）力偶的作用面。）力偶的作用面。四、同平面力偶的等效定理四、同平面力偶的等效定理定理：定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，大小相等，而且转向相同而且转向相同，则此两力偶等效。，则此两力偶等效。（1）力偶矩的大小；）力偶矩的大小；（2）力偶的方向；）力偶的方向；例如：方向盘例如：方向盘 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 证明：证明：F1F1d1ABEDCF1ABF1BCKF1BCF1ABF2F2ABd2 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系推论推论1 1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改力偶可以在其作用面内任意转移而不改 变它对刚体的转动效应变它对刚体的转动效应两个重要推论：两个重要推论：如下图如下图(a)、(b)所示。所示。()()河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系推论推论2 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件在保持力偶矩的大小和转向不变的条件 下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的 大小而不改变力偶对刚体的转动效应大小而不改变力偶对刚体的转动效应如下图如下图(a)、(b)所示。所示。()()其中其中 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系五、五、平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件（一）平面力偶系的合成（一）平面力偶系的合成1.1.两个力偶的情况两个力偶的情况平面力偶系平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。=河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系2.2.任意个力偶的情况任意个力偶的情况 ,或 这样得到新的力偶这样得到新的力偶(,),),则则 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系（二）平面力偶系的平衡条件（二）平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即偶系中各力偶矩的代数和等于零，即利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？FO思考题思考题 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系例例2-4 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等在工件上同时钻四个等直径的孔直径的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 求工件求工件A、B端的水平反力。端的水平反力。解：由工件平衡解：由工件平衡 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 例例2-5 梁梁AB上作用一力偶上作用一力偶,其力偶矩大小为其力偶矩大小为 ,转向如图，梁长转向如图，梁长l=5m,不计自重。求支座不计自重。求支座A、B的约束力。的约束力。MMl解解:由梁的平衡解之，ABFBFAM 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系54例例2-6 平行轴减速箱。已知减速箱的速比为平行轴减速箱。已知减速箱的速比为2:1，若匀速转动，若匀速转动时，已知时，已知M M1 1=30NM,=30NM,|M|M2 2|M|M1 1|。求在。求在A及及B处螺栓和支承台所处螺栓和支承台所受的力受的力。解解:由于减速箱的速度比为2:1，则阻力偶M2=2M1=60 Nm。按力偶平衡条件有M=0 FAl-M1-M2=0解之，FA=FB=(M1+M2)/l=500 N 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 横横梁梁AB受受力力偶偶M的的作作用用，不不计计梁梁和和支杆的自重，求支杆的自重，求A和和B端的约束力。端的约束力。ABDMlABMFBFA例题例题 2-7解：解：由由AB 梁的平衡梁的平衡解得解得 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系如图所示，机构如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：，在图示位置平衡。已知：OAOA400400mmmm，600600mmmm，作用在作用在OAOA上的力偶矩之大小上的力偶矩之大小 1 1NmNm。试求力偶矩试求力偶矩 的大小和杆的大小和杆AB AB 所受的力所受的力F F。各杆各杆的重量及各处摩擦均不计。的重量及各处摩擦均不计。AB例题例题 2-8 河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系BAAOB分析OA杆，有分析 杆，有 作AB、AO及 杆的受力图，AB杆为二力构件【解】【解】河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 o o1 1B Bo oA AB Bo o1 1A Ao oA A例例2-9 图示机构处于平衡。图示机构处于平衡。已知，已知，OA=a,=30o o,M1,不计杆重，求不计杆重，求M2。解解：画出曲柄和摆杆的受力图：画出曲柄和摆杆的受力图曲柄平衡曲柄平衡摆杆平衡摆杆平衡可得：可得：河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系 本节小结本节小结1.1.力矩是力学中的一个基本概念，是力对于物体的转动效应力矩是力学中的一个基本概念，是力对于物体的转动效应的度量。的度量。2.2.(1)(1)力偶是力学中的一个基本力学量；力偶是力学中的一个基本力学量；(2)(2)力偶在任何坐标轴上的投影等于零，力偶对于任一点力偶在任何坐标轴上的投影等于零，力偶对于任一点 之矩为一常量并等于力偶矩；之矩为一常量并等于力偶矩；(3)(3)力偶只能与另一力偶相平衡；力偶只能与另一力偶相平衡；(4)(4)力偶最主要的特征是其等效性；力偶最主要的特征是其等效性；(5)(5)力偶对于物体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中力偶对于物体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中 为代数量；为代数量；(6)(6)平面力偶系的合成及平衡问题。平面力偶系的合成及平衡问题。河南理工大学土木工程学院 理论力学 第二章 平面力系