渗流力学-第二章-数学模型课件

第二章 油气渗流的数学模型 n建立数学模型的原则建立数学模型的原则n运动方程运动方程n状态方程状态方程n质量守恒方程质量守恒方程n典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n数学模型的初边值条件数学模型的初边值条件n n用用用用数数数数学学学学语语语语言言言言综综综综合合合合表表表表达达达达油油油油气气气气渗渗渗渗流流流流过过过过程程程程中中中中全全全全部部部部力力力力学学学学现现现现象象象象和和和和物物物物理理理理化化化化学学学学现现现现象象象象的的的的内内内内在在在在联联联联系系系系和和和和运运运运动动动动规规规规律律律律的的的的方方方方程程程程式式式式（或或或或方方方方程组），称为程组），称为程组），称为程组），称为“油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型”。n n一个完整的数学模型包括两部分：一个完整的数学模型包括两部分：一个完整的数学模型包括两部分：一个完整的数学模型包括两部分：渗流综合微分方程渗流综合微分方程渗流综合微分方程渗流综合微分方程 边界条件和初始条件边界条件和初始条件边界条件和初始条件边界条件和初始条件第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则n建立数学模型的基础建立数学模型的基础n油气渗流数学模型的一般结构油气渗流数学模型的一般结构n建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤 一、建立数学模型的基础一、建立数学模型的基础一、建立数学模型的基础一、建立数学模型的基础n n油气渗流数学模型是对实际油气层的物理特征和渗流特征的油气渗流数学模型是对实际油气层的物理特征和渗流特征的油气渗流数学模型是对实际油气层的物理特征和渗流特征的油气渗流数学模型是对实际油气层的物理特征和渗流特征的数学描述，因此必须以客观实际为基础。数学描述，因此必须以客观实际为基础。数学描述，因此必须以客观实际为基础。数学描述，因此必须以客观实际为基础。1 1.地质基础地质基础地质基础地质基础:油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、参数分布的正确描述。参数分布的正确描述。参数分布的正确描述。参数分布的正确描述。2.2.2.2.实验基础实验基础实验基础实验基础:科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础,是建立数学模型的关键。是建立数学模型的关键。是建立数学模型的关键。是建立数学模型的关键。3.3.3.3.科学的数学方法科学的数学方法科学的数学方法科学的数学方法:无穷小单元体分析法无穷小单元体分析法无穷小单元体分析法无穷小单元体分析法,通常根据单元体中空通常根据单元体中空通常根据单元体中空通常根据单元体中空间上和时间上的物质守恒定律（如质量守恒定律、动量守恒间上和时间上的物质守恒定律（如质量守恒定律、动量守恒间上和时间上的物质守恒定律（如质量守恒定律、动量守恒间上和时间上的物质守恒定律（如质量守恒定律、动量守恒定律）或微小单元上的渗流特征来建立微分方程。定律）或微小单元上的渗流特征来建立微分方程。定律）或微小单元上的渗流特征来建立微分方程。定律）或微小单元上的渗流特征来建立微分方程。第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则 二、油气渗流数学模型的一般结构二、油气渗流数学模型的一般结构(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。(2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。(3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。以上三类方程是油气渗流数学模型的以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分基本组成部分。(4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。(5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。(6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤1.确定建立模型的目的和要求确定建立模型的目的和要求n解决的问题解决的问题:压力压力P的分布的分布速度速度v的分布（包括求流的分布（包括求流量）量）饱和度饱和度S的分布的分布 分界面移动规律。分界面移动规律。n自变量：空间和时间，自变量：空间和时间，(x,y,z)或或(r,z)和时间和时间tn因变量：压力因变量：压力P和速度和速度v；两相或多相流两相或多相流S分布分布n其它参数：地层物性参数其它参数：地层物性参数(如渗透率如渗透率K、孔隙度孔隙度、弹弹性压缩系数性压缩系数C、导压系数导压系数等等)和流体的物理参数（如和流体的物理参数（如粘度粘度、密度密度、体积系数体积系数B等等)第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则2.2.研究各物理量的条件和状况研究各物理量的条件和状况n过程状况：是等温过程还是非等温过程；过程状况：是等温过程还是非等温过程；n系系统统状状况况：是是单单组组分分系系统统还还是是多多组组分分系系统统，甚甚至至是是凝凝析系统；析系统；n相态状况：是单相还是多相甚至是混相；相态状况：是单相还是多相甚至是混相；n流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则3.3.确定未知数和其它物理量之间的关系确定未知数和其它物理量之间的关系n运动方程：速度和压力梯度的关系运动方程：速度和压力梯度的关系n状态方程：物理参数和压力的关系状态方程：物理参数和压力的关系n连续性方程：渗流速度连续性方程：渗流速度v v和坐标及时间的关系或饱和度与和坐标及时间的关系或饱和度与坐标和时间的关系：坐标和时间的关系：n确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系（如能量转换方程、扩散方程等等）（如能量转换方程、扩散方程等等）A Ai i=f fi i(P(P，T);BT);Bi i=f fi i(P(P，T)T)v v=f f(x x，y y，z z，t t，A A，B B)(对单相流体对单相流体对单相流体对单相流体)S=S=f f(x x，y y，z z，t t，A A，B B)()(对两相流体对两相流体对两相流体对两相流体)第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则4.4.写出数学模型所需的综合微分方程写出数学模型所需的综合微分方程(组组)n用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。组。5.5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.6.确定数学模型的适定性确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题解的存在、唯一、稳定性问题 7.7.给出问题的边界条件和初始条件给出问题的边界条件和初始条件第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则 第二节第二节 运动方程运动方程渗流服从线性规律时，渗流速度为渗流服从线性规律时，渗流速度为:其微分形式为：其微分形式为：将上式从均质地层的稳定渗流将上式从均质地层的稳定渗流推广到非均质地层的不稳定渗流推广到非均质地层的不稳定渗流 或写成：或写成：第三节第三节 状态方程状态方程 n液体的状态方程液体的状态方程 n气体的状态方程气体的状态方程 n岩石的状态方程岩石的状态方程 渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程，由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。程，由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，因此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状态方程状态方程”。一、液体的状态方程一、液体的状态方程n液体具有压缩性，随着压力降低，体液体具有压缩性，随着压力降低，体积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：n根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时液体质量液体质量M M不变不变,即即n微分上式得：微分上式得：n将将V VL L、d dV VL L代入代入(1)(1)式得：式得：(1(1)(2(2)(3)(3)(4)(4)第三节第三节 状态方程状态方程 n分离变量，分离变量，CL取常数，并设取常数，并设P=P0时，时，=0积分积分(4)式：式：n将将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精确性：确性：nCL值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变;在地下渗在地下渗流中，油气层温度大致不变，可把流中，油气层温度大致不变，可把CL值看成常数，数量级值看成常数，数量级在在10-3-10-4(1/MPa)左右。左右。n渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流力渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流力学过程的数学模型。学过程的数学模型。(5(5)(6)(6)大气压力大气压力大气压力大气压力(或或或或初始压力初始压力初始压力初始压力)P P P P0 0 0 0下流体下流体下流体下流体的密度的密度的密度的密度 第三节第三节 状态方程状态方程 二、气体状态方程二、气体状态方程n理想气体理想气体(分子无体积、分子间无作分子无体积、分子间无作用力用力)状态方程为状态方程为n真实气体的状态方程真实气体的状态方程PP气体压力气体压力气体压力气体压力VV压力压力压力压力P P时的气体总体积时的气体总体积时的气体总体积时的气体总体积TT绝对温度绝对温度绝对温度绝对温度RR气体常数气体常数气体常数气体常数nn气体摩尔数气体摩尔数气体摩尔数气体摩尔数zz压缩因子，压缩因子，压缩因子，压缩因子，z=f(Pz=f(P，T)T)，在给定温度压力下实际气体占在给定温度压力下实际气体占在给定温度压力下实际气体占在给定温度压力下实际气体占有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。第三节第三节 状态方程状态方程 三、岩石的状态方程岩石的状态方程 n岩石的压缩性对渗流的影响：岩石的压缩性对渗流的影响：压力变化会引起孔隙大小压力变化会引起孔隙大小发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数；发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数；由于由于孔隙大小变化引起渗透率的变化孔隙大小变化引起渗透率的变化。n岩石的压缩性用压缩系数描述：岩石的压缩性用压缩系数描述：n分离变量，分离变量，Cf取常数，并设取常数，并设P=P0时，时，=0积分积分 n不同岩石的压缩系数是不同的，一般在不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.510-4310-41/MPa之间。在之间。在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程 当压力变化当压力变化P时的孔隙度的改变量时的孔隙度的改变量 第三节第三节 状态方程状态方程 第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n单相渗流的连续性方程单相渗流的连续性方程n两相渗流的连续性方程两相渗流的连续性方程 渗流过程必须遵循质量守恒定律渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。又称连续性原理）。即即：在地层中任取一微小单元体在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇在单元体内若没有源和汇存在存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单单元体内质量应为常数。元体内质量应为常数。一、单相渗流的连续性方程一、单相渗流的连续性方程n微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元，其微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元，其中中M点质量速度在各坐标上分量为点质量速度在各坐标上分量为vx、vy、vz。第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 1.流入流出质量差流入流出质量差dt时间经时间经ab面流入的质量流量应为：面流入的质量流量应为：dt时间经时间经ab面流出的质量流量为：面流出的质量流量为：六面体在六面体在dt时间时间x方向流入流出的流量差为：方向流入流出的流量差为：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n同理，可求得沿同理，可求得沿y方向、方向、z方向流入流出的流量差分别为：方向流入流出的流量差分别为：nd dt t时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 2.单元体内质量变化单元体内质量变化n经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化弹性表现为液体密度的变化)n六面体内的孔隙体积：六面体内的孔隙体积：n流体质量：流体质量：n单位时间内流体质量变化率：单位时间内流体质量变化率：nd dt t时间流体质量总的变化为：时间流体质量总的变化为：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n显然显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间时间内流入与流出的质量差，即：内流入与流出的质量差，即：或或或或上式可写成：上式可写成：上式可写成：上式可写成：散度散度散度散度:M:M点单位体点单位体点单位体点单位体积单位时间向包积单位时间向包积单位时间向包积单位时间向包围曲面外流出的围曲面外流出的围曲面外流出的围曲面外流出的流体体积流体体积流体体积流体体积上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程（连续性方程）方程（连续性方程）方程（连续性方程）方程（连续性方程）第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n n如果是不可压缩流体如果是不可压缩流体如果是不可压缩流体如果是不可压缩流体(即即即即=常数常数常数常数)在刚性孔隙介质中流动在刚性孔隙介质中流动在刚性孔隙介质中流动在刚性孔隙介质中流动(=常数常数常数常数)，则，则，则，则 n n连续性方程为：连续性方程为：连续性方程为：连续性方程为：n n物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。n n这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，所以又称稳定渗流的连续性方程。所以又称稳定渗流的连续性方程。所以又称稳定渗流的连续性方程。所以又称稳定渗流的连续性方程。第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 二、两相渗流的连续性方程二、两相渗流的连续性方程1油水两相渗流的连续性方程油水两相渗流的连续性方程 n假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发生化学作用，生化学作用，n取一个单元六面体取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒可对油水两相分别写出质量守恒的连续性方程。的连续性方程。n对油相来说，在对油相来说，在dtdt时间内单元六面体流出流入的质量差为时间内单元六面体流出流入的质量差为(1)(1)第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油被水驱替所引起的结果。若在油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱时刻六面单元体内油的饱和度为和度为So，t+dt时刻油的饱和度为时刻油的饱和度为ndt时间内饱和度变化为时间内饱和度变化为n饱和度变化引起的油相质量变化为饱和度变化引起的油相质量变化为 (2)(2)第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n根据质量守恒定律，根据质量守恒定律，(1)(1)、(2)(2)式应该相等式应该相等 n可以写为可以写为n对水相来讲，同样可以得出：对水相来讲，同样可以得出：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 2油、气两相渗流的连续性方程油、气两相渗流的连续性方程 n在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在dt时间内流入流出的质量差为：时间内流入流出的质量差为：n由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：变化为：在压力在压力在压力在压力P P下溶有气体下溶有气体下溶有气体下溶有气体的地下原油密度的地下原油密度的地下原油密度的地下原油密度 地下单位体积原油地下单位体积原油地下单位体积原油地下单位体积原油中溶解气质量中溶解气质量中溶解气质量中溶解气质量 第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两相渗流时，油相的连续性方程：相渗流时，油相的连续性方程：n对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dtdt时间时间内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为：内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为：n自由气：自由气：n溶解气：溶解气：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的时间的质量变化为：质量变化为：n根据质量守恒定律，得根据质量守恒定律，得n或或第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n单相不可压缩液体稳定渗流数学模型单相不可压缩液体稳定渗流数学模型n弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型渗流数学模型 n油水两相渗流数学模型油水两相渗流数学模型 一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型n假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液体的压缩性液体的压缩性(不需要建立状态方程不需要建立状态方程)，等温、稳定渗流。，等温、稳定渗流。n运动方程：运动方程：n连续性方程：连续性方程：n将将(1)(1)式代入式代入(2)(2)式式n由于由于K K/为常数，故常数，故 (1(1)(2(2)第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n n上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称LaplaceLaplace方程。除用方程。除用方程。除用方程。除用直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。Laplace算子算子第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型渗流数学模型 n假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和连续性方程组成连续性方程组成。n运动方程：运动方程：n状态方程：状态方程：n对弹性孔隙介质：对弹性孔隙介质：n对弹性液体：对弹性液体：n单相液体质量守恒方程：单相液体质量守恒方程：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n将将(1)(2)(3)代入代入(4)，第一项中，第一项中n因为因为CL、Cf都是很小的数，可略去含都是很小的数，可略去含CLCf项得：项得：n式中式中 综合压缩系数综合压缩系数，单位岩石体积在降低单，单位岩石体积在降低单位压力时位压力时,由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积,可可看成是常数看成是常数,故故第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立(5)(5)n n(4)(4)(4)(4)式第二项由三部分组成式第二项由三部分组成式第二项由三部分组成式第二项由三部分组成:(5)(5)第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n同理可得：n由此可得：(6)(6)第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n(5)、(6)代入代入(4)式式导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率K K单位单位单位单位为为为为mm2 2，液体粘度液体粘度液体粘度液体粘度 单位为单位为单位为单位为mPa.smPa.s，综合压缩系数综合压缩系数综合压缩系数综合压缩系数C Ct t单位为单位为单位为单位为1010-1-1MPaMPa-1-1时，导压系数时，导压系数时，导压系数时，导压系数的单位为的单位为的单位为的单位为cmcm2 2/s/s，其物理意义为单其物理意义为单其物理意义为单其物理意义为单位时间内压力波传播的地层面积。位时间内压力波传播的地层面积。位时间内压力波传播的地层面积。位时间内压力波传播的地层面积。二阶抛物线型偏微二阶抛物线型偏微二阶抛物线型偏微二阶抛物线型偏微分方程分方程分方程分方程(或称热传导或称热传导或称热传导或称热传导方程方程方程方程)第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立三、油水两相渗流数学模型三、油水两相渗流数学模型n n运动方程运动方程运动方程运动方程 n n对于油相：对于油相：对于油相：对于油相：n n对于水相：对于水相：对于水相：对于水相：n n油水两相渗流的连续性方程油水两相渗流的连续性方程油水两相渗流的连续性方程油水两相渗流的连续性方程n n对于油相：对于油相：对于油相：对于油相：n n对于水相：对于水相：对于水相：对于水相：第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n将运动方程代入连续性方程得：将运动方程代入连续性方程得：n可写成：可写成：此外还有此外还有此外还有此外还有油水两相渗流的数学模型油水两相渗流的数学模型油水两相渗流的数学模型油水两相渗流的数学模型使用条件：彼此不互溶、不使用条件：彼此不互溶、不使用条件：彼此不互溶、不使用条件：彼此不互溶、不起化学作用的油水两相同时起化学作用的油水两相同时起化学作用的油水两相同时起化学作用的油水两相同时渗流；不考虑毛管力和重力渗流；不考虑毛管力和重力渗流；不考虑毛管力和重力渗流；不考虑毛管力和重力作用；岩石和液体均不可压作用；岩石和液体均不可压作用；岩石和液体均不可压作用；岩石和液体均不可压缩；渗流服从线性渗流规律；缩；渗流服从线性渗流规律；缩；渗流服从线性渗流规律；缩；渗流服从线性渗流规律；等温渗流过程。等温渗流过程。等温渗流过程。等温渗流过程。HamiltonHamilton算子算子算子算子第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n油水两相稳定渗流过程，液体饱和度不随时间变化，即油水两相稳定渗流过程，液体饱和度不随时间变化，即n此时两相稳定渗流数学模型为此时两相稳定渗流数学模型为第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立第六节 边界条件和初始条件 n n数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都可能有无穷多个解。可能有无穷多个解。可能有无穷多个解。可能有无穷多个解。n n要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：n n发生这个物理现象的区域和几何形状；发生这个物理现象的区域和几何形状；发生这个物理现象的区域和几何形状；发生这个物理现象的区域和几何形状；n n影响这个物理现象的物理参数和系数；影响这个物理现象的物理参数和系数；影响这个物理现象的物理参数和系数；影响这个物理现象的物理参数和系数；n n描述所研究系统的初始状况的条件；描述所研究系统的初始状况的条件；描述所研究系统的初始状况的条件；描述所研究系统的初始状况的条件；n n问题区域的边界条件。问题区域的边界条件。问题区域的边界条件。问题区域的边界条件。n n完整的数学模型必须包括微分方程完整的数学模型必须包括微分方程完整的数学模型必须包括微分方程完整的数学模型必须包括微分方程(组组组组)和它的初始条件、边界和它的初始条件、边界和它的初始条件、边界和它的初始条件、边界条件，条件，条件，条件，使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究一、初始条件一、初始条件n指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布(只有不只有不稳定渗流问题才需要稳定渗流问题才需要)n表示的是渗流区域表示的是渗流区域D上上t=0时，势函数时，势函数（x,y,z,t）为）为0(x,y,z)n势函数势函数为为压力的函数如压力的函数如第六节 边界条件和初始条件 二、边界条件二、边界条件 n指指渗流区域渗流区域边界上的已知条件。边界上的已知条件。1.给出势函数的边界条件给出势函数的边界条件第一类边界条件第一类边界条件待求的势函数待求的势函数(x,y,z,t)在边界上已知。在边界上已知。特殊情况是势函数为常数，即特殊情况是势函数为常数，即=0 0=常数。常数。这种边界对三维流动称为等势面，对二维流动称为等势线这种边界对三维流动称为等势面，对二维流动称为等势线 第六节 边界条件和初始条件 n例如：圆形定压边界油层中心一口井稳定渗流时的边界例如：圆形定压边界油层中心一口井稳定渗流时的边界条件即为第一类边界条件。条件即为第一类边界条件。第六节 边界条件和初始条件 2.给出流量或流速的边界条件给出流量或流速的边界条件第二类边界条件第二类边界条件n待求的势函数在边界上是未知的，但边界上的流量待求的势函数在边界上是未知的，但边界上的流量(或流速或流速)是是已知的已知的n n边界边界边界边界S S的外法线方向；的外法线方向；的外法线方向；的外法线方向；q q单位面积上的流量单位面积上的流量单位面积上的流量单位面积上的流量(流入正，流出负流入正，流出负流入正，流出负流入正，流出负)为已知函数。为已知函数。为已知函数。为已知函数。第六节 边界条件和初始条件 n例如圆形封闭地层中心一口井弹性不稳定渗流的例如圆形封闭地层中心一口井弹性不稳定渗流的边界条件即为第二类边界条件。边界条件即为第二类边界条件。第六节 边界条件和初始条件 3.第三类边界条件第三类边界条件 n待求的势函数及其导数在边界上均未知，但其关系是已知待求的势函数及其导数在边界上均未知，但其关系是已知的的n、ff均为边界上的已知函数。均为边界上的已知函数。n第三类边界条件在多孔介质渗流中很少遇到，一般是用混第三类边界条件在多孔介质渗流中很少遇到，一般是用混和边值问题：就是在有些边界上是第一类边界条件，其余和边值问题：就是在有些边界上是第一类边界条件，其余的边界上用第二类边界条件。的边界上用第二类边界条件。第六节 边界条件和初始条件 n例如：圆形有界定压油层中心一口井不稳定渗例如：圆形有界定压油层中心一口井不稳定渗流的边界条件即为混和边界条件。流的边界条件即为混和边界条件。第六节 边界条件和初始条件