现代控制理论ch3资料课件

第三章 线性控制系统的能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observability)是两个重要的概念，是由美国数学家、电气工程师卡尔曼(R.E.Kalman)在1960年提出的，它深刻地揭示了系统的内部结构关系，是最优控制和最优估计的设计基础，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义。第三章 线性控制系统的能控性和能观性 现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力第三章 线性控制系统的能控性和能观性 这两个概念是与状态空间表达式对系统分段内部描述相对应的，是状态空间描述系统所带来的新概念。3.1 能控性的定义 能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关。1.线性连续定常系统的能控性如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。3.1 能控性的定义 能控性就是研究系统这个“黑箱”的内部的每一个状态变量 是否可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的始点达到指定的任一终点。系统状态3.1 能控性的定义 比如一个系统的状态空间描述为：写成标量方程组的形式为 可以直观地看出，与 受u的控制，即可以通过选择u，使 与 取任意值。3.1 能控性的定义 又如一个系统的状态空间描述为：写成标量方程组的形式为 可以直观地看出，受u的控制，即可以通过选择u，使 取任意值，而 则不受u的控制，不能通过u的选择，使 取我们所需的值。3.1 能控性的定义 几点说明几点说明 1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态。即 x(tf)=03.1 能控性的定义 2)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间t0,tf内，能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。3.1 能控性的定义 3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)，而不计较的轨迹如何。3.1 能控性的定义 2.线性连续时变系统的能控性 能控性的定义，与定常系统的定义相同，但是A(t)、B(t)是时变矩阵不是而常系数矩阵，其状态矢量x(t)的转移，与初始时刻t0的选取有关，所以在时变系统能控性定义中，应强调在t0时刻系统是能控的。3.1 能控性的定义 3.离散时间系统的能控性 只考虑单输入的n阶线性定常离散系统。其中u(k)是标量控制作用，它在区间k,k+1内是个常值。3.1 能控性的定义 若存在控制作用序列u(k),u(k+1)u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即x(l)=0，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统能控性判别准则有两种形式先将系统进行状态变换，把状态方程化为Jordan标准型 ，再根据阵 ，确定系统的能控性；直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别 为简明起见，列举具有Jordan标准型的二阶系统，对能控性加以分析。例(1)1.单输入系统单输入系统3.2 线性定常系统的能控性判别即 系统模拟结构图：3.2 线性定常系统的能控性判别（2）系统模拟结构图：3.2 线性定常系统的能控性判别（3）系统模拟结构图：3.2 线性定常系统的能控性判别 通过以上分析，可以得出以下几点结论：1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的；控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别2）在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=x1 x2xn是不完全能控的。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别3）在A为Jordan标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于Jordan块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别4）不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立方块，它对应的是一阶齐次微分方程的模拟结构图，其自由解是xi(0)eit，故为不能控的状态，也表现为与之相应的特征值的自然模式eit的不能控。2.具有一般系统矩阵的多输入系统具有一般系统矩阵的多输入系统 1）令x=Tz,变换为Jordan标准型 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别系统的状态方程为 线性变换不改变系统的特征值，若某第i个状态xi不能控，就是 xi(0)eit 的自由分量不能控，也即相应特征值的自然模式eit 不能控，既然系统线性变换不改变系统特征值，所以不改变系统的能控性。2）证明系统的线性变换不改变系统的能控性条件。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别若系统矩阵A的特征值互异，则可变换为Jordan标准型的形式，此时系统能控性的充分必要条件是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。3）一般系统的能控性判据 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别若系统矩阵A的特征值有相同的，则可变换为约当标准型的形式的充分必要条件是:T-1B中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行对应的一行的元素没有全为0的。T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别4)A的特征值互异时，其对应的特征向量必然互异，故必然能变换为对角线型。但即使A的特征值相同时，其对应的特征向量也有可能是互异的，故也有可能变换为对角线型。则在J=T-1AT中，将出现两个以上与同一特征值有关的约旦块。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别在这种情况下，我们不能简单地确定系统的能控性。不加证明地说，在这种情况下，对单输入系统是不能控的，对多输入系纸，则尚需考察中，与那些相同特征值对应的Jordan块的最后一行元素所形成的向量是否线性无关。若它们线性无关，系统才是能控的。3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别【例3-1】判断系统的能控性 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态完全能控，能控系统状态不完全能控，不能控系统状态完全能控，能控系统状态不完全能控，不能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态完全能控，能控系统状态不完全能控，不能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态完全能控，能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态完全能控，能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态不完全能控，不能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别状态不完全能控，不能控系统（11）状态不完全能控，不能控系统（12）状态完全能控，能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别（13）状态完全能控，能控系统（14）状态不完全能控，不能控系统3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别解解 将其变换成Jordan型，先求其特征根 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别【例3-2】判断系统的能控性 再求变换矩阵 得变换后的状态方程 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别系统不能控【例3-3】判断系统是否能控 解解 若A的特征值互异，变换矩阵 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别系统能控 若A的特征值1=2，13 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别系统能控 若A的特征值1=2=3 3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别系统能控 3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵Qc满秩，即rankQcn。否则，当rantQcn时，系统为不能控的。3.2 线性定常系统的能控性判别1.1.单输入系统单输入系统线性连续定常单输入系统Qc称为能控判别阵。证明:的解为 根据能控性定义,对任意的初始状态矢量 ,应能找到u(t)使之在有限时间 内转移到零状态 。3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 由 得由剀莱-哈密顿定理得，对任何的k，因3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 故 其中 将上式代入3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 有其中由于u(t)是标量，所以 也是标量，将上式写成矩阵形式为3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 若系统能控，则对任意给定的初始状态 ，应能从上式解出 ，即 因此，必须保证的逆存在，亦即其秩序必须等于n.证毕3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性【例例3-43-4】判断如下系统是否能控 解解：3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性凡具有此例形式的状态方程称为能控标准型。【例例3-53-5】判断如下系统是否能控 解解：故系统不能控。3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 2.2.多输入系统多输入系统线性定常系统其能控的充要条件是矩阵证明可仿照单输入系统的方法进行。注：在多输入系统中，矩阵M秩的计算较复杂。在计算行比列少的矩阵的秩时，常用 ；有时不写M,而记为A,B对或A,b对。M满秩序时，称A,B或A,b是能控对。3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性【例例3-63-6】判别系统的可控性 （1）解：3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性（2）3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性系统状态不完全能控3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性（3）实际上，只需即可判别出完全能控。3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性（4）3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性系统不能控3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性或由即可判别出系统不能控。线性连续定常单输入系统 UX之间的传递函数：状态完全能控的充要条件是：没有零极点对消现象。因为若传递函数分子和分母约去一个相同公因子后，就相当于状态减少了一维，系统出现了一个低维能控子空间和一个不能控子空间，故系统不能控。3.2.3 由传递函数判断能控性（单输入系统）【例例3-73-7】对于如下系统，从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性解：存在零极点对消，故不可控。3.2.3 由传递函数判断能控性（单输入系统）【例例3-83-8】对于如下系统，从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性解：不可能存在零极点对消，故一定是能控的。3.2.3 由传递函数判断能控性（单输入系统）3.3 线性连续定常系统的能观性 控制系统大多采用反馈形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测到，因此提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这就是系统的能观测问题。下图中所示系统是状态能观测的，因为系统的每一个状态变量对输出都产生影响。3.3 线性连续定常系统的能观性 下图中所示系统是状态不能观测的，因为系统的状态 对输出y不产生任何影响，所以要从输出量y的信息中获得 的信息也是不可能的。3.3 线性连续定常系统的能观性3.3.1 能观性定义 能观性所表示的是输出y(t)反映状态向量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 如果对任意给定的输入u，在有限观测时间tf t0，使得根据t0,tf 期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。3.3.1 能观性定义 几点说明几点说明 1）能观性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能力，考虑到控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在分析能观测问题时，不妨令u0，这样只需从齐次状态方程和输出方程出发。3.3.1 能观性定义 2）从输出方程可以看出，如果输出量y的维数等于状态的维数，即m=n，并且C是非奇异的阵，则求解状态是十分简单的，即 x(t)=C-1y(t)显然，这是不需要观测时间的。可是在一般情况下，输出量的维数总是小于状态变量的个数，即mn。为了能唯一地求出n个状态变量，不得不在不同的时刻多测量几组输出数据，使之能构成n个方程式。3.3.1 能观性定义 3）在定义中之所以把能观性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定的控制量(输入)，利用状态转移方程求出各个瞬时的状态。3.3.1 能观性定义 3.3.2 定常系统能观性的判别 线性定常系统能观性判别准则有2种方法：对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性；直接根据A阵和C阵进行判别。1.1.变换为变换为JordanJordan标准型的判别方法标准型的判别方法 线性定常系统的状态空间表达式为 （1）A 为对角线矩阵3.3.2 定常系统能观性的判别 设 则上式子可用方程组表示为3.3.2 定常系统能观性的判别 3.3.2 定常系统能观性的判别 结构图如下3.3.2 定常系统能观性的判别 若矩阵 的某一列全为零,譬如第2列元素全为零,则在y(t)中将不包含 这个自由分量,亦即不包含 这个状态变量,因此 不可能从y(t)的测量中推算出来,即 是不能观的状态。3.3.2 定常系统能观性的判别 例(1)能观(2)不能观在系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中没有全为零的列；若第i列全为零，则与之相应的 为不能观的。（2）A为Jordan标准型矩阵 以三阶为例3.3.2 定常系统能观性的判别 状态方程的解为3.3.2 定常系统能观性的判别 从而3.3.2 定常系统能观性的判别 由上式可知，当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。Jordan标准型的系统具有串联的结构，如下图3.3.2 定常系统能观性的判别 从图中可以看出，若串联结构中的最后一个状态变量能够测到，则驱动该状态变量的前面的状态变量 也必然能够观测到，因此只要 不全为零，就不可能出现与输出无关的孤立部分，系统就一定是能观的。3.3.2 定常系统能观性的判别 在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中，对应每个Jordan块开头的一列的元素不全为零。由于任意系统矩阵A经变换后，均可演化为对角线型或Jordan型，此时只需根据输出矩阵CT是否有全为零的列，或对应Jordan块的CT的第一列是否全为零，便可以确定系统的能观性。3.3.2 定常系统能观性的判别【例例3-93-9】确定下列系统的能控性3.3.2 定常系统能观性的判别 3.3.2 定常系统能观性的判别 线性定常系统 状态完全能观的充要条件是能观判别矩阵N满秩,即2.2.直接从直接从A、C 阵判断系统的能观性阵判断系统的能观性3.3.2 定常系统能观性的判别 证明证明:由 的解为其中3.3.2 定常系统能观性的判别 因此，根据在时间区间 测量得到的y(t)，要从上式唯一地确定 ，即完全能观的充要条件为矩阵N 的秩为n.3.3.2 定常系统能观性的判别 3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.4.1 能控性矩阵M 根据离散时间系统能控性定义，在有限个采样周期内，若能找到阶梯控制信号，使得任意一个初始状态转移到零状态，那么系统是状态完全能控的，怎样才能判定能否找到控制信号呢？3.4.1 能控性矩阵M 举例：任意给一个初始状态，譬如：看能否找到阶梯控制u(0)，u(1)，u(2)，在三个采样周期内使x(3)=0 利用递推法:3.4.1 能控性矩阵M 利用递推法:3.4.1 能控性矩阵M 令 x(3)=0 由于u的系数矩阵是非奇异的，其逆存在3.4.1 能控性矩阵M 能找到u(0)，u(1)，u(2)使x(0)在第3步时，使状态转移到零，因而为能控系统。所以有解的充要条件，即能控的充要条件是系数矩阵满秩。3.4.1 能控性矩阵M 一般地，初始状态为x(0)时，方程的解为 若系统是能控的，则应在kn时，解得u(0)，u(1)，u(n-1)，使x(k)在第n个采样时刻为零，即：x(n)=0，从而有：方程有解的充要条件是能控矩阵满秩。3.4.1 能控性矩阵M 对于单输入系统，式中的h是n维列矢量，因此Qc阵是n*n的系数阵。对于多输入系统，h不再是n维列矢量而是 n*r矩阵H，r为控制信号(即输入)u的维数，因此Qc是一个 n*nr矩阵。3.4.1 能控性矩阵M 例：有一个三阶的三输入系统 3.4.1 能控性矩阵M 根据上式构成具有9个待求变量而只有三个方程的方程组 3.4.1 能控性矩阵M 在输入个数为r的n阶系统，方程式的个数(n)总是小于未知数的个数(nr)的，在这种情况下，只要Qc满秩，方程组就有无穷多组解。在研究能控性问题时，关心的问题是是否有解，至于是什么样的控制信号，在此是无关紧要的。在多输入系统中，n阶系统的初始状态转移到原点，一般并不一定需要n个采样周期，即采样步数k0,所以该系统在t0时间区间上是状态完全能观测的。必须注意，这是一个充分条件，若系统不满足所述条件，并不能得出该系统是不能观测的结论。3.5.2 能观性判别 众所周知，一个矩阵 式中 为列矢量，当且仅当由 构成的格拉姆矩阵 为非奇异时，列矢量是线性无关的。3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 现在 因此，有 这个矩阵的列矢量是线性无关与 非奇异等价。3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 在定常系统中 ，故 的非奇异相当于 的行矢量线性无关，根据 有3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 故 非奇异等价于 行矢量线性无关，即等价于 。综上所述，时变系统与定常系统的能控性判据是形异而实同，是一脉相承的，格拉姆能控性矩阵是(A,B)对能控矩阵的一般形式。同样，格拉姆矩阵 的非奇异等价于的列矢量线性无关。3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 根据时变矢量线性无关的判定定理，知 的非奇异等价于 的列矢量线性无关。3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 在时不变系统中 即 这说明时变系统中 的满秩与定常系统中(A,C)对的N满秩是等价的。3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系 能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由Kalman提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6 能控性与能观测性的对偶关系3.6.1 线性系统的对偶关系两个系统如果满足如下关系，则称两系统 是互为对偶的：输入r维，输出m维输入m维，输出r维3.6.1 线性系统的对偶关系 从对偶系统的结构图可以看出，互为对偶的两从对偶系统的结构图可以看出，互为对偶的两个系统，输入与输出端互换，信号传递方向相反。个系统，输入与输出端互换，信号传递方向相反。信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。3.6.1 线性系统的对偶关系1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。3.6.1 线性系统的对偶关系若 能控，则能控性矩阵 满秩。即 设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性；的能观测性等价于 的能控性。证明：证明：证明：证明：的能观测性矩阵为：3.6.2 对偶原理所以 能观测。反之亦然。3.6.2 对偶原理3.6.3 时变系统的对偶原理两个时变系统如果满足如下关系，则称两系统 是互为对偶的：由定义，可得互为对偶的两个系统的状态转移矩阵是互为转置逆的。对于其状态转移矩阵应满足下列微分方程：3.6.3 时变系统的对偶原理 下面确定 的转置逆矩阵 所满足的微分方程。由于 ，所以有因此两边对时间求导数，有3.6.3 时变系统的对偶原理 于是 即 对 两边转置，得3.6.3 时变系统的对偶原理代入上式，有 由状态转移矩阵的基本性质知，必是系统 的状态转移矩阵，即 即互为对偶的系统 ，其状态转移矩阵 互为转置逆。由上述结论可推出时变系统的对偶原理：的能观性等价于 的能控性，的能控性等价于 的能观性。3.6.3 时变系统的对偶原理 对于 ，其判别能控性的格拉姆矩阵为：因为 是 的对偶系统，故有代如上式，有 3.6.3 时变系统的对偶原理显然，这是判别 能观性的格拉姆矩阵 故可得 同理可得：于是结论得证。3.6.3 时变系统的对偶原理3.7 状态空间表达式的 能控标准型与能观标准型由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。状态空间表达式化成相应的几种标准形式如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析是十分方便的；3.7 状态空间表达式的 能控标准型与能观标准型对于系统的状态反馈则化为能控标准型是比较方便的；对于系统状态观测器的设计以及系统辨识，则将系统状态空间表达式化为能观标准型是方便的。3.7 状态空间表达式的 能控标准型与能观标准型把状态空间表达式化成能控标准型(能观标准型)的理论根据是状态的非奇异变换不改变其能控性(能观性)，只有系统是状态完全能控的(能观的)才能化成能控(能观)标准型。3.7.1 单输入系统的能控标准型 系统是状态完全能控的，即满足 能控性判别阵中至少有n个n维列向量是线性无关的，因此在这nr个列向量中选取n个线性无关的列矢量，以某种线性组合，仍能导出一组n个线性无关的列矢量，从而导出状态空间表达式的某种能控标准型。3.7.1 单输入系统的能控标准型 对于单输入单输出系统，在能控判别阵中只有唯一的一组线性无关向量，因此一旦组合规律确定，其能控标准型的形式是唯一的。对于多输入多输出系统，在能控性判别阵中，从(n*nr)中选择出n个独立的列向量的取法不是唯一的，因而其能控标准型的形式也不是唯一的。能控标准能控标准型型3.7.1 单输入系统的能控标准型能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型1 1能控标准能控标准型型若线性定常单输入系统 是能控的，则存在线性非奇异变换 3.7.1 单输入系统的能控标准型使其状态空间表达式化成能控标准I型：其中3.7.1 单输入系统的能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型 其中，为A的特征多项式：的各项系数。是 相乘的结果。3.7.1 单输入系统的能控标准型 证明证明 假设系统是能控的，故矢量 是线性无关的。按下列组合方式构成的n个矢量 也是线性无关的。其中 为A的特征多项式各项系数。3.7.1 单输入系统的能控标准型 令 将（1）式分别代入上式得 3.7.1 单输入系统的能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型 将上述 代入（2）式得 3.7.1 单输入系统的能控标准型 再证 从而 最后证 3.7.1 单输入系统的能控标准型 将（1）中各式代入上式得 3.7.1 单输入系统的能控标准型 写成 显然 3.7.1 单输入系统的能控标准型由能控标准I型，容易求得传递函数为：【例例3-143-14】将下列状态空间表达式变换成能控标准I型3.7.1 单输入系统的能控标准型解：方法一（1）判别系统的能控性系统能控，可以化为能控标准型。（2）A的特征多项式3.7.1 单输入系统的能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型（3）计算可直接写出：需通过计算得到（4）得到系统的能控标准I型为：3.7.1 单输入系统的能控标准型还可以直接写出系统的传递函数：3.7.1 单输入系统的能控标准型方法二（1）先求出系统的传递函数：3.7.1 单输入系统的能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型（2）根据传递函数直接写出（3）得到系统的能控标准I型2.2.能控标准能控标准IIII型型线性定常单输入系统：是能控的，则存在非奇异变换使其状态空间表达式化为：其中，分别具有如下形式：3.7.1 单输入系统的能控标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型其中，为A的特征多项式：的各项系数。是 相乘的结果，即 此为能控标准II型。3.7.1 单输入系统的能控标准型 证明证明 因为系统为能控的，所以能控判别矩阵 非奇异，令 则变换后的状态空间表达式为 由凯莱-哈密尔顿定理3.7.1 单输入系统的能控标准型 因此 写成矩阵形式 3.7.1 单输入系统的能控标准型 即 故 3.7.1 单输入系统的能控标准型 再求 因为 欲使上式成立，必须 3.7.1 单输入系统的能控标准型【例例3-153-15】将系统化为能控标准II型 解解：（1）判断能控性 系统能控，故可以化为能控标准II型。3.7.1 单输入系统的能控标准型（2）A的特征多项式（3）计算 可以直接写出3.7.1 单输入系统的能控标准型 需计算得到：（4）得到能控标准II型3.7.1 单输入系统的能控标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即：时，才能导出能观标准型。状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准I型和能观标准II型,它们分别与能控标准I型和能控标准II型相对偶。3.7.1 单输入系统的能观标准型1.1.能观标准能观标准I I型型 线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换 ，使其状态空间表达式化为：其中，分别具有如下形式：3.7.1 单输入系统的能观标准型 其中，为A的特征多项式：的各项系数。是 相乘的结果。此为能观标准I型。3.7.1 单输入系统的能观标准型而变换阵证明证明 构造 的对偶系统 写出对偶系统 的能控标准II型，的状态空间表达式的能观标准I型即是 的能控标准II型。3.7.1 单输入系统的能观标准型 即 式中 为系统 的能控标准II型对应的系数矩阵；为系统 的能观标准I型对应的系数矩阵；为系统 的对偶系统 能控标准II型对应的系数矩阵。3.7.1 单输入系统的能观标准型2.2.能观标准能观标准IIII型型 若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换使其状态空间表达式化为：其中，分别具有如下形式：3.7.1 单输入系统的能观标准型3.7.1 单输入系统的能观标准型变换阵 为其中，为A的特征多项式的各项系数。是 相乘的结果。此为能观标准II型。3.7.1 单输入系统的能观标准型 上述变换可根据对偶原理直接由其对偶系统的能控标准I型导出，其过程与能观标准I型类同。与能控标准I型一样，根据状态空间表达式的能观标准II型，也可以直接写出系统的传递函数。3.7.1 单输入系统的能观标准型【例例3-163-16】将系统化为能观标准型解解：（1）判断能观性状态完全能观。（2）A的特征多项式3.7.1 单输入系统的能观标准型（3）（能观I型）直接写出：计算得到：所以能观标准I型为：3.7.1 单输入系统的能观标准型（4）（能观II型）直接写出：计算得到：所以能观标准II型为：3.7.1 单输入系统的能观标准型3.8 线性系统的结构分解 如果一个系统是不完全能控的，则其状态空间中所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。如果一个系统是不完全能观的，则其状态空间中所有能观测的状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。在一般形式下，这些子空间并没有被明显地分解出来。如何通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状态空间接能控性和能观性进行结构分解。3.8 线性系统的结构分解 把线性系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解是状态空间分析中的一个重要内容。在理论上它揭示了状态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了理论依据。实践上，它与系统的状态反馈、系统镇定等问题的解决都有密细的关系。设线性定常系统 是不完全能控的，即则存在非奇异变换 将状态空间表达式化为：3.8.1 按能控性分解 其中，3.8.1 按能控性分解 即其中，维子空间 是能控子空间。维子空间 是不能控子空间。机构分解的情况如图所示。3.8.1 按能控性分解 3.8.1 按能控性分解 非奇异的变换矩阵 由n个列向量组成，前 个列向量取自M中 个线性无关的列；后 个列向量在保证 非奇异的情况下是任意的。3.8.1 按能控性分解【例3-17】将以下系统按能控性进行分解。解解：（1）判别能控性系统状态不完全能控。3.8.1 按能控性分解（2）组成变换矩阵取（3）求3.8.1 按能控性分解 若取 则 3.8.1 按能控性分解 同理可以算出3.8.1 按能控性分解 在这两种分解后的状态空间表达式中，能控子空间的形式完全相同，均为 此非偶然也，乃因 是取自M中的两个线性无关的列。3.8.1 按能控性分解 设线性定常系统 是状态不完全能观的，即则存在非奇异变换 ，将状态空间表达式化为：其中，分别具有如下形式：3.8.2 按能观性分解 3.8.2 按能观性分解 可见，变换后系统分解为两个子系统：其结构图见下页。维能观子系统 维不能观子系统3.8.2 按能观性分解 变换阵 的构成：由n个行向量构成，其中，前 行取自能观阵N中 个线性无关的行，另外 行在保证 非奇异的情况下是任意的。3.8.2 按能观性分解 3.8.2 按能观性分解【例3-18】将以下系统按能观性进行分解。解解：（1）判别能观性不完全能观。3.8.2 按能观性分解（2）构造变换阵取 则（3）求3.8.2 按能观性分解 3.8.2 按能观性分解 1.若线性定常系统 不完全能控且不完全能观，则存在非奇异变换 把原状态空间表达式化为：其中，3.8.3 按能控性能观性分解 其中，这样，就将整个状态空间分解为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个子空间。3.8.3 按能控性能观性分解 能控能观能控不能观不能控能观不能控不能观3.8.3 按能控性能观性分解 其结构图如下：3.8.3 按能控性能观性分解 从结构图我们可以看出，从输入到输出实际上只有一条通道：因此，反映系统输入输出特性的传递函数描述实际上只是反映了能控且能观的那个子系统的动力学行为。从而也说明了传递函数描述只是对系统的一种不完全描述。3.8.3 按能控性能观性分解 根据传递函数求状态空间表达式(实现问题)，其解将有无穷多个。但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小实现问题。3.8.3 按能控性能观性分解 2.按能控能观性分解的步骤（1）首先将系统 按能控性分解。为此取状态变换将系统变换为：按能控性分解构造3.8.3 按能控性能观性分解（2）将上式中的不能控子系统 按能观性分解，取变换这样，将 分解为：按能观性分解构造3.8.3 按能控性能观性分解（3）将能控子系统 按能观性分解，取变换由有将 代入上式，得：按能观性分解构造3.8.3 按能控性能观性分解 两边左乘 得：3.8.3 按能控性能观性分解 综合以上三次变换，就可以得到按能控性能观性分解的表达式：3.8.3 按能控性能观性分解【例3-19】（1）将原系统按能控性分解，得到（2）不能控子系统 仅为一维，且能观，故无需再分解。3.8.3 按能控性能观性分解（3）能控子系统按能观性分解：取变换 取变换阵3.8.3 按能控性能观性分解 3.8.3 按能控性能观性分解 综合几次分解的结果，可以得到：3.8.3 按能控性能观性分解 3.结构分解的另一种方法 先把原系统化为对角线（约旦）标准型，然后判别出能控能观、不能控能观、能控不能观、不能控不能观的状态变量，最后按顺序排列即可。3.8.3 按能控性能观性分解 3.8.3 按能控性能观性分解 由能控能观的判据知：能控且能观的变量：能控但不能观的变量：不能控但能观的变量：不能控且不能观的变量：最后将这些变量重新排列顺序，就可以得到分解后的状态空间表达式：3.8.3 按能控性能观性分解 3.8.3 按能控性能观性分解 从结构图可以清楚看出四个子系统传递信息的情况。在系统的输入和输出之间，只存在一条唯一的单向控制通道，即显然，反映系统输入输出特性的传递函数阵W(s)只能反映系统中能控且能观的那个子系统的动力学行为。3.9 传递函数阵的实现问题 传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述，如果在系统中添加(或去掉)不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数。因而根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有无穷多个。但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小实现问题最小实现问题。3.9 传递函数阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概念 给定传递函数阵W(s)，若有状态空间表达式使之成立则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。3.9.1 实现问题的基本概念可实现条件：（1）中每个元 的分子分母多项式系数均为实常数。（2）的元 是真有理分式。说明：真有理分式：分子多项式的次数低于或等于分母的次数。严格真有理分式：分子多项式的次数低于分母的次数。3.9.1 实现问题的基本概念当传递函数阵 中所有元的分子多项式次数低于分母多项式的次数时，则必有当传递函数阵 中哪怕只有一个元的分子多项式次数等于分母多项式的次数时，则 ，且此时，应先由 得到 再实现3.9.1 实现问题的基本概念【例例3-203-20】3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现 先把严格真有理分式的传递函数写成如下形式：这里，则其能控标准型实现为：该传递函数阵的特征多项式系数mr维常数阵3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现rr维单位阵rr维零阵3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现其能观标准型实现为：其能观标准型实现为：mm维单位阵mm维零阵3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现 能控标准型实现的维数是nr,能观标准型实现的维数是nm。r为输入矢量的维数，m为输出矢量的维数。多输入多输出系统的能观标准型并不是能控标准型简单的转置，这同单输入单输出系统不同，必须注意。3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现【例3-21】求 的能控标准型实现和能观标准型实现。解：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现所以：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现直接写出其能控标准型如下：3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现能观标准型如下：3.9.3 最小实现最小实现 1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现如果不存在其它实现使得 的维数小于x的维数，则称实现为最小实现。即无穷多个实现中维数最小的那个实现。从工程角度看，如何寻求维数最小的一类实现，具有重要的现实意义。3.9.3 最小实现最小实现2.寻求最小实现的步骤定理定理:传递函数W(s)的一个实现 为最小实现的充要条件是：既是能控的又是能观的。由此定理可确定W(s)的最小实现,一般步骤如下:（1）对于给定的W(s)，初选一种实现,一般选取能控标准型或能观标准型。（2）对 找出其能控且能观的部分 ,此实现就是最小实现。3.9.3 最小实现最小实现【例3-21】试求传递函数阵的最小实现。解：将W(s)写成标准形式：由于m1，r2，n3（为传递函数阵特征多项式的次数）能控型实现为nr6维，能观型实现维mn3维，故宜采用能观标准型实现。3.9.3 最小实现最小实现 判断 的能控性（因为是能观标准型，所以肯定能观，只需检验能控性）。能控！所以 为其最小实现。3.9.3 最小实现最小实现【例例3-223-22】求 的最小实现。解解：第一步：写出能控标准型(或能观标准型)前面已求出系统的能控标准型为3.9.3 最小实现最小实现3.9.3 最小实现最小实现第二步：判别该能控标准型的状态是否完全能观因为rankN=3 n=6,所以该该能控标准型不是最小实现。3.9.3 最小实现最小实现第三步：将系统进行能观性分解。取3.9.3 最小实现最小实现利用分块矩阵的求逆公式，求得 3.9.3 最小实现最小实现于是 3.9.3 最小实现最小实现 3.9.3 最小实现最小实现经检验，是能控且能观的子系统，因此，W(s)的最小实现为 3.9.3 最小实现最小实现根据上列 求系统传递函数阵，可检验所得结果。3.9.3 最小实现最小实现另解：第一步：写出能控标准型(或能观标准型)实现然后将 按能控性分解。3.9.3 最小实现最小实现3.9.3 最小实现最小实现选择变换矩阵 3.9.3 最小实现最小实现3.9.3 最小实现最小实现于是 3.9.3 最小实现最小实现 3.9.3 最小实现最小实现经检验，是能控且能观的子系统，因此，W(s)的最小实现为 3.9.3 最小实现最小实现 通过以上计算，进一步说明传递函数的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的，只是最小实现的维数是唯一的。可以证明，如果 和 是同一传递函数阵W(s)的两个最小实现，则它们之间必存在一状态变换使得 即同一传递函数阵的最小实现是代数等价的。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 可以证明,对于SI系统、SO系统或者SISO系统，系统能控且能观的充要条件是传递函数的分子分母间没有零极点对消。对MIMO系统，没有零极点对消只是最小实现的充分条件，而非必要条件，即使出现零极点对消，系统仍然可能是能控能观的。本节只讨论SISO系统的传递函数中有零极点对消与状态能控且能观之间的关系。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系定理定理：SISO系统能控且能观的充分必要条件为传递函数的分子分母间没有零极点对消。证明证明：必要性如果 不是的最小实现，则必存在另一系统3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系有更少的维数，使得由于 的阶次比A低，于是多项式 的阶次也一定比 的阶次低。但是欲使上式成立，必然是 的分子分母间出现零极点对消。于是反设不成立。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系再证充分性 如果 的分子分母间不出现零极点对消，则 一定是能控且能观的。反设 的分子分母间出现零极点对消，则 将退化为一个降阶的传递函数。根据这个降阶的没有零极点对消的传递函数，可以找到一个更小维数的实现。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系现假设 的分子分母间不出现零极点对消，于是对应的 一定是最小实现，即 是能控并能观的。证毕 利用这个关系可以根据传递函数的分子分母是否出现零极点对消，方便地判别相应的实现是否能控且能观的。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 如果传递函数中出现了零极点对消，还不能确定系统是不能控的还是不能观的，还是既不能控也不能观的。它可以有以下三种实现：比如，对于传递函数（1）的实现可以是3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 可见系统是能控但不能观的。因此，上述实现不是最小实现。该实现是能控但不能观的。其结构图如下图a）：3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系（2）上述传递函数的实现又可以是该实现是能观但不能控的，结构图如b）所示。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系（3）上述传递函数的实现还可以是该实现是既不能控也不能观的，结构图如c）所示。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 系统的能控且能观性与其传递函数阶的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递因数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。