柯西积分定理课件

3.2 3.2 柯西积分定理柯西积分定理 3.2 柯西积分定理1引例：引例：解：解：oxy引例：解：oxy2定理定理1（Cauchy）柯西积分定理 如果函数如果函数 f(z)在在单连通域单连通域D内处处内处处解析解析,则它在则它在D内内任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线 C 的积分为零的积分为零:DC一、单连通域的情况：一、单连通域的情况：问题：在什么条件下复积分与积分路径无关？定理1（Cauchy）柯西积分定理 如果函数 3（3）C-RC-R方程方程定理证明需用知识：定理证明需用知识：（3）C-R方程定理证明需用知识：4注（1）定理成立的条件：定理成立的条件：f(z)在单连通域内解析。在单连通域内解析。推论：推论：设f(z)在单连通区域B内解析，C属于B，与路径无关仅与起点和终点有关。即积分与路径无关即积分与路径无关。注（1）定理成立的条件：f(z)在单连通域内解析。推论：设f5例例1 1：解：解：例1：解：6这里D为复连通域。二、多连通域的情况二、多连通域的情况定理定理2 假设C1及C2为任意两条简单闭曲线,C2在C1内部,且C1在C2同向，f(z)在C1及C2所围的区域D内解析,在边界上连续，则这里D为复连通域。二、多连通域的情况定理2 假设C1及C27证明证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.-闭路变形原理闭路变形原理ABCDGHQP假设C1及C2为任意两条简单闭曲线,C2在C1内部,且C1在C2同向,f(z)在C1及C2所围的区域D内解析,在边界上连续，则证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线8推论（复合闭路定理）：推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，所围成的多连通区域，推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，所围成的多连9例题例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：（由闭路变形原理）例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：（由闭路变形10柯西积分定理课件11例例3解解C1C21xyo例3解C1C21xyo12&1.原函数的概念原函数的概念&2.2.积分计算公式积分计算公式 1.原函数的概念13定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且三、解析函数的原函数概念与计算公式三、解析函数的原函数概念与计算公式 由柯西基本定理的推论知：设由柯西基本定理的推论知：设f(z)在单连通在单连通区域区域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C,积分积分 与路径无关，只与起点和终点有关。与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在B内变动内变动,在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理 设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在三14定义定义 若函数若函数 (z)在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在B内的原函数内的原函数.上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一的一个个原函数。原函数。设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。定义 若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，15定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.2.2.解析函数积分计算公式解析函数积分计算公式定理 设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f16例例3 计算下列积分：计算下列积分：例3 计算下列积分：17例题例题4C 如图所示：存在 f(z)的解析单连通域D包含曲线 C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。从而解：例题4C 如图所示：存在 f(z)的解析单连18小结小结 求积分的方法求积分的方法小结 求积分的方法19 作业作业 习题五习题五 2、习题六习题六 1、（3）2、（、（1）（）（2）作业20