流体力学-第3章课件

朗格朗日法是把流体的运动，看作是无数个质点运动的总和，以个别质点作为观察对象加以描述，将各个质点的运动汇总起来，就得到整个流动。朗格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻的坐标（a、b、c）作为该质点的标志，其位移是起始坐标和时间变量的连续函数。3.1 流体运动的描述3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 (3-1)式中 a、b、c、t称为拉格朗日变数。当研究某一指定的流体质点时，起始坐标a、b、c是常数，上式为该质点的运动轨迹。将式（3-1）对时间求一阶和二阶偏导数，在求导过程中a、b、c 视为常数，便得该质点的速度和加速度。3.1 流体运动的描述速度 (3-2)加速度 (3-3)3.1 流体运动的描述3.1.2 欧拉法欧拉法 欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动参数，即研究运动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从而得出整个流体的运动情况。3.1 流体运动的描述速度场3.1 流体运动的描述式中，空间坐标x、y、z和时间变量t称为欧拉变数。压强场密度场3.1 流体运动的描述3.1.2 欧拉法欧拉法3.1.3 流体质点的加速度，质点导数流体质点的加速度，质点导数3.1 流体运动的描述 欧拉法的速度表达式u=u(x，y，z，t)中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t的函数x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)。因此加速度需按复合函数求导法则导出。分量形式(3-9)3.1 流体运动的描述上式也可表示为算子式中 当地加速度（时变加速度，不稳定性引起）迁移加速度（位变加速度，不均匀性引起）当地加速度 为负值迁移加速度 为正值加速度3.1 流体运动的描述当地加速度迁移加速度 为正值加速度3.1 流体运动的描述当地加速度迁移加速度加速度欧拉法描述流体运动，质点的物理量，不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的随体导数或质点导数。如物理量A=A(x，y，z，t)的随体导数例如密度的随体导数3.1 流体运动的描述式中 和 分别称为物理量A的时变导数和位变导数。3.2.1 流动的分类流动的分类 1.恒定流和非恒定流 以时间为标准，若各空间点上的流动参数皆不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流。对恒定流或物理量的时变导数为零3.2 欧拉法的基本概念 2.一维、二维和三维流动 若各空间点上的流动参数（主要是速度）是三个空间坐标（x，y，z）和时间变量的函数，流动是三维流动。若流动参数只是两个空间坐标（x，y）和时间变量的函数，流动是二维流动。若流动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，流动是一维流动，如管道和渠道内的流动。3.2 欧拉法的基本概念 3.均匀流和非均匀流 若质点的迁移加速度为零，即流动是均匀流，反之是非均匀流。【例3-1】已知速度场 。试问：（1）t=2s时，在（2，4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？3.2 欧拉法的基本概念【解】(1)加速度3.2 欧拉法的基本概念以t=2s，x=2，y=4，代入上式，得同理(2)速度的时变导数此流动是非恒定流。(3)迁移加速度此流动是均匀流。3.2 欧拉法的基本概念3.2.2 流流 线线 1.流线的概念 流线是速度场的矢量线，它是某一确定时刻，在速度场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量都与曲线相切。流线在一般情况下不相交，只在一些特殊点相交。流线是光滑的曲线或直线。3.2 欧拉法的基本概念 恒定流流线的形状和位置不随时间变化。流线为平行直线的流动是均匀流。3.2.2 流流 线线3.2 欧拉法的基本概念 2.流线方程 根据流线的定义，过该点的速度矢量 与 共线，满足即3.2 欧拉法的基本概念展开上式，得流线微分方程 时间t是参变量，在积分求流线方程时将作为常数。3.2 欧拉法的基本概念 3.迹线方程 流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程可得到迹线的微分方程 对恒定流，通过同一点的流线和迹线重合。3.2 欧拉法的基本概念【例3-1】已知速度场 。试求：（1）流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。【解】(1)由流线的微分方程式积分得或3.2 欧拉法的基本概念所得流线方程是直线方程，不同时刻（t=0,t=1,t=2)的流线图是三组不同斜率的直线族。t=0时流线图t=1时流线图t=2时流线图3.2 欧拉法的基本概念(2)由迹线的微分方程式即上式积分得由t=0，x=0，y=0得：c1=0，c2=03.2 欧拉法的基本概念消去时间变量，得t=0时过（0，0）点的迹线方程3.2.3 流管、过流断面、元流和总流流管、过流断面、元流和总流 1.流管、流束 在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状表面称为流管。充满流体的流管称为流束。2.过流断面 在流束上作出的与流线正交的横断面是过流断面。3.2 欧拉法的基本概念 3.元流和总流 元流是过流断面无限小的流束，断面上各点的流动参数均相等。总流是过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成的，断面上各点的流动参数一般情况下不相同。3.2 欧拉法的基本概念3.2.4 流量、断面平均流速流量、断面平均流速 1.流量 单位时间通过某一过流断面的流体量称为该断面的流量。体积流量质量流量3.2 欧拉法的基本概念对于均值不可压缩流体，密度为常数，则 2.断面平均流速3.2 欧拉法的基本概念【例3-1】已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分布为 ，式中umax是轴线上断面最大流速，y为距管壁的距离。试求：（1）通过的流量和断面平均流速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。3.2 欧拉法的基本概念【解】（1）流量3.2 欧拉法的基本概念断面平均流速（2）依题意，令3.2 欧拉法的基本概念3.3.1 连续性微分方程连续性微分方程 dt时间x方向流出与流入控制体的质量差，即x方向净流出质量为：3.3 连续性方程同理，y、z方向的净流出质量3.3 连续性方程 dt时间控制体的总净流出质量 根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即化简得或连续性微分方程3.3 连续性方程对均质不可压缩流体，式（3-21）化简为3.3 连续性方程对恒定流，式（3-21）化简为速度场的散度 ，故不可压缩流体的连续性微分方程可表示为3.3.2 连续性微分方程对总流的积分连续性微分方程对总流的积分 设恒定总流，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体，体积为V。将不可压缩流体的连续性微分方程进行积分，得3.3 连续性方程上式第一项u1的方向与dA外法线方向相反，取负号。由此得到或 un为u在微元面积dA外法线方向的投影。因侧表面上un=0，于是式（3-25）化简为3.3 连续性方程【例3-1】变直径水管，已知粗管直径d1=200mm，断面平均流速v1=0.8m/s，细管直径d2=100mm，试求细管管段的断面平均流速。【解】由总流连续性方程3.3 连续性方程【例3-2】输水管道经三通管分流，已知管径d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平均流速v3。【解】流入和流出三通管的流量相等，即3.3 连续性方程