概率一章课件

概率论与数理统计概率论与数理统计主讲人主讲人 蒋金凤蒋金凤要要 求求 1.上课不得迟到，课堂上不能吃东西，手上课不得迟到，课堂上不能吃东西，手机请关闭机请关闭.2.课前要预习，课上要认真听讲，适当课前要预习，课上要认真听讲，适当做笔记，课后自己做笔记，课后自己独立独立完成作业，杜绝抄袭完成作业，杜绝抄袭作业。作业。3.每周一上午交作业，准备两本作业本。每周一上午交作业，准备两本作业本。参参 考考 书书 1.1.概率论与数理统计教程，峁诗松等编概率论与数理统计教程，峁诗松等编著，高等教育出版社著，高等教育出版社 2.2.概率统计习题集，双博士高等数学课题概率统计习题集，双博士高等数学课题组编写，机械工业出版社组编写，机械工业出版社 3.3.概率论与数理统计试题精选题解，廖玉概率论与数理统计试题精选题解，廖玉麟，刘凯编，华中科技大学出版社麟，刘凯编，华中科技大学出版社本学科的起源本学科的起源 概率概率(或几率或几率)随机事件出随机事件出现现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问其起源与博弈问题有关。题有关。概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，概率论的产生，却起始于对赌博老的数学学科，概率论的产生，却起始于对赌博的研究，当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先的研究，当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢赢c c局便是赢家，若一个赌徒赢局便是赢家，若一个赌徒赢a a局局(ac)(ac)，另一，另一赌徒赢赌徒赢b b局局(bc)(bc)时终止赌博，问应当如何分赌本时终止赌博，问应当如何分赌本？他们求教于数学家帕斯卡，帕斯卡同费尔玛讨？他们求教于数学家帕斯卡，帕斯卡同费尔玛讨论这个问题，论这个问题，研究了较复杂的赌博问题，研究了较复杂的赌博问题，解决解决了了“合理分配赌注问题合理分配赌注问题”，从而他们共同建立从而他们共同建立了概率论的第一基本概念了概率论的第一基本概念数学期望。数学期望。我国的概率论研究起步较晚，从我国的概率论研究起步较晚，从19571957年开年开始，先驱者是始，先驱者是许宝马录许宝马录先生。先生。19571957年暑期许老师年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。国科学家对概率统计也取得了较大的成果。l 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的 一门数学分支。理论严谨，应用广泛，发展迅速。一门数学分支。理论严谨，应用广泛，发展迅速。l 概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、工概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、工程技术、经济和人文学科。如：程技术、经济和人文学科。如：l预测和滤波应用于空间技术和自动控制；预测和滤波应用于空间技术和自动控制；l时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；本学科的应用本学科的应用 l马尔可夫过程与点过程应用于地震预报和气马尔可夫过程与点过程应用于地震预报和气象预报；象预报；l数理统计方法应用于工农业生产等等。数理统计方法应用于工农业生产等等。l在理论联系实际方面，概率论是数学最活跃在理论联系实际方面，概率论是数学最活跃的分支之一。的分支之一。概率论的理论和方法向各个基础学科、概率论的理论和方法向各个基础学科、工程学科的渗透，是近代科学技术发展的特工程学科的渗透，是近代科学技术发展的特征之一。概率论与其它学科相结合发展成不征之一。概率论与其它学科相结合发展成不少边缘学科，如生物统计，统计物理和数学少边缘学科，如生物统计，统计物理和数学地质等；它又是许多新的重要学科的基础，地质等；它又是许多新的重要学科的基础，如信息论，控制论，可靠性理论和人工智能如信息论，控制论，可靠性理论和人工智能等。等。1.1.深刻理解深刻理解,牢固掌握基本概念牢固掌握基本概念;2.2.多做练习多做练习,很抓解题基本功很抓解题基本功.学习本课程的方法学习本课程的方法第一章第一章 事件与概率事件与概率l第一节第一节 随机事件和样本空间随机事件和样本空间l一、随机现象一、随机现象 l两个试验：两个试验：l试验试验I I：一个盒子中有十个完全相同的白球（大小一个盒子中有十个完全相同的白球（大小和形状），搅匀后从中任取一球。和形状），搅匀后从中任取一球。l试验试验II II：一个盒子中有十个相同（大小和形状），：一个盒子中有十个相同（大小和形状），其中其中5 5个是白色的；个是白色的；5 5个是黑色的，搅匀后从中任个是黑色的，搅匀后从中任取一球取一球.1 1.确定性现象确定性现象 试验试验I I所代表的类型，在试验之前就能断定它所代表的类型，在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这种类型的试验所对应的现象，有一个确定的结果，这种类型的试验所对应的现象，称为称为确定性现象确定性现象（即（即必然现象必然现象）。）。特点特点：试验前有一个确定的结果：试验前有一个确定的结果.l 例如：例如：l （1 1）在标准大气压下，纯水加热到）在标准大气压下，纯水加热到1001000 0C C，必然沸腾；必然沸腾；l （2 2）带电物体之间，总是同性相斥异性相）带电物体之间，总是同性相斥异性相 吸；吸；l （3 3）边长为）边长为a,a,宽为宽为b b的矩形，其面积必是的矩形，其面积必是ab.ab.2 2.随机现象随机现象 试验试验IIII所代表的类型，它有多于一种可能的试所代表的类型，它有多于一种可能的试验结果，但是在一次试验之前不能肯定试验会出现验结果，但是在一次试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。就一次试验而言，看不出有什么规律，哪一个结果。就一次试验而言，看不出有什么规律，但是，但是，“大数次大数次”地重复这个试验，试验结果又遵地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为循某些规律，这种规律称之为“统计规律统计规律”，这一，这一类试验称之为类试验称之为随机试验随机试验。随机试验所代表的现象称。随机试验所代表的现象称为为随机现象随机现象（或（或偶然现象偶然现象）。）。例如：例如：（1 1）某地区的年降雨量；某地区的年降雨量；（2 2）如投一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反）如投一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，事先不能作出确定的判断；面，事先不能作出确定的判断；（3 3）检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是）检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是不合格品。不合格品。特点特点：在一定条件下，试验结果不止一个，对于某次试在一定条件下，试验结果不止一个，对于某次试验，试验前无法确定其结果。验，试验前无法确定其结果。二、随机试验二、随机试验 l如果一个试验满足下面三个条件：如果一个试验满足下面三个条件：l 1 1.试验可以在相同条件下重复进行试验可以在相同条件下重复进行;l 2 2.试验的所有可能结果明确可知且不止一个试验的所有可能结果明确可知且不止一个;l 3 3.每次试验总是恰好出现一个可能的结果，每次试验总是恰好出现一个可能的结果，且试验前不能确定何种结果。且试验前不能确定何种结果。这样的试验称为这样的试验称为随机试验随机试验,简称简称试验试验。三、随机事件三、随机事件l随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的每一个可能的结果称为基本事件基本事件；l由多个基本事件所组成的事件称为由多个基本事件所组成的事件称为复合事件复合事件；l基本事件和复合事件统称为基本事件和复合事件统称为随机事件随机事件或或事件事件。l常用大写字母常用大写字母A A、B B、C C等表示事件。等表示事件。l称事件称事件A A发生发生，当且仅当，当且仅当A A所包含的一个样本点所包含的一个样本点l（基本事件）出现（基本事件）出现.l例例1 1、某袋中装有、某袋中装有4 4只白球和只白球和2 2只黑球，我们考虑依次从只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。如对球进行编号，中摸出两球所可能出现的事件。如对球进行编号，4 4只白只白球分别编为球分别编为1 1，2 2，3 3，4 4;2;2只黑球编为只黑球编为5 5，6 6。如果用。如果用(i i,j,j)表示表示第一次摸得第一次摸得i i号球，第二次摸得号球，第二次摸得j j号球号球,l共有共有3030个基本事件。个基本事件。l现在研究下面的事件：现在研究下面的事件：lA A：第一次摸出黑球；第一次摸出黑球；B B：第二次摸出黑球；第二次摸出黑球；lC C：第一次及第二次都摸出黑球；第一次及第二次都摸出黑球；D D：两球号之和等于两球号之和等于7 7。l注：随机事件的两个极端情况注：随机事件的两个极端情况:1 10 0 必然事件：在一定条件下，必定出现的事件必然事件：在一定条件下，必定出现的事件称为称为必然事件必然事件，记为，记为。l例如：例如：=水在水在0 00 0以下一定结冰以下一定结冰 是必然事件。是必然事件。l2 20 0 不可能事件：在一定条件下，必定不出现的不可能事件：在一定条件下，必定不出现的事件称为事件称为不可能事件不可能事件，记为，记为。l例如：导体通电不发热，是不可能事件。例如：导体通电不发热，是不可能事件。四、样本空间四、样本空间 l 随机试验的所有可能结果组成的集合，称为随机试验的所有可能结果组成的集合，称为样本空间样本空间，记为，记为=。l其中的元素其中的元素 称为称为样本点样本点或或基本事件基本事件。对于例对于例1 1，3030个结果作为样本点，构成了样本空间个结果作为样本点，构成了样本空间 ，事件，事件A A、B B、C C、D D都是都是 的一个子集。的一个子集。例例2 2.在前述试验在前述试验IIII中，令中，令 1 1=取得白球取得白球，2 2=取得黑球取得黑球，则，则=1 1，2 2 例例3 3.投一枚硬币，则投一枚硬币，则=正，反正，反 例例4 4.连续投两枚硬币，连续投两枚硬币，=(=(正，正正，正),(),(正，反正，反),(),(反，正反，正),(),(反，反反，反)A:A:至少出现一次正面至少出现一次正面B B:两次都是正面两次都是正面例例例例5 5 5 5.(1)电视机寿命的样本空间为电视机寿命的样本空间为 =t,t 0(2)一天内进入某商场的顾客数的样本空间一天内进入某商场的顾客数的样本空间(3)测量误差的样本空间为测量误差的样本空间为=x,-x5000h,BT5000h,BT2000hT0)a(a0)的平行线，向平面任意的平行线，向平面任意投掷一枚长为投掷一枚长为l(la)l(l0,P(B)0,则对任意的事件则对任意的事件A A F,F,称称为在已知事件为在已知事件B B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A A发生发生的条件概率。的条件概率。1 1、条件概率的定义、条件概率的定义A A F,F,且且P(A)0,P(A)0,则对任意的事件则对任意的事件B B F,F,称称为在已知事件为在已知事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生发生的条件概率。的条件概率。例例2 2.设设100100件某一产品中有件某一产品中有5 5件不合格品，件不合格品，而而5 5件不合格品中又有件不合格品中又有3 3件是废品。现在件是废品。现在100100件产件产品中任取一件，求品中任取一件，求(1)(1)抽得的是次品的概率；抽得的是次品的概率；(2)(2)已知抽得的是不合格品，它是次品的概率。已知抽得的是不合格品，它是次品的概率。练习练习：任意抛掷两枚质地均匀的硬币，任意抛掷两枚质地均匀的硬币，令令A表示表示“第一次出现正面第一次出现正面”,B表示表示”第第二次出现正面二次出现正面”.容的事件容的事件 A Ai i(i=1,2,)(i=1,2,)有有2.条件概率的性质条件概率的性质(1)非负性：对于任意的非负性：对于任意的A F,P(A B)0.(2)规范性：规范性：P(B)=1(3)可列可加性：对于任意的一列两两互不相可列可加性：对于任意的一列两两互不相3 3.其它性质：其它性质：定理定理1 1（乘法定理）（乘法定理）若对于任意两个事件若对于任意两个事件A A、B B，都有都有 P P(A)0,P(B)0,(A)0,P(B)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)二、概率的乘法公式二、概率的乘法公式乘法公式乘法公式 定理定理2 2.设设A A1 1,A,A2 2,A An n 为任意为任意n n个事件，个事件，n n 2,2,且且则有则有 例例3.(3.(抽签问题抽签问题)有一张电影票，有一张电影票，7 7个人个人抓阄决定谁得到它，问第抓阄决定谁得到它，问第i i个人抓到票的概个人抓到票的概率是多少？（率是多少？（i=1i=1，2 2，7 7）(用乘法公式用乘法公式)例例4.4.某人忘记了电话号码的最后一个数某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通电话的概率。若已知最后一个数字次而接通电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率又是多少？（是奇数，那么此概率又是多少？（用乘法公用乘法公式式）例例5.5.有外形相同的球分装三个盒子，每盒有外形相同的球分装三个盒子，每盒1010个。其中第一个盒子中个。其中第一个盒子中7 7个标有字母个标有字母A A，3 3个个标有字母标有字母B;B;第二个盒子中有红球和白球各第二个盒子中有红球和白球各5 5个；个；第三个盒子中有红球第三个盒子中有红球8 8个，白球个，白球2 2个。试验按如个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母取得标有字母A A的球，则在第二个盒子中任取一的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母球；若第一次取得标有字母B B的球，则在第三个的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。求试验成功的概率。则称试验成功。求试验成功的概率。定理定理2(2(全概率公式全概率公式)三、全概率公式三、全概率公式 例例6.6.（p38p38）某工厂有四条生产线生产同）某工厂有四条生产线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的的15%15%，20%20%，30%30%，35%35%，又这四条流水线的不，又这四条流水线的不合格品率为合格品率为5%5%，4%4%，3%3%，及，及2%2%，现在从出厂的，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？为多少？例例7.7.设设10001000件产品中有件产品中有200200件是不合件是不合格品，依次作不放回抽取二件产品，求第格品，依次作不放回抽取二件产品，求第二次取到的是不合格品的概率。二次取到的是不合格品的概率。(用全概用全概率公式）率公式）练习：乒乓球盒中有练习：乒乓球盒中有1212个球，其中个球，其中8 8个是没有用过的新球。第一次比赛时从中个是没有用过的新球。第一次比赛时从中任取任取3 3个使用，用后仍放回盒中。第二次个使用，用后仍放回盒中。第二次比赛时再从中任取比赛时再从中任取3 3个，求这个，求这3 3个球都是新个球都是新球的概率。球的概率。例例8.8.在一种数字通讯中，信号是由数字在一种数字通讯中，信号是由数字0 0和和1 1的长序列所组成，设发报台分别以概率的长序列所组成，设发报台分别以概率0.60.6与与0.40.4发出信号发出信号0 0和和1 1，由于通讯系统受到随机干扰，由于通讯系统受到随机干扰，当发出信号当发出信号0 0时，收报台未必收到信号时，收报台未必收到信号0 0，而分，而分别以概率别以概率0.80.8与与0.20.2收到信号收到信号0 0和和1 1；同理，当发；同理，当发出信号出信号1 1时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率.9.9与与0.10.1收到信收到信号号1 1和和0 0，求，求（1 1）收报台收到信号）收报台收到信号0 0的概率；的概率；（2 2）当收报台）当收报台 收到信号收到信号0 0时，发报台确是时，发报台确是发出信号发出信号0 0的概率。的概率。定理定理3 3、（贝叶斯公式）若、（贝叶斯公式）若B B1 1,B,B2 2,B Bn n,为一列两两互不相容的事件，且为一列两两互不相容的事件，且则对任一事件则对任一事件A A，有有四、贝叶斯四、贝叶斯(BayesBayes)公式公式上式称为贝叶斯上式称为贝叶斯(BayesBayes)公式公式称称为后验概率，它是为后验概率，它是在试验得到结果在试验得到结果“A发生发生”后求得的关于后求得的关于B Bi i 的概的概率率.称称P P(B Bi i)为先验概率，它是由以往的经验为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件得到的，它是事件 A A 的原因的原因.例例9.9.用甲胎蛋白法普查肝癌，令用甲胎蛋白法普查肝癌，令 C=C=被检验者患肝癌被检验者患肝癌 A=A=甲胎蛋白检验结果为阳性甲胎蛋白检验结果为阳性 则则 被检验者未患肝癌被检验者未患肝癌 甲胎蛋白检验结果为阴性甲胎蛋白检验结果为阴性 由过去的资料已知由过去的资料已知又已知某地居民的肝癌发病率为又已知某地居民的肝癌发病率为P P（C C）=0.0004.=0.0004.在普在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真的患肝癌的概率人中真的患肝癌的概率 例例10.伊索寓言伊索寓言“孩子与狼孩子与狼”讲的是一个小讲的是一个小孩孩每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊：在山上喊：“狼来了，狼来了！狼来了，狼来了！”，山下的村，山下的村民民闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次说了谎，人们不再相信他了。说了谎，人们不再相信他了。1.6 1.6 独立性独立性引例引例.设一盒中有五个球设一盒中有五个球(二白三黑二白三黑),),每次从每次从中取一球中取一球,有放回地取两次有放回地取两次,记记A=A=第一次取得黑球第一次取得黑球,B=,B=第二次取得黑球第二次取得黑球.求：求：P(A),P(B),P(B|A).P(A),P(B),P(B|A).一、事件的独立性一、事件的独立性1 1.两个事件的独立性两个事件的独立性定义定义1 1.对于任意的两个事件对于任意的两个事件A A、B B，若成立若成立 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)则称则称事件事件A A、B B是相互独立的，简称为独立。是相互独立的，简称为独立。定理定理1 1.(2)(1)定理定理2 2.若事件若事件A A与与B B独立，则下列各独立，则下列各事件也相互独立事件也相互独立 例例1 1.设甲、乙两射手独立地射击同一目设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为标，他们击中目标的概率分别为0.90.9和和0.80.8。求在一次射击中，目标被击中的概率。求在一次射击中，目标被击中的概率。例例2 2.分别掷两枚均匀的硬币，令分别掷两枚均匀的硬币，令 A=A=硬币甲出现正面硬币甲出现正面 B=B=硬币乙出现正面硬币乙出现正面 验证验证A A、B B是相互独立的。是相互独立的。例例3.一个家庭中有若干个小孩，假一个家庭中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的定生男生女是等可能的令令A=一个家庭中有男孩，又有女孩一个家庭中有男孩，又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论对下述两种情形，讨论A与与B的独立性的独立性（1）家庭中有两个小孩）家庭中有两个小孩（2）家庭中有三个小孩）家庭中有三个小孩定义定义2 2.2 2.多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义3 3.对于事件对于事件A A、B B、C C，若下列四若下列四个等式同时成立，则称它们相互独立个等式同时成立，则称它们相互独立.注：注：10.两两独立两两独立相互独立；相互独立；(例例4）20.若若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A、B、C两两独立；（两两独立；（例例5）30.两两独立没有传递性。（例两两独立没有传递性。（例6）A A与与C C独立独立即即A与与B独立，独立，B与与C独立独立 例例4 4.一个均匀的正四面体，其第一面染一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，第四面同时染成红、白、黑三种颜色，色，第四面同时染成红、白、黑三种颜色，现在我们以现在我们以A A、B B、C C分别记投一次四面体出现分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色的事件。红、白、黑颜色的事件。（验证：注（验证：注1 10 0）例例5 5.若有一个均匀正八面体，其第若有一个均匀正八面体，其第1 1，2 2，3 3，4 4面染成红色，面染成红色，1 1，2 2，3 3，5 5面染成白色，面染成白色，1 1，6 6，7 7，8 8面染成黑色，现在以面染成黑色，现在以A A、B B、C C分别表示投分别表示投一次八面体出现红、白、黑事件。一次八面体出现红、白、黑事件。（验证注（验证注2 20 0）例例6 6.一个家庭有两个孩子一个家庭有两个孩子=（男，男），（男，女），（女，（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）男），（女，女）A=A=老大为男），老大为男），B=B=一男一女一男一女，C=C=老大为女老大为女（验证注（验证注3 30 0）定义定义4 4.设设A A1 1,A,A2 2,A,An n是是n n个事个事件，若对所有的组合件，若对所有的组合1 1 ijk ijk n n成成立着立着P(AP(Ai iA Aj j)=)=P(AP(Ai i)P(A)P(Aj j)P(AP(Ai iA Aj jA Ak k)=)=P(AP(Ai i)P(A)P(Aj j)P(A)P(Ak k)P(AP(A1 1A A2 2AAn n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(AP(An n)则称则称A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立相互独立。定理定理3 3.设设n n个事件个事件A A1 1，A A2 2 ，A An n相相互独立，那么把其中任意互独立，那么把其中任意m(1m(1 m m n)n)个事个事件相应换成它们的对立事件，则所得件相应换成它们的对立事件，则所得n n个事个事件仍然相互独立。件仍然相互独立。二、独立性的性质二、独立性的性质特别地，若特别地，若A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立，则相互独立，则若若A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立，则相互独立，则因此有因此有三、独立性的应用三、独立性的应用1.1.相互独立事件至少发生其一的概率计算相互独立事件至少发生其一的概率计算例例7.假若每个人血清中含有肝炎病假若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为毒的概率为.，混合个人的，混合个人的血清求此血清中含有肝炎病毒的概率血清求此血清中含有肝炎病毒的概率.例例.张、王、赵三同学各自独立张、王、赵三同学各自独立地去解一道数学题，他们解出题的概率为地去解一道数学题，他们解出题的概率为1/51/5，1/31/3，1/41/4，试求，试求（1 1）恰有一人解出的概率；）恰有一人解出的概率；（2 2）难题被解出的概率。）难题被解出的概率。2.在可靠性理论中的应用在可靠性理论中的应用 所谓元件或系统的所谓元件或系统的可靠度可靠度，通常是指在某一，通常是指在某一时间区间内元件或系统无故障（正常工作）的概率。时间区间内元件或系统无故障（正常工作）的概率。例例9.如果构成系统的每个元件的可靠度均为如果构成系统的每个元件的可靠度均为r，0r1，且各元件能否正常工作是相互独立的，用，且各元件能否正常工作是相互独立的，用2n个元件构成个元件构成一个系统一个系统.试求下面两种系统的可靠度试求下面两种系统的可靠度：第一种第一种:先串联后并联；先串联后并联；第一种第一种:先并联后串联。先并联后串联。12n12n1122nn图图1 1图图2 21.7 贝努里概型贝努里概型 （一）（一）贝努里概型贝努里概型 1.1.贝努里试验贝努里试验事件域取为事件域取为F=F=，A,A,并称出现并称出现A A为为“成成功功”，出现，出现 为为“失败失败”这种只有两种可能结这种只有两种可能结果的试验称为贝努里试验。果的试验称为贝努里试验。P(A)=p,P()=q P(A)=p,P()=q 显然有显然有p p 0,p+q=10,p+q=1 重复进行重复进行n n次独立的贝努里试验次独立的贝努里试验,在每次在每次试验中事件试验中事件A A、事件事件 的概率保持不变的概率保持不变,这这种试验称为种试验称为n n重重贝努里试验，记作贝努里试验，记作E En n.2.n重重贝努里试验贝努里试验若只进行一次贝努里试验，则或是事件若只进行一次贝努里试验，则或是事件A A出现，或是事件出现，或是事件 出现，记概率出现，记概率 （二）（二）贝努里概型中一些常见的分布贝努里概型中一些常见的分布其中其中0 p 1,p+q=1，概率概率(1)称为称为贝努里分布贝努里分布。(1)1.贝努里分布贝努里分布 例例1.1.投一枚均匀硬币就是这种分布的投一枚均匀硬币就是这种分布的典型代表典型代表.n n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A A出现出现k k次的概率称次的概率称为为二项分布二项分布，记为，记为P Pn n(k(k)或或b(k;n,p)b(k;n,p)，其中其中p p为事件为事件A A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率,p+q=1.2.二项分布二项分布（2 2 2 2）在在n n重贝努里试验中，通常要求下列事件的概率：重贝努里试验中，通常要求下列事件的概率：（1 1）事件）事件A A发生的次数小于发生的次数小于k k次；（次；（(k)k)（3 3）事件）事件A A发生的次数至少为发生的次数至少为k k次；次；(k)k)（4 4）事件）事件A A发生的次数至多为发生的次数至多为k k次；（次；（k)k)例例2.2.在本章古典概型中，在本章古典概型中，N N件产品中有件产品中有M M件次品，有放回取件次品，有放回取n n件，问有件，问有k k件次品的概件次品的概率。率。例例3.3.投投n n次均匀的硬币，恰好出现次均匀的硬币，恰好出现k k次次正面的概率为正面的概率为 例例4.(p50,4.(p50,例例1.1.24)24)金车间有金车间有1010台同类台同类型的机床，每台机床配备的电功率为型的机床，每台机床配备的电功率为1010千瓦，千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动已知每台机床工作时，平均每小时实际开动1212分钟，且开动与否是相互独立的，现因当分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供地电力供紧张，供电部门只提供5050千瓦的电千瓦的电力给这力给这1010台机床。问这台机床。问这1010台机床能够正常工台机床能够正常工作的概率为多大？作的概率为多大？例例5.(p51,5.(p51,例例1.1.25)25)例例6.某彩票每周开奖一次，每次提供十某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票，尽管你坚持十立的。若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性周）之久，你从未中奖的可能性是多少？是多少？3 3.几何分布几何分布 在重复进行独立的贝努里试验时，事件在重复进行独立的贝努里试验时，事件“首次成功恰好出现在第首次成功恰好出现在第k k次试验次试验”的概率的概率称为称为几何分布几何分布，记为，记为k=1,2,k=1,2,（5)5)g(k;pg(k;p)为几何级数的一般项，因此为几何级数的一般项，因此(5)(5)式式称为称为几何分布几何分布。或或 例例7.某人有一串某人有一串m把外形相同的钥匙，把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，有一天他随机其中只有一把能打开家门，有一天他随机选取一把钥匙开门，即在每次开时每一把选取一把钥匙开门，即在每次开时每一把钥匙都以概率钥匙都以概率1/m被使用。这人在第被使用。这人在第k次才次才把门打开的概率是多少？把门打开的概率是多少？4 4.帕斯卡分布帕斯卡分布 相继的贝努里试验中，事件相继的贝努里试验中，事件“第第r r次次成功发生在第成功发生在第k k次试验次试验”的概率称为帕斯的概率称为帕斯卡分布，记为卡分布，记为f(k;r,p).f(k;r,p).设设C Ck k=第第r r次成功发生在第次成功发生在第k k次试验次试验,即即k k=r,r+1,(6)=r,r+1,(6)例例5 5.某数学家有两盒火柴，每盒某数学家有两盒火柴，每盒都有都有n n根火柴，每次用火柴时他在两盒根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有一盒时另一盒中还有r(0r(0 r r n n)根火柴根火柴的概率。的概率。成功之前成功之前”或或“第第n n次成功发生在第次成功发生在第2 2n-rn-r次试验次试验”，为，为解：数学家用完一盒时，另一盒还有解：数学家用完一盒时，另一盒还有r(r可能为可能为0,1,n)根火柴。设从第一盒中选取为根火柴。设从第一盒中选取为“成功成功”，“当第一盒中火柴用完时，第二盒中还有当第一盒中火柴用完时，第二盒中还有r根火柴根火柴”这件事，等价于这件事，等价于“恰有恰有n-r次失败发生在第次失败发生在第n次次帕巴斯卡分布帕巴斯卡分布小结：小结：二、二、1 1古典概型及几个典型问题古典概型及几个典型问题(1).(1).摸球问题；摸球问题；(2).(2).抽样问题抽样问题 ；(3).(3).彩票问题；彩票问题；(4).(4).分房问题（生日问题）分房问题（生日问题）;(3).;(3).随机取数问题随机取数问题.一、一、1.随机现象、随机试验随机现象、随机试验2.随机事件随机事件A、样本空间样本空间 3.事件间的关系及运算、运算法则事件间的关系及运算、运算法则2 2.统计概率统计概率 概率与频率的关系概率与频率的关系三、概率的公理化定义及性质三、概率的公理化定义及性质 事件域事件域F;F;可测空间可测空间(,F)F)；概率空间概率空间(,F,P);F,P);概率的性质概率的性质3.几何概型及几个典型问题几何概型及几个典型问题 约会问题；投针问题（蒲丰问题）约会问题；投针问题（蒲丰问题）1 1.条件概率条件概率四、条件概率四、条件概率2.2.乘法公式乘法公式3 3.全概率公式全概率公式4 4.贝叶斯公式贝叶斯公式五、独立性五、独立性1.事件的独立性事件的独立性2.试验的独立性试验的独立性(1).(1).贝努里分布贝努里分布3、几个常见的分布几个常见的分布(2).二项式分布二项式分布(3).几何分布几何分布(4).帕斯卡分布帕斯卡分布(4)(4)可重复组合可重复组合 从从n个不同的元素里，每次取出个不同的元素里，每次取出m个元素，元素可以个元素，元素可以重复选取，不管怎样的顺序并组成一组，叫做从重复选取，不管怎样的顺序并组成一组，叫做从n个元素里每次取出个元素里每次取出m个元素的个元素的可重复组合可重复组合。其组合。其组合种数记为种数记为 解法（一）：解法（一）：把把n n个不同的元素编号为个不同的元素编号为1 1，2 2，n,n,再把再把重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上上 0,1,2,m-1,0,1,2,m-1,则这一组数就变成了从则这一组数就变成了从1,2,n+m-1 1,2,n+m-1 共共n+m-1n+m-1个数中，取出个数中，取出m m个数的不重复个数的不重复组合中的一组，这种运算构成两者之间的一一对应。组合中的一组，这种运算构成两者之间的一一对应。解法二：解法二：取出的取出的m m个数中间可设个数中间可设m-1m-1个间壁，当取出的个间壁，当取出的m m个数全部相同时，可以看成中间没有间壁，故间个数全部相同时，可以看成中间没有间壁，故间壁有壁有 种取法，这时只须取一个数字，有种取法，这时只须取一个数字，有 种取法，可得有利事件的个数为种取法，可得有利事件的个数为 ；当；当m m个个数由两样数构成时，看成间壁数为数由两样数构成时，看成间壁数为1 1，分成左右两，分成左右两段，分别由小大两个数填上，而间壁的位置有段，分别由小大两个数填上，而间壁的位置有 种取法，数字有种取法，数字有 种取法，有利事件的个数有种取法，有利事件的个数有 ；当当m m个数由三样数构成时，可得有利事件数为个数由三样数构成时，可得有利事件数为 ，。最后，当。最后，当m m个数均为不同数字时，有个数均为不同数字时，有 m-1m-1个间壁，个间壁，有有 种取法；数字有种取法；数字有 种取法，这时有利种取法，这时有利事件的个数有事件的个数有 所以共有有利事件数为：所以共有有利事件数为：