材料力学——平面图形的几何性质1课件

平面图形的几何性质oyz1 静矩和形心静矩和形心一、一、静矩静矩dA yz微元对微元对 z,y 轴的静矩为轴的静矩为：静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零。平面图形面积与某一轴的一次矩平面图形面积与某一轴的一次矩，图形对图形对 z,y 轴的静矩为轴的静矩为：oyz1 静矩和形心一、静矩dA yz微元对 z,yzo dA yz二、截面形心二、截面形心 C 的坐标的坐标均质薄板的重心与平面均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐图形的形心有相同的坐标。标。ycyzo dA yz二、截面形心 C 的坐标均质薄板的重心与平截面对形心轴的静矩截面对形心轴的静矩若截面对某一轴的静矩等于零，若截面对某一轴的静矩等于零，三、已知形心求静矩三、已知形心求静矩yzoyc则该轴必过形心。则该轴必过形心。等于零。等于零。截面对形心轴的静矩若截面对某一轴的静矩等于零，三、已知形心求四四、组合截面形心计算组合截面形心计算截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和；截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和；截面对某一轴的静矩：截面对某一轴的静矩：由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面 四、组合截面形心计算截面各组成部分对于同一轴的静矩1 组合截面静矩的计算公式组合截面静矩的计算公式2 组合截面形心坐标的公式组合截面形心坐标的公式1 组合截面静矩的计算公式2 组合截面形心坐标的公式例例1:已知：截面尺寸如图。求：已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。该截面的形心位置。例1:已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。2010020例例2：求图示图形的形心：求图示图形的形心100oyx2010020例2：求图示图形的形心100oyx例例3：求图示图形的形心：求图示图形的形心202002001010A1A2A3xy例3：求图示图形的形心202002001010A1A2A3x例题4：求图示平面图形的形心.5m5m15m15m20m例题4：求图示平面图形的形心.5m5m15m15m20mzy2 惯性矩惯性矩 惯性半径惯性半径一、极惯性矩一、极惯性矩微元对坐标原点的极惯性矩图形对坐标原点的极惯性矩dAzy2 惯性矩 惯性半径一、极惯性矩微元对坐标原点的极zy二、惯性矩二、惯性矩1 微元对z轴的惯性矩2 图形对z轴的惯性矩平面图形对某一轴的二次矩 长度的四次方，总为正 yzdAzy二、惯性矩1 微元对z轴的惯性矩2 图形对z轴的惯性矩zy3 极惯性矩与惯性矩之间的关系极惯性矩与惯性矩之间的关系图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。yzdAzy3 极惯性矩与惯性矩之间的关系图形对任意两个互相垂直轴的4 几种常见截面对本身形心轴的惯性矩几种常见截面对本身形心轴的惯性矩zybhydyc(1)、矩形截面4 几种常见截面对本身形心轴的惯性矩zybhydyc(1)、(2)、实心圆形截面zyd(2)、实心圆形截面zydbhbh二、二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩(3)、空心圆截面dDzy(3)、空心圆截面dDzy三、惯性半径三、惯性半径惯性半径惯性半径（单位：（单位：）zyyzdA三、惯性半径惯性半径（单位：）zy惯性积则可能为正值，负值，惯性积则可能为正值，负值，惯性积则可能为正值，负值，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。也可能等于零。也可能等于零。也可能等于零。图形对图形对y、z两轴的惯性积两轴的惯性积微元对微元对 x,y 轴的惯性积为轴的惯性积为3 惯性积惯性积zyyzdA惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。图形对y、z两轴的惯图形图形图形图形的对称轴，的对称轴，的对称轴，的对称轴，若若若若坐标轴中有一个为坐标轴中有一个为坐标轴中有一个为坐标轴中有一个为则图形对则图形对则图形对则图形对 该对坐标轴该对坐标轴该对坐标轴该对坐标轴 惯性积一定等于零惯性积一定等于零惯性积一定等于零惯性积一定等于零在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？yz图形的对称轴，若坐标轴中有一个为则图形对 该对坐标轴惯性积一若若则该对坐标轴称为则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，对称轴一定是主轴，主轴主轴主轴不一定是对称轴主轴不一定是对称轴zy若则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴主对形心主惯性轴的矩。主惯性轴：主惯性轴：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零;主惯性矩：主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴：形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴。形心主惯性矩：形心主惯性矩：几个常用概念几个常用概念对形心主惯性轴的矩。主惯性轴：图形对一对正交的坐标轴的惯性积4 平行移轴公式平行移轴公式（a,b)：形心形心C 坐标坐标一、平行移轴公式一、平行移轴公式 zyzcycdAbayczcCyz4 平行移轴公式（a,b)：形心C 坐标一、zyzcycdAbayczcCyz同理得到：惯性积zyzcycdAbayczcCyz同理得到：惯性积平行移轴公式平行移轴公式 1 1 两平行轴中，必须有一轴为两平行轴中，必须有一轴为形心轴形心轴2 2 图形对所有平行轴的惯性矩中图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小以对通过形心轴的惯性矩最小.注意：注意：zyzcycdAbayczcCyz平行移轴公式 1 两平行轴中，必须有一轴为形心轴2 图形对二、二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积二、组合截面的惯性矩 惯性积20cm3173例例1：T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯矩。求其对形心轴的惯矩。(1)求形心求形心zyC任选参考坐标系任选参考坐标系,20cm3173例1：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。(1)(2)求求20cm3173zyCIII(2)求20cm3173zyCIII练习练习 求求T形截面对其水平形心轴形截面对其水平形心轴 的惯性矩。的惯性矩。2014010020练习 求T形截面对其水平形心轴 的惯性矩。2014010一一、转轴公式转轴公式 逆時针转取为逆時针转取为+号，号，5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴 zyyz1dAy1z1yz一、转轴公式 逆時针转取为+号，5 转轴同理同理改写为改写为同理改写为并且并且并且求求 惯性矩的极值惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标轴yo和 zo0 0+的方位上惯性积Iy1z1=0 该对坐标轴是图形的主轴该对坐标轴是图形的主轴惯性矩的极值方位就是主轴方位惯性矩的极值方位就是主轴方位求 惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标图形对主轴图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩几个结论几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；2 在过同一点的所有正交轴中，在过同一点的所有正交轴中，图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩另一个为最小值；另一个为最小值；一个为最大值，一个为最大值，3 此公式适用于水平轴为此公式适用于水平轴为y轴轴几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常 1 确定形心确定形心 的位置的位置2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴标轴 yc，zc,求形心主惯性矩的步骤求形心主惯性矩的步骤计算图形对形心轴的惯性矩计算图形对形心轴的惯性矩 Iy ,Iz 和惯性积和惯性积 Iyz 3 确定主惯性轴的位置确定主惯性轴的位置0 0+1 确定形心 的位置2 选择一对通过形心且便于4 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩5 方位与方位与形心主惯性矩的对应关系形心主惯性矩的对应关系如果0 0+中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值4 计算形心主惯性矩5 方位与形心主惯性矩的对应确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩7070160111111确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩707016011（1）首先确定图形的形心。(2)利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积 矩形I7070160111111yz（1）首先确定图形的形心。(2)利用平行移轴公式分别求出矩形：矩形：7070160111111yz矩形：矩形：7070160111111yz整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为（3）形心主轴方位逆时针旋转7070160111111yzy1z1整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为（3）形心主轴方位逆时针旋（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置7070160111111yzy1z1（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置7 20 c10101207080例例 计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。yz 20 c10101207080例 计算所示图形的形心主 20 c10101207080yz 20 c10101207080yz形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主轴的位置形心主轴的位置逆时针转逆时针转 113.80对应主惯性矩的最大值形心主惯形矩为形心主轴的位置逆时针转 113.80对应主惯性1、正交坐标轴、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：件是：。A：IYZ0；B：SYSZ0；C：SYSZ0，IYZ0；D：IYIZ0，IYZ01、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：2、图示中圆截面的直径为、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿，当其圆心沿X轴向右移轴向右移d/2时，时，该图形对该图形对Y轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，静矩为：，静矩为：。XY Y2、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿X轴向右移d/2时，该3、在、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对对Z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 。2a4aZa3、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对Z4、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。求、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。求该图形对形心主轴的惯性矩该图形对形心主轴的惯性矩IY，IZ。ZY Y4、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。求该图形对形5 试求图示各截面的阴影线面积对试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。轴的静矩。5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。6 试确定图示各截面的形心位置。试确定图示各截面的形心位置。6 试确定图示各截面的形心位置。7、在直径、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩心轴的惯性矩Ix和和Iy。7、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截8 求图示截面的惯性积。求图示截面的惯性积。8 求图示截面的惯性积。9 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主惯性矩的大小。试比较其形心主惯性矩的大小。9 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。心主惯性矩。10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。