材力第四章课件

4-74-7平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力4-54-5载荷集度载荷集度、剪力和弯矩的关系剪力和弯矩的关系4-64-6用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图4-14-1平面弯曲的概念和应力平面弯曲的概念和应力4-24-2梁的支座及载荷的简化梁的支座及载荷的简化4-34-3平面弯曲时梁横截面上的内力平面弯曲时梁横截面上的内力4-44-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图4-14-1平面弯曲的概念和实例平面弯曲的概念和实例一、什么叫平面弯曲？一、什么叫平面弯曲？F F返回返回F FF F返回返回弯曲变形弯曲变形:杆的轴线的曲率发生变化杆的轴线的曲率发生变化,相邻两横截面之间产生垂相邻两横截面之间产生垂 直轴线的相对转动直轴线的相对转动.返回返回平面弯曲平面弯曲:变形前后变形前后杆的轴线位于同一平面内杆的轴线位于同一平面内梁梁:以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件返回返回 载荷均作用在纵向对称面内（包括约束载荷均作用在纵向对称面内（包括约束 及支反力及支反力）则则：变形前后梁的轴线必位于同一平面变形前后梁的轴线必位于同一平面（对称平面）内，也称为对称弯曲（对称平面）内，也称为对称弯曲二二.产生平面弯曲的充分条件产生平面弯曲的充分条件若若：截面有纵向对称轴：截面有纵向对称轴,梁有纵向对称面梁有纵向对称面返回返回 当梁的截面，载荷不满足以上充分当梁的截面，载荷不满足以上充分条件，又要其产生平面弯曲，则必须附加条件，又要其产生平面弯曲，则必须附加必要的条件才能产生平面弯曲，这将在后必要的条件才能产生平面弯曲，这将在后面讨论面讨论 本章仅讨论弯曲内力问题本章仅讨论弯曲内力问题。说明说明返回返回4-2 4-2 梁的支座及载荷的简化梁的支座及载荷的简化1 1 固定铰支座固定铰支座一 支座的基本形式支座的基本形式返回返回2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。3 3 固定端支座固定端支座2 2 可动铰支座可动铰支座1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等二二 载荷形式载荷形式1 集中力集中力 F(N)F(N)M(NM(Nm)m)2 集中力偶集中力偶 集中力集中力FM 集中力偶集中力偶(1)均匀分布均匀分布3 分布力分布力(2)(2)线性分布线性分布(3)(3)非线性分布非线性分布三三 静定梁的基本形式静定梁的基本形式弯曲变形的主要研究对象为弯曲变形的主要研究对象为直梁，此外工程中还有折梁（刚直梁，此外工程中还有折梁（刚架），曲梁和组合梁。架），曲梁和组合梁。（1）简支梁）简支梁（2）外伸梁）外伸梁（3）悬臂梁）悬臂梁4、3 平面弯曲时梁横截面上的内力平面弯曲时梁横截面上的内力 一一 求内力的方法求内力的方法截面法截面法静定梁在外力作用下，求任意静定梁在外力作用下，求任意横截面上的内力。横截面上的内力。首先求支反力（必须校核），保证首先求支反力（必须校核），保证其大小、方向都是正确的。其大小、方向都是正确的。然后按截面法（切、取、代、平）求内力然后按截面法（切、取、代、平）求内力返回返回F FAyAyF FAyAy-F-F-F-FQn-nQn-n=0=0M Mn-nn-n+F(x-a)-F+F(x-a)-FAyAyx x=0=0 求求n-n截面内力截面内力设支反力已求出设支反力已求出F FQn-nQn-n=F FAyAy-F-FM Mn-nn-n=F FAyAyx-F(x-ax-F(x-a)Y YF FMeq qO OX Xn nn na ax xA AB B依截面法依截面法返回返回FQ 剪力剪力M 弯矩弯矩X XF Fa aF FAyAyY Yx xF FQn-nQn-nM Mn-nn-nc c剪力FQ:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。FQ(+)FQ()FQ()FQ(+)M(+)M(+)M()M()二、内力的正负规定:已知已知:Me、F、q、L解解:求支反力求支反力在在D D截面切开，截面切开，取右段梁求内力取右段梁求内力qL/2qL/2qLqL返回返回求求:D截面内力截面内力例例4.1q qM Me e=qL=qL2 2/8/8F=F=qLqLL/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4E EA AB BC CD D结果为正说结果为正说明方向设对；明方向设对；若为负说明方向设错。若为负说明方向设错。为了不发生符号的混为了不发生符号的混乱，仍采取正向假定乱，仍采取正向假定内力的方法。内力的方法。F FQDQDM MD DB BD Dq qM Me e=qL=qL2 2/8/8F=F=qLqLL/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4E EA AB BC CD D返回返回1.求支反力求支反力F Fy yO Ox xA AB Ba ab bF FA Ay y F FB By y求内力求内力4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图M M1 1F FQ1Q1M M2 2F FQ2Q2F FAyAyx x1 1-M M1 1=0=0M M1 1=F=FAyAyx x1 1 F FQ1Q1=F FAyAyF FAyAy-F-FQ1Q1=0=0F FByBy+F+FQ2Q2=0=0F FQ2Q2=-=-F FByByF FByByx x2 2-M-M2 2=0=0M M2 2=F=FByByx x2 2F FAyAyF FByByF Fy yO Ox xx x1 1A AB Ba ab bx x2 2返回返回2.截面法求内力截面法求内力F FAyAyC C1 1F FByByC C2 2列写列写F FQQM M方程的简便方法方程的简便方法:一一 在正确的支反力前提下在正确的支反力前提下二二 依符号规定采取正向假定内力的方法依符号规定采取正向假定内力的方法三三 根据外力对内力的效应直接列写根据外力对内力的效应直接列写F FQQM M方程方程1 1 F FQ Q(x)=?(x)=?左起列方程左起列方程:向上的力产生正的向上的力产生正的F FQ Q 向下的力产生负的向下的力产生负的F FQ Q 右起反之右起反之!2 2 M(x)=?M(x)=?不论从哪边起不论从哪边起,向上的力产生正的向上的力产生正的M M 向下的力产生负的向下的力产生负的M M剪力图剪力图弯矩图弯矩图方程用图形表示方程用图形表示FQ=FQ(x)M=M(x)返回返回结构图结构图F FQ Qx xM Mx x例例4 4 2 2列出图示梁的列出图示梁的F FQ Q,M,M方程方程,并作并作F FQ Q,M,M图。图。解：解：(1)(1)求支反力求支反力（2 2）列）列F FQ Q,M,M方程方程（3 3）作）作F FQ Q，M M图；内力方程描点图；内力方程描点。F FQ QM M返回返回b ba aA AB Bx x1 1x x2 2F FL L例例4 4 3 3 列内力方程列内力方程,作作F FQQM M图图M Me e/(a+b)/(a+b)M Me eb/(a+bb/(a+b)M Me ea/(a+b)a/(a+b)F FQ QM M解解:求支反力求支反力,大大小小 方向如图方向如图列列F FQ Q M M方程方程F FQ1Q1=-M=-Me e/(a+b)/(a+b)F FQ2Q2=-M=-Me e/(a+b)/(a+b)M M1 1=-M=-Me ex x1 1/(a+b)/(a+b)M M2 2=M=Me ex x2 2/(a+b/(a+b)作作F FQQM M图图M Me e/(a+b)/(a+b)M Me e/(a+b)/(a+b)校核支反力！校核支反力！返回返回a ab bM Me ex x1 1x x2 2例例4 4 4 4列图示内力方程列图示内力方程,作作F FQQM M图图解解:求支反力求支反力,大大 小小 方向如图方向如图列列F FQQM M方程方程F FQ Q(x)=qL/2-qx(x)=qL/2-qxM(x)=qLx/2-qxM(x)=qLx/2-qx2 2/2/2作作F FQQM M图图F FQ Q返回返回M M8qL)2L(M2=qx2qL)x(M-=L Lq qB BA Ax x2Lx,0M=令令L/2L/2qL/2qL/2qL/2qL/2qL/2qL/2qL/2qL/2v集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小。中力的大小。v在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。线，弯矩图为一斜直线。v在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值最大值发生于发生于FQ=0处。处。v在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小。变值为该集中力偶的大小。总结4-5 4-5 载荷集度载荷集度 剪力和弯矩的关系剪力和弯矩的关系q(x)q(x)向上为正向上为正dxdxF FQ Q(x)+dF(x)+dFQ Q(x(x)M(x)+dM(xM(x)+dM(x)M(x)M(x)F FQ Q(x)(x)q(x)q(x)OdFdFQ Q(x)/dx(x)/dx=q(x)=q(x)dM(x)/dxdM(x)/dx=F=FQ Q(x)(x)d d2 2M(x)/dxM(x)/dx2 2=q(x)=q(x)经积分得经积分得dxdxF FQ Q(x)+dF(x)+dFQ Q(x(x)M(x)+dM(xM(x)+dM(x)M(x)M(x)F FQ Q(x)(x)q(x)q(x)O利用利用q(x)q(x)F FQ Q(x)(x)M(x)M(x)之间的微之间的微 积分关积分关系可以帮助绘制系可以帮助绘制 校核校核F FQQM M图。利用归纳图。利用归纳的的q q F F M Me e作用下作用下F FQQM M图的特征找出绘制图的特征找出绘制F FQQM M图的简便方法。图的简便方法。梁微段的平衡方程式梁微段的平衡方程式注意：导数关系与坐标选取有关，若注意：导数关系与坐标选取有关，若F FQ Q以向上为正以向上为正 dFdFQ Q/dx/dx=-q=-qdM/dxdM/dx=-F=-FQ Q d d2 2M/dxM/dx2 2=q=qq q F FQQM M式的力学意义式的力学意义Y Yx xo oF FQQM M曲线的斜率，曲线的斜率，M M曲线的凹凸性曲线的凹凸性几何意义几何意义内力图规律外力情况荷载图剪力图弯矩图无外荷载均布荷载内力图规律外力情况荷载图剪力图弯矩图集中力集中力偶一一 在正确的支反力前提下。在正确的支反力前提下。二二 依依F FQQM M符号规定，采取正向假定内力符号规定，采取正向假定内力 的方法。的方法。三三 有集中力有集中力F F作用处，作用处，F FQ Q图有突变，图有突变，突变值突变值=集中力数值；集中力数值；有集中力偶有集中力偶M Me e作用处，作用处，M M图有突变，图有突变，突变值突变值=集中力偶数值集中力偶数值四四 根据根据q q F FQQM M间的微分关系定图形。间的微分关系定图形。绘制绘制F FQQM M图的简便方法图的简便方法 F FQ Q=a=a1 1+b+b1 1x xM M为为x x的的二次函数二次函数F FQ Q0 F00F FQ Q0 F0 FQ Q000F FQ Q00q0q0q00F FQ Q00七七 内力图封闭内力图封闭面积增量法面积增量法两截面间内力的变化量两截面间内力的变化量=上图对应的面积上图对应的面积qL/2qL/2qL/2qL/2qLqLF FQ Qx xM Mx x3qL3qL2 2/8/8qLqL2 2/8/8qL/2qL/2qLqLqLqLqLqL2 2/8/8q qL/4L/4L/4L/4L/2L/2qLqL2 2/4/4F FQ Q2qa2qa3qa3qaqaqaM M2qa2qa2 22qa2qa2 2qaqa5qa5qa2qa2qa2 22qa2qaq qa a2 2a aa a例例4.5 4.5 作作F FQQM M图图例4.6（2009年考研题）画图示梁的剪力图和弯矩图，已知q,l,Me=ql24.7（2008年考研题）画图示梁得剪力图和弯矩图，已知：L、q、例例4.94.9作作F FQ Q,M,M图图F FQ Q/kNkNX(m)X(m)X(m)X(m)M/M/kNkN m m5 5 3 3 1 13 37 7 2 2 6 67kN7kN5kN5kN2kN2kN10kN10kN m m1kN/m1kN/m3m3m4m4m4m4m4m4m2kN2kN解解:求求支反力支反力(大小大小 方方向如图向如图)20 20.520 20.5 16166 64.104.10试作试作图示图示结构结构剪力剪力图和图和弯曲弯曲图图几种简单直梁的几种简单直梁的M图图FlMeFlMelql几种简单直梁的几种简单直梁的M图图lMeMelqF几种简单直梁的几种简单直梁的M图图MelalaFlaqMeFa工程中某些结构的轴线是由几段直线组成的工程中某些结构的轴线是由几段直线组成的折线，这种结构的每两组成部分用刚节点联折线，这种结构的每两组成部分用刚节点联接。接。刚节点刚节点-刚性接头处，相连杆件间的夹角在刚性接头处，相连杆件间的夹角在受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还能传递力矩。能传递力矩。刚架刚架-杆系在联接处用刚节点联接起来的结杆系在联接处用刚节点联接起来的结构。构。平面刚架平面刚架-刚架的各杆系位于同一平面内。刚架的各杆系位于同一平面内。平面刚架的内力及内力图平面刚架的内力及内力图平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要分别选取坐标（可用旋转坐标）。刚架的内分别选取坐标（可用旋转坐标）。刚架的内力不仅有力不仅有F FQQM M，可能还有可能还有F FN N。解解:1:1 求支反力（大小求支反力（大小 方方向如图向如图)qa/2qa/2qaqx x2 2x x1 1例例4.11 4.11 列出平面刚架列出平面刚架的内力方程的内力方程,并作内力图并作内力图 2 2 分段建立内力方程（刚节点处分段建立内力方程（刚节点处 集中集中力力 集中力偶作用处及分布载荷不连续处均集中力偶作用处及分布载荷不连续处均需分段）需分段）F FN1N1=0 F=0 FQ1Q1=-qa/2 M=-qa/2 M1 1=qax=qax1 1/2/2 F FN2N2=qa/2 F=qa/2 FQ2Q2=qx=qx2 2 M M2 2=qa=qa2 2/2-qx/2-qx2 22 2/2/23 3 作作F FQQM M N N图（图（M M图画在杆件受压侧即图画在杆件受压侧即和直梁的规定一样和直梁的规定一样）qaqaqa/2qa/2-F FQ Q图图 M M图图F FN N图图qa/2qa/2x x2 2x x1 1q qqa/2qa/2qaqaqa/2qa/2F FN1N1=0 F=0 FQ1Q1=-qa/2 M=-qa/2 M1 1=qax=qax1 1/2/2 F FN2N2=qa/2 F=qa/2 FQ2Q2=qx=qx2 2 M M2 2=qa=qa2 2/2-qx/2-qx2 22 2/2/2注意注意对平面刚架刚节点处能够传递力矩，当该对平面刚架刚节点处能够传递力矩，当该处无外力偶作用时，截面两侧的弯矩值应处无外力偶作用时，截面两侧的弯矩值应相等。相等。叠加原理：叠加原理：由几个载荷共同作用下所引起的由几个载荷共同作用下所引起的 某一某一物理量（内力，应力，应变或形等），等于每一个物理量（内力，应力，应变或形等），等于每一个载荷（主动）单独作用下所引起的该物理量的叠加载荷（主动）单独作用下所引起的该物理量的叠加（代数和）（代数和）应用条件应用条件：所求物理量（内力，应力，应变或形等）所求物理量（内力，应力，应变或形等）必须是载荷必须是载荷 的线性齐次式当的线性齐次式当P P（P P)小变形，小变形，即线弹性结构下，即线弹性结构下，内力，应力，应变，均与载荷内力，应力，应变，均与载荷 为线性关系，即满足叠原理为线性关系，即满足叠原理 应用叠加法可简化计算要求对简单载荷作用下应用叠加法可简化计算要求对简单载荷作用下的物理量较熟的物理量较熟 4-6 4-6 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图先分别画出每一载荷单独作用时梁的先分别画出每一载荷单独作用时梁的弯矩图，然后将同一截面相应的各纵弯矩图，然后将同一截面相应的各纵坐标代数叠加，即得到梁在所有载荷坐标代数叠加，即得到梁在所有载荷共同作用时的弯矩图共同作用时的弯矩图方法：方法：A AC CB BL/2L/2L/2L/2F=F=qLqLq qb bb bA AC CB BL/2L/2L/2L/2F=F=qLqLA AB BL Lq q=+q q=+F Fqaqa2 2qaqa2 2qaqa2 2/2/2qaqa2 2/2/2q qaaaF=F=qaqaFaFaMMeMMqqa2/2MMeqa2Mqa2/2qa2Fa/2MF2aaMe=qa2q qMe=FaaaaF平面曲杆平面曲杆轴线是一平面曲线轴线是一平面曲线小曲率杆小曲率杆为曲率很小时，对小曲率的平为曲率很小时，对小曲率的平 面曲杆，其内力的计算仍采用直面曲杆，其内力的计算仍采用直 梁的方法梁的方法截面法：任意截面切开，设内力截面法：任意截面切开，设内力F FN N,F,FQ Q,M ,M 根据平衡方程即可列出内力方程根据平衡方程即可列出内力方程 内力符号规定：内力符号规定：F FN N,F,FQ Q 同前同前,M M使轴线曲率增加为正使轴线曲率增加为正4-74-7平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力M M图图FRFRF FN N()=)=FsinFsin,F FQ Q()=-)=-FcosFcos,M(M()=-)=-FRsinFRsin m mm mR RF Fm mm mM MF FQ QF FN NF F对于曲杆，因轴线本身就为曲线，对于曲杆，因轴线本身就为曲线，内力又在曲线上曲线分布，画内内力又在曲线上曲线分布，画内力图的意义不大这里略力图的意义不大这里略 M曲线的凸凹性仍由曲线的凸凹性仍由q的正的正负定负定讨论几种特殊情况下梁的内力：讨论几种特殊情况下梁的内力：q是是 的一次函数的一次函数斜直线斜直线FQ是是 的的 二次函数二次函数二抛物线二抛物线FQ曲线的凸凹性可曲线的凸凹性可由由d2FQ/dx2=dq(x)/dx定定q=0处处FQ有极值有极值ql/61当分布载荷为当分布载荷为 线性函数线性函数M是是 的的 三次函数三次函数三抛物线三抛物线lq3FQl/MMFQql2、梁上受无冲击的移动载荷梁上受无冲击的移动载荷作用此时梁内的内力是载荷作用此时梁内的内力是载荷位置的函数位置的函数因梁因梁 的支反力要随载荷的支反力要随载荷 的位的位置而变置而变FQMx x讨论：讨论：两端支座的支反力即两端支座的支反力即为段的剪力。讨论支反力的为段的剪力。讨论支反力的极值即可确定最大剪力极值即可确定最大剪力力作力作用点总为极值弯矩列出用点总为极值弯矩列出 作用点作用点的弯矩值再找其极值即为最大弯矩的弯矩值再找其极值即为最大弯矩3、带有中间铰的组合梁、带有中间铰的组合梁具有中间铰的组合梁由具有中间铰的组合梁由两部分组成：两部分组成：主梁（母梁）主梁（母梁）可独立存在可独立存在辅梁（子梁）辅梁（子梁）不能独立存在不能独立存在中间铰的特点：中间铰的特点：只传只传力力,不不传递力偶传递力偶求解方法求解方法拆！拆！从中间铰处拆开，设出相互作用力先根据从中间铰处拆开，设出相互作用力先根据子梁上的平衡求出反力，再以大小相等方子梁上的平衡求出反力，再以大小相等方向相反的力加到母梁上，两向相反的力加到母梁上，两 个梁就成为独个梁就成为独立的梁，如同前面的问题立的梁，如同前面的问题1 母梁上的载荷不能传到子梁上，母梁上的载荷不能传到子梁上，FFaa2aFM MFaFa注意FQF/2F/2F/2F而子梁上的载荷必须传到而子梁上的载荷必须传到母梁母梁Fa/2FaMFQF/2F/2Faa2a2 2。若中间铰左若中间铰左上上右侧作用有集中力，右侧作用有集中力，放在哪边来求解都可放在哪边来求解都可FQFMFa(a)图图F F作用于中间铰上作用于中间铰上(b)b)图将图将F F置于子梁上置于子梁上(C)C)图将图将F F置于母梁上置于母梁上FABCaa(a)FFF(b)(C)F可见结果是一样可见结果是一样3、但若有集中力偶作用，必须标明是但若有集中力偶作用，必须标明是在中间铰的左侧还是右侧，不可能作用在中间铰的左侧还是右侧，不可能作用在铰上！在铰上！MeaaMeFQMMeMeaaMeMeMeFQM我侬词我侬词你侬我侬，忒煞情多；情多处，热如火；把一块泥，捻一个你，塑一个我，将咱两个一齐打碎，用水调和；再捻一个你，再塑一个我。我泥中有你，你泥中有我；我与你生同一个衾，死同一个椁。也可叫做也可叫做“夫妻梁夫妻梁”，有词为证有词为证(2000年考研题)作内力图Mqa2/2qa2/2qa2/2例例作弯矩图作弯矩图qa/4qaACaaB Bq qAqa2a2a2a2aa aA AB BC CF Fx x2 2x x1 1M MFaFaF FByBy=F FF FAyAy=