数值计算方法第06章课件

第六章第六章函数逼近函数逼近如果已知函数如果已知函数f(x)在若干点在若干点xi(i=1,2,=1,2,n)处处的值的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样的近似。在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况：节点上的函数值并不是很精确的，这些函一种情况：节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点过所有的点(xi,yi),),就会使曲线保留着一切测试误差。就会使曲线保留着一切测试误差。计算方法计算方法计算方法计算方法为此为此,我们希望从给定的数据我们希望从给定的数据(xi,yi)出发出发,构造一个近似构造一个近似函数函数 ,不要求函数不要求函数 完全通过所有的数据点，只完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图如图5-7所示。所示。图图5-7 5-7 曲线拟合示意图曲线拟合示意图 给定空间一组有序的控制点给定空间一组有序的控制点（controlpoint），），得到得到一条一条分段光滑的多项式曲线分段光滑的多项式曲线的方法的方法:(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)(xn,yn)插值插值拟合拟合曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点进行插值，得到的曲线称为进行插值，得到的曲线称为插值曲线插值曲线。构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对这些控制点进行逼近，得到的曲线称为这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近逼近(拟合拟合)曲线曲线。在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的都带有在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的都带有误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形之中就误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形之中就将这些点处的误差保留下来；将这些点处的误差保留下来；尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终近尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终近似效果产生较大影响（这正是高次插值产生似效果产生较大影响（这正是高次插值产生Runge现象的一现象的一个主要原因）；个主要原因）；此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼近效果差。近效果差。这些都促使我们考虑一种函数逼近的新方法这些都促使我们考虑一种函数逼近的新方法曲线拟合。曲线拟合。计算方法计算方法也就是说拟合函数也就是说拟合函数 在在xi处的偏差处的偏差(亦称残差）亦称残差）不都严格地等于零。不都严格地等于零。即为矛盾方程组。即为矛盾方程组。曲线拟合函数曲线拟合函数 不要求严格地通过所有数据点。不要求严格地通过所有数据点。但是但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势变化趋势,要求要求 按某种度量标准最小。若记向量按某种度量标准最小。若记向量即要求向量即要求向量 的某种范数的某种范数 最小最小,如如 的的1-1-范数范数 或或-范数。范数。计算方法计算方法即即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。拟合称为曲线拟合的最小二乘法。为了便于计算、分析与应用，通常要求为了便于计算、分析与应用，通常要求 的的2-2-范数范数 实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。拟合法拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点达式经过所有的点，而只要求在给定的点，而只要求在给定的点x（i=0，1,n）上的误差）上的误差按某种标准最小按某种标准最小。若记。若记=(1,2,n)T，就是要求向量就是要求向量的范数的范数|最小最小。最佳平方逼近（最小二乘拟合）最佳平方逼近（最小二乘拟合）最佳一致逼近最佳一致逼近计算方法计算方法作拟合直线作拟合直线（1 1）直线拟合）直线拟合该直线不是通过所有的数据点该直线不是通过所有的数据点 ，而是使偏差平方和而是使偏差平方和设已知数据点设已知数据点 ，分布大致为一条直线。分布大致为一条直线。为最小，为最小，1 1数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法计算方法计算方法其中每组数据与拟合曲线的偏差为其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取根据最小二乘原理，应取 和和 使使 有有极小值，极小值，故故 和和 应满足下列条件：应满足下列条件：解法一：解法一：计算方法计算方法即得如下正规方程组即得如下正规方程组求解该方程组，解得求解该方程组，解得代人代人 即得拟合曲线。即得拟合曲线。计算方法计算方法也可将条件带入构成矛盾方程组也可将条件带入构成矛盾方程组其中其中利用利用解法二：解法二：计算方法计算方法即得如下正规方程组即得如下正规方程组求解该方程组，解得求解该方程组，解得代人代人 即得拟合曲线。即得拟合曲线。计算方法计算方法直线拟合（单击）直线拟合（单击）结论：正则方程组存在唯一解，结论：正则方程组存在唯一解，计算方法计算方法例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的系，下表是实际测定的2424个纤维样品的强度与相个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。计算方法计算方法（提示：将拉伸倍数作为（提示：将拉伸倍数作为x,强度作为强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么在座标纸上标出各点，可以发现什么?）计算方法计算方法解：设解：设 y=a+bx从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。可用一条直线来表示两者之间的关系。则：则：计算方法计算方法解得：解得：a=0.15,b=0.859 直直线线方程方程为为：y=0.15+0.859x计算出它的正规方程得计算出它的正规方程得计算方法计算方法12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963 用最小二乘法求以上数据的拟合函数用最小二乘法求以上数据的拟合函数 例例 设有某实验数据如下：设有某实验数据如下：解解:把表中所给数据画在坐标纸上把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述点的分布可以用一条直线来近似地描述,计算方法计算方法设所求的设所求的拟合直线为拟合直线为则正规方程组为则正规方程组为计算方法计算方法解得解得即得拟合直线即得拟合直线 将以上数据代入上式正规方程组将以上数据代入上式正规方程组,得得其中其中 计算方法计算方法（2）多项式拟合）多项式拟合 有有时时所所给给数数据据点点的的分分布布并并不不一一定定近近似似地地呈呈一一条条直直线线,这这时时仍仍用用直直线线拟拟合合显显然然是是不不合合适适的的,可可用用多多项项式拟合。式拟合。对于给定的一组数据，对于给定的一组数据，寻求次数不超过寻求次数不超过m(mn)的多项式，的多项式，计算方法计算方法来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和为最小。为最小。计算方法计算方法由由于于Q可可以以看看作作是是关关于于(j=0,1,2,m)的的多多元元函函数数,故故上上述述拟拟合合多多项项式式的的构构造造问问题题可可归归结结为为多多元元函数的极值问题。令函数的极值问题。令得得计算方法计算方法即有即有这是关于系数这是关于系数 的线性方程组的线性方程组正则方程组正则方程组计算方法计算方法也可利用矛盾方程组来做也可利用矛盾方程组来做计算方法计算方法即有即有利用利用 计算方法计算方法抛物线拟合（单击）抛物线拟合（单击）计算方法计算方法123456012345521123用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据 例例 设某实验数据如下：设某实验数据如下：解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为接近一条抛物线，因此设所求的多项式为计算方法计算方法由法方程组（由法方程组（5.465.46）,n=6,经计算得经计算得 其法方程组为其法方程组为 计算方法计算方法解之得解之得所求的多项式为所求的多项式为计算方法计算方法例例例例 设设设设函数函数函数函数Y=F(X)Y=F(X)Y=F(X)Y=F(X)的离散数据如下表所示的离散数据如下表所示的离散数据如下表所示的离散数据如下表所示01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718试用二次多项式拟和上述数据试用二次多项式拟和上述数据解：设解：设计算方法计算方法则则计算方法计算方法由由 可得可得计算方法计算方法例：试用最小二乘法求形如例：试用最小二乘法求形如 的多项的多项式，使之与下列数据拟合。式，使之与下列数据拟合。1234529163052解：解：由题目可知：由题目可知：计算方法计算方法由由 可得可得举举例例最小二乘问题中，如何选择最小二乘问题中，如何选择数学模型数学模型很重要，即如何选取很重要，即如何选取函数空间函数空间=span 0,1,n，通常需要根据物，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。+已知+求f(x)的二次拟合曲线，并求的近似值。x-2-1012F(x)421351.2指数拟合指数拟合为指数拟合为指数拟合.实际计算步骤为：实际计算步骤为：非非线线性关系性关系线线性化性化指数关系指数关系幂指数幂指数饱和增长率饱和增长率有理函数有理函数计算方法计算方法（3 3）根据数据点分布确定拟合函数）根据数据点分布确定拟合函数可化为线性拟合的非线性拟合可化为线性拟合的非线性拟合12345600.511.522.52.01.00.90.60.40.3用最小二乘法求拟合曲线用最小二乘法求拟合曲线 例例 设某实验数据如下设某实验数据如下:解解:将已给数据点描在坐标系中：将已给数据点描在坐标系中：计算方法计算方法可以看出这些点接近指数曲线可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数因而可取指数函数作为拟合函数：作为拟合函数：对函数对函数 两边取对数得：两边取对数得：令令 则就得到线性模型则就得到线性模型得得计算方法计算方法则正规方程组为则正规方程组为其中其中计算方法计算方法将以上数据代入上式正规方程组，得将以上数据代入上式正规方程组，得解得解得计算方法计算方法由由 得得于是得到拟合指数函数为于是得到拟合指数函数为 由由 得得 计算方法计算方法指数拟合（单击播放）指数拟合（单击播放）计算方法计算方法 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。程。说明：说明：62 例例1 1已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.63 解解 从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.图3-464 令这里故 65解得可得方程组 于是所求拟合曲线为66 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.67x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）68结果如下：6.1.4线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式正则方程组可改写成形式正则方程组可改写成形式则正则方程组成对角形，其解为则正则方程组成对角形，其解为注：注：当当m较大时，正则方程组往往是病态的。较大时，正则方程组往往是病态的。其中其中7623)(463|484,|1=BcondBB例：例：用用 来拟合来拟合 ，w 1解：解：通过正交多项式通过正交多项式 0(x),1(x),2(x)求解求解设设)()()(221100 xaxaxay +=1)(0=x 229),(),(0000=ya25),(),(00001=x25)()()(011=xxxx 537),(),(1111=ya25),(),(11112=x45),(),(00111=55)(45)()25()(2012+=xxxxxx 21),(),(2222=ya与前例结果一致。与前例结果一致。注：注：手算时也可手算时也可用待定系数法确用待定系数法确定函数族。定函数族。Step 1Set 0(x)1;a0=(0,y)/(0,0);P(x)=a0 0(x);err=(y,y)a0(0,y);Step 2Set 1=(x 0,0)/(0,0);1(x)=(x 1)0(x);a1=(1,y)/(1,1);P(x)+=a1 1(x);err=a1(1,y);Step 3Setk=1;Step 4While(k Max_n)&(|err|TOL)dosteps5-7Step 5 k+;Step 6 k=(x 1,1)/(1,1);k 1=(1,1)/(0,0);2(x)=(x k)1(x)k 1 0(x);ak=(2,y)/(2,2);P(x)+=ak 2(x);err=ak(2,y);Step 7 Set 0(x)=1(x);1(x)=2(x);Step 8Output();STOP.+已知+利用正交函数族求所给数据表的最小二乘二次拟合多项式。x-2-1012F(x)421352 2 正交多项式正交多项式2.1基本概念基本概念2.2.GramSchmidt方法方法其中其中2.3常用的正交多项式常用的正交多项式（一）（一）Legendre多项式多项式（二）第一类（二）第一类Chebyshev多项式多项式性质：性质：qq切比雪夫定理切比雪夫定理图图示示(定理定理)（三）拉盖尔（三）拉盖尔(Laguerre)多项式多项式性质：性质：3 3 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近正则方程组系数矩阵是三阶正则方程组系数矩阵是三阶Hilbert方程组。方程组。