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第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 2.2 序列的傅利叶变换序列的傅利叶变换2.2.1 2.2.1 序列的傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义众所周知，连续时间信号众所周知，连续时间信号f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换定义为：定义为：而而F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换定义为定义为 2024/6/232.2 序列的傅利叶变换2.2.1 序列的傅里叶变换的定义1第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析离散时间信号离散时间信号x(n)x(n)的的傅里叶变换傅里叶变换定义为：定义为：DTFTDTFT 只有当序列只有当序列x(n)x(n)绝对可和，绝对可和，即即x(n)x(n)的傅里叶变换才存在且连续。的傅里叶变换才存在且连续。X(ej)的的傅里叶反变换傅里叶反变换定义为定义为 2024/6/23离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT 只有当序列2第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 在物理意义上，在物理意义上，X(ej)表示序列表示序列x(n)的频谱的频谱，为数字域频率。为数字域频率。X(ej)一般为复数，可用它的一般为复数，可用它的实部实部（Real）和虚部和虚部（Imaginary）表示为：表示为：或用幅度和相位表示为：或用幅度和相位表示为：2024/6/23 在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为3第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设设x(n)=anu(n)，0a10a1,求求x(n)的的FTFT。2024/6/23设x(n)=anu(n)，0a1,求x(n)的FT。24第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析离散时间信号的傅里叶变离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个换具有以下两个特点特点：(1)X(e(1)X(ejj)是以是以22为周为周期期的的的连续函数。的连续函数。(2)(2)当当x(n)为实序列时，为实序列时，X X(e(ejj)的幅值的幅值|X(e|X(ejj)|)|在在0202区间内是偶区间内是偶对称函数，相位对称函数，相位argX(eargX(ejj)是奇对称函数。是奇对称函数。2024/6/23离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：(1)X(ej)5第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2 2.2.2 序列傅利叶变换的性质序列傅利叶变换的性质2024/6/232.2.2 序列傅利叶变换的性质2023/7/296第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2024/6/232023/7/297第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2024/6/232023/7/298第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析当当当当=0=0=0=0时，它是常数序列；随着时，它是常数序列；随着时，它是常数序列；随着时，它是常数序列；随着的增加，信号的增加，信号的增加，信号的增加，信号的震荡速率增加，直到的震荡速率增加，直到的震荡速率增加，直到的震荡速率增加，直到=时，达到离散时间时，达到离散时间时，达到离散时间时，达到离散时间序列的最高振荡速率。当序列的最高振荡速率。当序列的最高振荡速率。当序列的最高振荡速率。当继续增加，其振荡速继续增加，其振荡速继续增加，其振荡速继续增加，其振荡速率反而下降，直到率反而下降，直到率反而下降，直到率反而下降，直到=2=2=2=2时，它又回到常数序列。时，它又回到常数序列。时，它又回到常数序列。时，它又回到常数序列。当当当当等于等于等于等于2222的整数倍时，虚指数序列为常数序列，的整数倍时，虚指数序列为常数序列，的整数倍时，虚指数序列为常数序列，的整数倍时，虚指数序列为常数序列，在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在等等等等于于于于的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高振荡频率，附近是高频序列。振荡频率，附近是高频序列。振荡频率，附近是高频序列。振荡频率，附近是高频序列。2024/6/23当=0时，它是常数序列；随着的增加，信号的震荡速率增加，9第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析1.1.1.1.傅利叶变换的周期性傅利叶变换的周期性傅利叶变换的周期性傅利叶变换的周期性角频率角频率角频率角频率每改变每改变每改变每改变2222及其整数倍时都呈现同一个及其整数倍时都呈现同一个及其整数倍时都呈现同一个及其整数倍时都呈现同一个虚指数序列。虚指数序列。虚指数序列。虚指数序列。因此在研究虚指数序列时，只要在因此在研究虚指数序列时，只要在因此在研究虚指数序列时，只要在因此在研究虚指数序列时，只要在的某个的某个的某个的某个2222区间内考察即可。一般选这个区间区间内考察即可。一般选这个区间区间内考察即可。一般选这个区间区间内考察即可。一般选这个区间为为为为-,或或或或02020202，并称为离散时间频率并称为离散时间频率并称为离散时间频率并称为离散时间频率的的的的主值区间。主值区间。主值区间。主值区间。数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。数字域频率和模拟域频率的关系数字域频率和模拟域频率的关系数字域频率和模拟域频率的关系数字域频率和模拟域频率的关系?2024/6/231.傅利叶变换的周期性角频率每改变2及其整数倍时都呈现10第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析当当当当=0=0=0=0，2222，4 4 4 4 点上表示点上表示点上表示点上表示x(n)x(n)x(n)x(n)的直流的直流的直流的直流分量，分量，分量，分量，离开这些点越远，其频率越高离开这些点越远，其频率越高离开这些点越远，其频率越高离开这些点越远，其频率越高；当当当当=(2M+1)=(2M+1)=(2M+1)=(2M+1)时时时时，代表最高频率信号。代表最高频率信号。代表最高频率信号。代表最高频率信号。M M为整数为整数序列傅里叶变换是以序列傅里叶变换是以序列傅里叶变换是以序列傅里叶变换是以2222为周期的函数。为周期的函数。为周期的函数。为周期的函数。2024/6/23当=0，2，4 点上表示x(n)的直流分量，离开11第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2.2.序列的傅里叶变换的线性序列的傅里叶变换的线性序列的傅里叶变换的线性序列的傅里叶变换的线性 3 3 3 3时移与频移时移与频移时移与频移时移与频移 时间移位时间移位=频率相位偏移频率相位偏移2024/6/232.序列的傅里叶变换的线性 3时移与频移 时间移位=12第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析4 4 4 4时域卷积时域卷积时域卷积时域卷积 设设则则 该定理说明：该定理说明：该定理说明：该定理说明：在求线性时不变系统的输出信号在求线性时不变系统的输出信号在求线性时不变系统的输出信号在求线性时不变系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的输出的输出的输出的FTFTFTFT，再作逆变换。，再作逆变换。，再作逆变换。，再作逆变换。2024/6/234时域卷积 设则 该定理说明：在求线性时不变系13第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析5 5频域卷积定理频域卷积定理设设则则该定理适于时域截断信号后求频谱。该定理适于时域截断信号后求频谱。2024/6/235频域卷积定理设则该定理适于时域截断信号后求频谱。202314第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析6.6.帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)(Parseval)定理定理证明：证明：说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。2024/6/236.帕斯维尔(Parseval)定理证明：说明：信号时域的15第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析7 7序列的傅里叶变换的对称性序列的傅里叶变换的对称性共轭对称序列：共轭对称序列：共轭反对称序列：共轭反对称序列：对于对于实序列实序列来说，来说，xe e(n)为为偶对称序列偶对称序列，xo o(n)为为奇奇对称序列对称序列。时域序列的对称性时域序列的对称性xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xjy2024/6/237序列的傅里叶变换的对称性共轭对称序列：共轭反对称序列：对16第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析共轭对称序列其共轭对称序列其共轭对称序列其共轭对称序列其实部是偶函数实部是偶函数实部是偶函数实部是偶函数，而，而，而，而虚部是奇函数虚部是奇函数虚部是奇函数虚部是奇函数。同理同理同理同理，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。以上反之也成立。偶函数。以上反之也成立。偶函数。以上反之也成立。偶函数。以上反之也成立。xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)-jxoi(-n)解：解：x(n)=cosn+j sinn 其实部是其实部是其实部是其实部是偶函数，偶函数，偶函数，偶函数，而虚部而虚部而虚部而虚部是奇函数是奇函数是奇函数是奇函数,是共轭是共轭是共轭是共轭对称序列。对称序列。对称序列。对称序列。试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性2024/6/23共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。同理，共轭反对称17第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析对于对于对于对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示表示表示表示，即：，即：，即：，即：可得：可得：2024/6/23对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：可得：18第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 频域函数的对称性频域函数的对称性 任意频域函数任意频域函数任意频域函数任意频域函数X(eX(ejj)可表示成可表示成可表示成可表示成共轭对称部分共轭对称部分共轭对称部分共轭对称部分和和和和共轭反共轭反共轭反共轭反对称部分对称部分对称部分对称部分之和之和之和之和：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=X*e(ej)Xo(ej)=X*o(ej)X Xe e(e(ejj),),X Xo o(e(ejj)和原频域函数和原频域函数和原频域函数和原频域函数X(eX(ejj)的关系的关系的关系的关系2024/6/23 频域函数的对称性 任意频域函数X(ej)可表示成共19第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 傅利叶变换的对称性傅利叶变换的对称性(a)(a)将序列将序列x(n)分成分成实部实部xr(n)与与虚部虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行将上式进行FTFT，得到：，得到：2024/6/23 傅利叶变换的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)20第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析结论：结论：序列分成实部与虚部两部分，序列分成实部与虚部两部分，实部实部对应的对应的FTFT 具有共轭对称性，具有共轭对称性，虚部乘虚部乘j j一起对应的一起对应的FTFT具有具有 共轭反对称性。共轭反对称性。X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)2024/6/23结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT 21第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(b)(b)将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分和共轭反对称部分 xo(n)，即：，即：x(n)=xe(n)+xo(n)将上面两式分别进行将上面两式分别进行FTFT，得到，得到2024/6/23(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 22第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析结论：结论：序列的序列的共轭对称部分共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换的傅利叶变换对应对应 着着X(e(ejj)的实部的实部XR(e(ejj)，而序列的，而序列的共轭反对共轭反对 称部分称部分xo o(n)的傅利叶变换的傅利叶变换对应着对应着X(e(ejj)的虚的虚 部部XI(e ejj)乘以乘以j。2024/6/23结论：序列的共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换对应 23第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析8 8序列的折叠序列的折叠 9 9序列乘以序列乘以n n 1010序列的复共轭序列的复共轭 2024/6/238序列的折叠 9序列乘以n 10序列的复共轭 202324第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析表表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质2024/6/23表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质2023/7/2925第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 设设x x(n n)=)=R R4 4(n n)，试求，试求x x(n n)的共轭对称序列的共轭对称序列x xe e(n n)和共轭反对称序列和共轭反对称序列x xo o(n n)，并分别用图表示。，并分别用图表示。x xe e(n n)和和x xo o(n n)的波形如图所示。的波形如图所示。2024/6/23 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列x26
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