数值积分和数值微分课件

v传统方法的困境传统方法的困境v数值积分的基本思想数值积分的基本思想v数值积分的一般形式数值积分的一般形式v代数精度问题代数精度问题求函数求函数 f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上的定积分上的定积分 是微积分学中的基本问题。是微积分学中的基本问题。对于积分对于积分但是在工程技术和科学研究中但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象常会见到以下现象:传统方法的困境传统方法的困境以上这些现象以上这些现象,Newton-Leibniz,Newton-Leibniz很难发挥作用很难发挥作用!只能建立积分的近似计算方法只能建立积分的近似计算方法-数值积分数值积分正是为解决这样的困难而提出来的，正是为解决这样的困难而提出来的，不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。工具之一。数值积分的基本思想数值积分的基本思想 数值积分数值积分-指计算定积分近似值的各种计算方法。指计算定积分近似值的各种计算方法。常用一个简单函数代替原来的复杂函数求积分。常用一个简单函数代替原来的复杂函数求积分。从几何上看，就是计算曲从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。边梯形面积的近似值。最简单的办法，是用最简单的办法，是用直线直线、抛物线抛物线等代替曲边，使得等代替曲边，使得面积容易计算。面积容易计算。f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式左矩公式中矩公式中矩公式梯形公式梯形公式用用直线直线代替曲边代替曲边抛物线公式抛物线公式用用抛物线抛物线代替曲边代替曲边又称辛普森公式又称辛普森公式数值积分的一般形式数值积分的一般形式 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。上述的近似求积公式都是取上述的近似求积公式都是取a,ba,b 上若干点上若干点 处的高度通过加权处的高度通过加权 后再进行后再进行求和得到积分的近似值求和得到积分的近似值，写成一般形式：，写成一般形式：或写为：或写为：其中，其中，-称为称为求积节点求积节点 A Ak k-称为节点称为节点 x xk k 上的上的权系数权系数。-是函数是函数f f(x x)在节点在节点 x xk k 上的函数值，上的函数值，-称为求积公式的称为求积公式的截断误差或余项截断误差或余项。利用插值多项式来构造数值求积公式利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下具体步骤如下:不同的不同的插值方插值方法法有不同有不同的的基函数基函数思思路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。以拉格朗日插值多项式为例以拉格朗日插值多项式为例Ak由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f(x)称为称为求积系数。求积系数。定义定义其系数其系数，为拉各朗日插值基函数为拉各朗日插值基函数 这种求积公式称为这种求积公式称为插值型积分公式插值型积分公式插值型的插值型的求积公式余项求积公式余项 为了保证数值求积公式的精度为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数求积公式能够对尽可能多的函数f(xf(x)都准确成立都准确成立,这在数学上常用这在数学上常用代数精度代数精度这一概念来说明。这一概念来说明。插值型的插值型的求积公式余项求积公式余项解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 f(x)=1：=代入代入 f(x)=x：=代入代入 f(x)=x2：例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有考察考察 时其求积误差。时其求积误差。梯形公式梯形公式因此梯形公式只对一次多项式精确成立。因此梯形公式只对一次多项式精确成立。代数精度代数精度定义定义 如果某个求积公式对于次数不超过如果某个求积公式对于次数不超过m m的一切多的一切多项式都准确成立项式都准确成立,而对而对 某个某个m+1m+1次多项式并不准确成次多项式并不准确成立，则称该求积公式的代数精度为立，则称该求积公式的代数精度为m m。显然，梯形公式与中矩形公式均具有一次代数精度。显然，梯形公式与中矩形公式均具有一次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越精确。一般来说，代数精度越高，求积公式越精确。定理定理 对于对于n+1n+1节点的插值型求积公式节点的插值型求积公式至少具有至少具有n n 次次代数精度。代数精度。代数精度代数精度Newton-CotesNewton-Cotes公式是指公式是指等距节点等距节点下使用下使用LagrangeLagrange插值插值多项式建立的数值求积公式多项式建立的数值求积公式各节点为各节点为一、公式推导：一、公式推导：，以此分点为节点以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。构造出的插值型求积公式。牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式注意是等距节点注意是等距节点所以所以Newton-CotesNewton-Cotes公式为公式为Cotes系数系数注：注：Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 k，可查表得到。与，可查表得到。与 f(x)及区间及区间a,b均无关。均无关。在在Newton-CotesNewton-Cotes公式中公式中,n=1,2,4,n=1,2,4时的公式是最常用也时的公式是最常用也最重要三个公式最重要三个公式,称为低阶公式称为低阶公式CotesCotes系数为系数为低阶低阶Newton-Cotes公式及其余项公式及其余项上式即为上式即为梯形求积公式梯形求积公式,也称也称两点公式两点公式，记为，记为梯形公式的余项为梯形公式的余项为求积公式为求积公式为广义积分广义积分中值定理中值定理故故CotesCotes系数为系数为求积公式为求积公式为上式称为上式称为辛卜生求积公式辛卜生求积公式，也称，也称三点公式或抛物线公式三点公式或抛物线公式记为记为SimpsonSimpson公式的余项为公式的余项为上式特别称为上式特别称为柯特斯求积公式柯特斯求积公式，也称，也称五点公式五点公式 柯特斯系数可由柯特斯系数表得到（柯特斯系数可由柯特斯系数表得到（P153P153）。由此可）。由此可以得到任意阶数的牛顿柯特斯求积公式。但实际计算时以得到任意阶数的牛顿柯特斯求积公式。但实际计算时一般不用高阶的公式，因为高次插值有一般不用高阶的公式，因为高次插值有RungeRunge 现象。现象。由此可自然会得出以下结论：由此可自然会得出以下结论：1.1.梯形规则简单，有梯形规则简单，有1 1阶代数精度；阶代数精度；2.2.再增加一个节点，就是具有再增加一个节点，就是具有3 3阶代数精度的阶代数精度的辛卜生规则；辛卜生规则；牛顿科特斯公式实际上是插值求积公式，因此牛顿科特斯公式实际上是插值求积公式，因此n n阶牛顿科特斯公式至少有阶牛顿科特斯公式至少有n n次代数精度。次代数精度。由于牛顿科特斯公式是等距插值，因此，有定理：由于牛顿科特斯公式是等距插值，因此，有定理：当当n n为偶数时，牛顿科特斯公式有为偶数时，牛顿科特斯公式有n n1 1次代数精度次代数精度。直接使用直接使用Newton-CotesNewton-Cotes公式的余项将会较大公式的余项将会较大。公式的舍入误差又很难得到控制公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度为了提高公式的精度,往往使用往往使用复化求积法复化求积法。然后在每个小区间上使用低阶然后在每个小区间上使用低阶Newton-CotesNewton-Cotes公式公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加最后将每个小区间上的积分的近似值相加复化求积法复化求积法 复化梯形公式复化梯形公式：在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：=Tn/*中值定理中值定理*/复合梯形公式复合梯形公式 复化复化 Simpson 公式公式：44444=Sn复化复化 Simpson 公式公式我们知道我们知道,两个求积公式的余项分别为两个求积公式的余项分别为单纯的求积公式单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间复化求积公式的每个小区间复化求积公式精度提高。复化求积公式精度提高。复化求积法通过将积分区间分成复化求积法通过将积分区间分成n n等份，来减小截断误差，因此等份，来减小截断误差，因此n n越大积越大积分精度越高。但分精度越高。但n n太大，运算量也增大，舍入误差也增大；太大，运算量也增大，舍入误差也增大；n n太小，精度可能太小，精度可能达不到。如何确定适当的达不到。如何确定适当的,使得计算结果达到预选给定的精度要求呢？使得计算结果达到预选给定的精度要求呢？在实际计算中在实际计算中,常采用积分步长的自动选择。具体地讲常采用积分步长的自动选择。具体地讲,就是在求积过程中就是在求积过程中,将将步长逐次折半步长逐次折半,反复利用复合求积公式反复利用复合求积公式,直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法变步长求积算法变步长求积算法。问题问题5.3 变步长求积和龙贝格算法变步长求积和龙贝格算法5.3.1 变步长梯形求积法变步长梯形求积法 对于复合梯形公式，若将积分区间对于复合梯形公式，若将积分区间a,bna,bn等分等分,积分近似值记为积分近似值记为T Tn n,积分精确积分精确值记为值记为I I ,则有则有:把每个子区间分半把每个子区间分半,也就是将积分区间也就是将积分区间a,ba,b 2n 2n等分等分,则有则有则有则有当当 在连续在连续,且函数值变化不大时且函数值变化不大时,即有即有给定求积精度给定求积精度，如何取，如何取n n?5.3.1 变步长梯形求积法变步长梯形求积法可用来判断迭代可用来判断迭代是否停止。是否停止。变步长梯形法计算过程变步长梯形法计算过程 可以看到可以看到,每次都是在前一次的基础上将子区间再对分。原分点上的函数值不需要每次都是在前一次的基础上将子区间再对分。原分点上的函数值不需要重复计算重复计算,只需计算新分点上的函数值即可只需计算新分点上的函数值即可,一般地计算公式为：一般地计算公式为：由上节由上节变步长变步长梯形公式梯形公式得到的积分近似值的误得到的积分近似值的误差大致是差大致是 ,因此人们期望因此人们期望,如果如果用这个误差作为对用这个误差作为对 的一种补偿的一种补偿,则得到的求积公式则得到的求积公式的代数精度会有所提高。的代数精度会有所提高。（1）5.3.2 龙贝格公式龙贝格公式 龙贝格算法是在复化梯形公式误差估计的基础上，龙贝格算法是在复化梯形公式误差估计的基础上，应用线性外推的方法构造出的加速算法。应用线性外推的方法构造出的加速算法。5.3.2 龙贝格公式龙贝格公式通过直接验证可知通过直接验证可知 也就是说也就是说,用梯形公式二分前后的两个积分值用梯形公式二分前后的两个积分值 与与 按照公式按照公式(1)做线形组合做线形组合,其结果正好是用抛物线其结果正好是用抛物线公式得到的积分值公式得到的积分值 。(2)即即同理可知同理可知,用用抛物线公式抛物线公式得到的积分近似值得到的积分近似值 的误差的误差大致是大致是 ,因此对抛物线公式进行因此对抛物线公式进行修正修正,得到得到(3)也就是说也就是说,用抛物线公式二分前后的积分值用抛物线公式二分前后的积分值 与与 按照公式按照公式(3)作线形组合作线形组合,其结果正好是用柯特斯公式其结果正好是用柯特斯公式得到的积分值得到的积分值 。通过直接验证可知通过直接验证可知(4)同理可知，同理可知，用柯特斯公式得到的积分近似值用柯特斯公式得到的积分近似值 的误差的误差大致是大致是 ,因此因此,对柯特斯公式进行修改对柯特斯公式进行修改,得得到求积公式到求积公式(5)为此为此,构造求积公式构造求积公式(6)称称(6)式为式为龙贝格龙贝格(Romberg)公式。公式。龙贝格公式是一种计算积分的方法。在变步长的求龙贝格公式是一种计算积分的方法。在变步长的求积过程中积过程中,运用运用(2),(4),(6)(2),(4),(6)式可以将精度低的梯式可以将精度低的梯形值形值 逐步加工成精度较高的抛物线逐步加工成精度较高的抛物线 ,柯特斯柯特斯值值 与龙贝格值与龙贝格值 。总之有：总之有：Romberg 序列序列(1)计算计算f(a),f(b),算出算出 。(2)把把 a,b 2等分等分,计算计算 ,算出算出 与与 。(3)把把 a,b 4等分等分,计算计算 算出算出 与与 。龙贝格求积的计算步骤如下：龙贝格求积的计算步骤如下：(4)把把 a,b 8 等分等分,计算计算 算出算出 与与 与与 。(5)把把 a,b 16等分等分,计算计算算出算出 与与 与与 ,继续重复进行继续重复进行,直到直到 时停止计算时停止计算,就是所求的积分值就是所求的积分值.(允许误差允许误差)Romberg 算法算法：?T1=)0(0T T8=)3(0T T4=)2(0T T2=)1(0T S1=)0(1T R1=)0(3T S2=)1(1T C1=)0(2T C2=)1(2T S4=)2(1TRomberg 算法算法要求要求熟练掌握熟练掌握的内容的内容：能灵活运用梯形公式和辛普生公式计算数值积分能灵活运用梯形公式和辛普生公式计算数值积分求积公式的代数精度的定义，能判断求积公式的代数精度；求积公式的代数精度的定义，能判断求积公式的代数精度；能灵活运用复化梯形公式和复化辛普生公式计算数值积分能灵活运用复化梯形公式和复化辛普生公式计算数值积分 要求要求掌握掌握的内容的内容：插值求积公式和牛顿科特斯公式的导出、系数的性质特点插值求积公式和牛顿科特斯公式的导出、系数的性质特点 变步长法则和龙贝格算法。变步长法则和龙贝格算法。本章要求本章要求本章要求本章要求