不可压缩粘性流体的层流运动课件

8.2 不可压缩粘性流体的层流运动 一、基本方程一、基本方程1 连续性方程连续性方程2 运动方程运动方程对于不可压缩流体对于不可压缩流体写成分量形式，如果质量力假设为重力，上式改写为写成分量形式，如果质量力假设为重力，上式改写为3 边界条件和初始条件边界条件和初始条件（1）边界条件）边界条件固定边界：在固定边界条件需满足粘附条件固定边界：在固定边界条件需满足粘附条件运动边界：运动边界：自由表面：自由表面：(2)初始条件初始条件对非定常流，在初始时刻对非定常流，在初始时刻t0时，各处速度应等于给定时，各处速度应等于给定的值，即的值，即二、求解途径二、求解途径上述上述NS方程，压力项和粘性项都是线性的，而惯性方程，压力项和粘性项都是线性的，而惯性项是非线性的，因而方程组是一个二阶非线性方程组，项是非线性的，因而方程组是一个二阶非线性方程组，目前还没有普遍的求解方法。现有的求解途径可分为目前还没有普遍的求解方法。现有的求解途径可分为三类：解析解（精确解）、近似解和数值解。三类：解析解（精确解）、近似解和数值解。1 解析解解析解只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性项为只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性项为0，可以求得解析解。但是具有精确解的情况不多。可以求得解析解。但是具有精确解的情况不多。2 近似解近似解粘性流动，在雷诺数很小和很大两种极端情况下，略粘性流动，在雷诺数很小和很大两种极端情况下，略去方程中某些次要项，得到近似方程，求其近似解。去方程中某些次要项，得到近似方程，求其近似解。（1）小雷诺数情况，流动中惯性项较粘性项小得多，）小雷诺数情况，流动中惯性项较粘性项小得多，从而可以忽略惯性项得到线性的运动方程。从而可以忽略惯性项得到线性的运动方程。（2）大雷诺数情况，粘性影响只限于贴近物体的一）大雷诺数情况，粘性影响只限于贴近物体的一薄层内，这一薄层即为边界层。这是大雷诺数粘性流薄层内，这一薄层即为边界层。这是大雷诺数粘性流动的一个极为重要的特性。边界层之外按势流运动求动的一个极为重要的特性。边界层之外按势流运动求解，边界层内部流动按边界层求解。解，边界层内部流动按边界层求解。3 数值解数值解利用数值方法直接求解，这是一种非常有效途径。利用数值方法直接求解，这是一种非常有效途径。8.2.1、平行板间粘性流体的定常层流流动（解析解）、平行板间粘性流体的定常层流流动（解析解）在少数情况下，粘性流动的基本方程组可以有解析解。在少数情况下，粘性流动的基本方程组可以有解析解。这是由于流动条件简单，可以给出质点的运动轨迹，从这是由于流动条件简单，可以给出质点的运动轨迹，从而可以将运动方程简化，并求得方程的解。而可以将运动方程简化，并求得方程的解。对于平行流动，由于质点运动轨迹是平直的直线，因对于平行流动，由于质点运动轨迹是平直的直线，因此可以将方程组简化，求其解析解。以下对此类平行此可以将方程组简化，求其解析解。以下对此类平行流动问题进行研究，并给出几种典型流动的解析解。流动问题进行研究，并给出几种典型流动的解析解。不可压缩粘性流体在两个无限大的固定倾斜平行不可压缩粘性流体在两个无限大的固定倾斜平行板间作定常层流流动，参考坐标系的板间作定常层流流动，参考坐标系的x轴沿流动方轴沿流动方向，向，y轴垂直于平板，轴垂直于平板，z轴垂直于图面，如图所示。轴垂直于图面，如图所示。bxyOgfxfydydxdhhvyvz0运动方程化为运动方程化为上面两式说明，上面两式说明，p+gh只是只是x的函数，运动方程第一的函数，运动方程第一式化为式化为y=0时时vx=0；y=b时时vx=0，代入上式得，代入上式得代回公式得代回公式得结论：平行板间流速为抛物线分布，并沿总势能降的结论：平行板间流速为抛物线分布，并沿总势能降的方向，如果是平板水平，则这种流动是由压强梯度引方向，如果是平板水平，则这种流动是由压强梯度引起的，称这种流动为泊肃叶流。起的，称这种流动为泊肃叶流。当上平板以速度当上平板以速度U运动时，运动时，y=0时时vx=0；y=b时时vx=U，代入上式得代入上式得代回公式得代回公式得结论：流动由两部分组成：上平板移动引起的剪切流结论：流动由两部分组成：上平板移动引起的剪切流动和泊肃叶流动合起来称为库埃特流动。动和泊肃叶流动合起来称为库埃特流动。8.2.2 流体动力润滑（近似解）流体动力润滑（近似解）当某一平板相对另一平板成一小角度放置时，且当某一平板相对另一平板成一小角度放置时，且b1 流动意味着粘性力相对于惯性力很小，流动意味着粘性力相对于惯性力很小，忽略粘性？忽略粘性？忽略粘性？忽略粘性？1.边界层概念边界层概念大雷诺数下，粘性影响比惯性力影响小，但如果把流大雷诺数下，粘性影响比惯性力影响小，但如果把流体看成理想流体，会得出绕流物体阻力为体看成理想流体，会得出绕流物体阻力为0的结论；的结论；流体在运动物体的尾部，若忽略粘性，得不出涡旋和流体在运动物体的尾部，若忽略粘性，得不出涡旋和倒流现象。倒流现象。原因发生在边界条件上。即粘性流体应满足无滑移条原因发生在边界条件上。即粘性流体应满足无滑移条件，无论粘性多么小。这样迫使边界附近流动具有较件，无论粘性多么小。这样迫使边界附近流动具有较大的速度梯度，因而在边界上形成旋涡。形成后，靠大的速度梯度，因而在边界上形成旋涡。形成后，靠粘性向外扩散，同时又靠流体的流动向外输移（对流）粘性向外扩散，同时又靠流体的流动向外输移（对流）。当雷诺数较大时，对流作用远比粘性作用强大，涡。当雷诺数较大时，对流作用远比粘性作用强大，涡旋还来不及扩散，已被对流带到下游。因此，在大雷旋还来不及扩散，已被对流带到下游。因此，在大雷诺数流动中，涡旋被局限于边界附近的薄层内。诺数流动中，涡旋被局限于边界附近的薄层内。因为有涡旋的流动是有旋流动，无涡旋的流动是有势因为有涡旋的流动是有旋流动，无涡旋的流动是有势流动，因此，在大雷诺数的流动中，整个流场常分为流动，因此，在大雷诺数的流动中，整个流场常分为两个区：在边界附近有涡流动薄层和薄层以外的有势两个区：在边界附近有涡流动薄层和薄层以外的有势流动。流动。边界附近的涡流动必须考虑粘性作用，满足无滑移边界附近的涡流动必须考虑粘性作用，满足无滑移条件，因为这是产生涡旋形成有涡流动的必要条件。条件，因为这是产生涡旋形成有涡流动的必要条件。以外的区域不受涡旋的影响，可以不考虑粘性作用，以外的区域不受涡旋的影响，可以不考虑粘性作用，当作有势流动对待。这样处理可以解决完全忽略粘当作有势流动对待。这样处理可以解决完全忽略粘性所引起的各种矛盾。这个发现是德国教授普朗特性所引起的各种矛盾。这个发现是德国教授普朗特在在1904年提出的。普朗特称边界附近必须考虑粘性年提出的。普朗特称边界附近必须考虑粘性作用的很薄的流层为边界层。作用的很薄的流层为边界层。UeRe1尾涡区外部势流边界层流图9.1.2 大Re数绕流流场划分uys uUe2.边界层提出的意义边界层提出的意义在边界层内虽需考虑粘性项，但由于这一层很薄，在边界层内虽需考虑粘性项，但由于这一层很薄，可以根据具体情况将可以根据具体情况将NS方程大大简化。对于远方程大大简化。对于远离壁面的外部流动，由于按理想流体处理，其边界离壁面的外部流动，由于按理想流体处理，其边界条件不是取流速为条件不是取流速为0，而是取边界层外边界处的条，而是取边界层外边界处的条件。这样将一个统一的流体运动近似地分为件。这样将一个统一的流体运动近似地分为2个部个部分：外部理想流和内部边界层流，并根据各自特点分：外部理想流和内部边界层流，并根据各自特点分别进行处理。分别进行处理。边界层厚度（Boundary Layer Thickness）：自固体边界表面沿其外法线到纵向流速vx达到主流速U的99%处，这段距离称为边界层厚度。边界层的厚度是x的函数。UUU粘性底层层流边界层紊流边界层过渡区边界层界限xcrxyvxvxx3 3、边界层的厚度、边界层的厚度、边界层的厚度、边界层的厚度结结论论：Re大大时时边边界界层层很很薄薄，约约为为毫毫米米的的量量级级,且且边边界界层层厚厚度度顺流增加顺流增加。边界层内惯性力与粘性力之比属同量级边界层内惯性力与粘性力之比属同量级:UUU粘性底层层流边界层紊流边界层过渡区边界层界限xcrxyvxvxx4 边界中的两种流态：层流和紊流。边界中的两种流态：层流和紊流。层流边界层（Laminar Boundary Layer）：当边界层厚度较小时，边界层内的流速梯度很大，粘滞应力的作用也很大，这时边界层内的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层。紊流边界层（Turbulence Boundary Layer）：当雷诺数达到一定数值时，边界层中的层流经过一个过渡区后转变为紊流，就成为紊流边界层。在紊流边界层内，最紧靠平板的地方，dvx/dy仍很大，粘滞力仍起主要作用，其流态仍为层流，所以紊流边界层内有一粘性底层。UUU粘性底层层流边界层紊流边界层过渡区边界层界限xcrxyvxvxx5、转捩点，临界雷诺数、转捩点，临界雷诺数临界雷诺数：特点：临界雷诺数的大小与来流的脉动程度有关，脉动强，小。光滑平板：光滑平板：6、边界层主要特征、边界层主要特征（1）边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大）边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大（2）与特征长度相比边界层厚度很小）与特征长度相比边界层厚度很小（3）边界层厚度沿程增加（）边界层厚度沿程增加（=(x)），其外），其外缘与流线不重合；缘与流线不重合；（4）边界层内粘滞力与惯性力属于同一量级。）边界层内粘滞力与惯性力属于同一量级。（5）边界层内沿壁面法线方向各点的压强相等，）边界层内沿壁面法线方向各点的压强相等，都等于主流在边界层外缘对应点的压强都等于主流在边界层外缘对应点的压强（6）边界层内流体的流动也有层流和紊流两种）边界层内流体的流动也有层流和紊流两种流动状态。流动状态。8.4层流边界层微分方程层流边界层微分方程-普朗特边界层方程普朗特边界层方程内部边界层流动属于粘性流体研究范畴，方程为内部边界层流动属于粘性流体研究范畴，方程为N-S方方程，由于边界层内速度沿法向比切向小得多，所以可程，由于边界层内速度沿法向比切向小得多，所以可以简化，简化后的方程就是普朗特边界层方程。以简化，简化后的方程就是普朗特边界层方程。求解大雷诺数问题的基本思想：流场分为外部流动区求解大雷诺数问题的基本思想：流场分为外部流动区和边界层内流体运动。和边界层内流体运动。外部属于理想流体研究范围相对简单，方程为欧拉外部属于理想流体研究范围相对简单，方程为欧拉方程，可以认为解是已知的；方程，可以认为解是已知的；如图所示的不可压缩二维层流边界层，忽略体积力，基如图所示的不可压缩二维层流边界层，忽略体积力，基本方程为本方程为为了计算简单，需要根据边界层特征为了计算简单，需要根据边界层特征对方程进行简化。对方程进行简化。令令L为边界层的特征长度，边界层的厚度为为边界层的特征长度，边界层的厚度为，则在边，则在边界层流场中界层流场中x x和和y y的最大量级分别为的最大量级分别为L L和和，t t可用可用L/UL/U表表示，对连续性方程积分：示，对连续性方程积分：由于由于vx有外部自由流的量级有外部自由流的量级U，所以，所以vy 的量级为的量级为U/L/L动量方程各项量级为动量方程各项量级为与与y无关，所以无关，所以p可取外部势流交界处的压力，可取外部势流交界处的压力，而该处的压力可以通过外部势流方程得到而该处的压力可以通过外部势流方程得到代入上面第一个方程，得代入上面第一个方程，得边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：这就是普朗特导出的非定这就是普朗特导出的非定常边界层流动运动方程常边界层流动运动方程如果流动是定常的可得普朗特边界层方程组如果流动是定常的可得普朗特边界层方程组第三式表明边界层内第三式表明边界层内y方向压强梯度为零，说明外部压强可穿方向压强梯度为零，说明外部压强可穿透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定第二式右边得到简化（第二式右边得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑式意义。式意义。说明说明：对于平板边界层流，如果外部势流（均流）无压强对于平板边界层流，如果外部势流（均流）无压强梯度，上述方程可进一步简化梯度，上述方程可进一步简化边界条件为边界条件为在在y0，vx=0，vy0在在y，vxU，