塑性加工过程CAE02FEM基础课件

1第三章 板料成形的有限元基础 3.1 序言 3.2 杆和梁单元 3.2 二维问题 3.3 有限元求解技术 3.4 板壳单元第三章 板料成形的有限元基础 3.1 序言23.1 3.1 3.1 3.1 序言序言序言序言3.1.13.1.1 基本概念基本概念3.1.2 3.1.2 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾3.1.3 3.1.3 弹簧元弹簧元3.1 序言3.1.1 基本概念33.1 3.1 3.1 3.1 序言序言序言序言 有限元方法或有限元分析的基本思想就是有限元方法或有限元分析的基本思想就是将一个复杂的物体分解成许多易于处理的小片将一个复杂的物体分解成许多易于处理的小片来处理。这种思路在日常生活和工程实际中经来处理。这种思路在日常生活和工程实际中经常被使用。常被使用。3.1.13.1.1 基本概念基本概念搭积木游戏搭积木游戏建筑建筑3.1 序言 有限元方法或有限元分析的基本思想就是43.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念圆面积的近似求解：圆面积的近似求解：注意：一个复杂的连续的物体可以被许多小片（单元）注意：一个复杂的连续的物体可以被许多小片（单元）来近似代替。来近似代替。3.1.1 基本概念圆面积的近似求解：注意：一个复杂的连续5工程中有限元的应用工程中有限元的应用机械、航空、土木、汽机械、航空、土木、汽车工程工程结构分析（分析（静态/动态、线性性/非非线性）性）热/液体流液体流动电磁磁地地质力力学生物力生物力学齿轮式弹性轴接的模型齿轮式弹性轴接的模型3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念工程中有限元的应用齿轮式弹性轴接的模型3.1.1 基本概念6有限元的简要发展历史有限元的简要发展历史1943 Courant 1956 Tuner,Clough,Martin,Topp(Stiffness)1960 Clough(“Finite Element”平面平面问题)1970s 在大型机上得到在大型机上得到应用用1980s 在微机上得到在微机上得到应用，前后用，前后处理理软件件1990s 大型机大型机构系系统分析分析3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念有限元的简要发展历史3.1.1 基本概念73.1.1 3.1.1 基本概念基本概念基本概念基本概念易拉罐的跌落测试易拉罐的跌落测试3.1.1 基本概念易拉罐的跌落测试8结构分析中的有限元（过程）结构分析中的有限元（过程）将结构体体划分成小片（分成小片（单元，元，节点）点）形成描形成描绘物理特性的物理特性的单元元刚度度将单元元组装成一装成一个整体整体结构的近似方程的近似方程组求解已求解已经引入位置物理量（位移）的方程引入位置物理量（位移）的方程组计算算单元中用元中用户所所关心的物理量（心的物理量（应变，应力）力）3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念结构分析中的有限元（过程）3.1.1 基本概念9计算机计算机前前处理（建立有限元模型，理（建立有限元模型，载荷和荷和约束）束）有限元求解器（有限元求解器（组装和求解系装和求解系统方程）方程）后后处理（理（显示示计算算结果）果）商业化有限元软件包商业化有限元软件包ANSYS，NASTRAN，ALGOR(通用目的通用目的)ABAQUS(非非线性性动力分析力分析)PATRAN，HyperMesh(前后前后处理理)LS-DYNA(碰撞撞动力分析力分析)DynaForm(前后前后处理理)3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念计算机3.1.1 基本概念10本章有限元基础课的目的本章有限元基础课的目的理解有限元分析的基本原理和思路理解有限元分析的基本原理和思路 掌握本章中所涉及到的掌握本章中所涉及到的单元模型的推元模型的推导和适用范和适用范围对一一个给定的定的问题能能够建立适建立适当的有限元模型的有限元模型能能够解解释并评价有限元分析价有限元分析结果的果的优劣（知道劣（知道问题的物的物理意思）理意思）明白有限元的局限性（不要明白有限元的局限性（不要错误地地应用有限元用有限元数值工工具）具）3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念本章有限元基础课的目的3.1.1 基本概念11线性代数方程组系统：线性代数方程组系统：矩阵形式：矩阵形式：A称为称为nn矩矩阵，x和和b分分别是是n维的列向量的列向量3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾线性代数方程组系统：3.1.1 矩阵代数的回顾12矩阵的加法减法：矩阵的加法减法：矩阵的乘法：矩阵的乘法：矩阵的转置：矩阵的转置：对称矩阵：对称矩阵：单位矩阵：单位矩阵：3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾矩阵的加法减法：3.1.1 矩阵代数的回顾13矩阵行列式的值：矩阵行列式的值：奇异矩阵：奇异矩阵：如果如果 det A=0，那，那么系系统存在存在问题（非唯一解，（非唯一解，发散散等）等）矩阵的逆：矩阵的逆：3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾矩阵行列式的值：3.1.1 矩阵代数的回顾14线性方程组系统的求解技术：线性方程组系统的求解技术：高斯消去法高斯消去法迭代法迭代法正定矩阵：正定矩阵：对于所有非零向量于所有非零向量X，有，有XTAX0，A为正定矩正定矩阵正定矩正定矩阵为非奇非奇异矩矩阵矩阵的导数和积分：矩阵的导数和积分：3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾线性方程组系统的求解技术：3.1.1 矩阵代数的回顾15弹簧元：弹簧元：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元3.1.3 弹簧单元16考虑弹簧元的力的平衡条件：考虑弹簧元的力的平衡条件：节点点i：节点点j：矩矩阵形式：形式：注意：注意：K为对称矩阵，为对称矩阵，K是非奇异的还是奇异的？是非奇异的还是奇异的？3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元考虑弹簧元的力的平衡条件：3.1.3 弹簧单元17弹簧元系统：弹簧元系统：单元元1：单元元2：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧元系统：3.1.3 弹簧单元18对整个系统进行单元刚度矩阵的组装：对整个系统进行单元刚度矩阵的组装：考考虑节点力的平衡点力的平衡条件：件：节点点1：节点点2：节点点3：矩矩阵形式：形式：K为该弹簧系簧系统的的刚度矩度矩阵（结构矩构矩阵）3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元对整个系统进行单元刚度矩阵的组装：3.1.3 弹簧单元19单元刚度矩阵另一种组装方法：单元刚度矩阵另一种组装方法：分分别扩大大单元元1和和2的的刚度矩度矩阵这与根据与根据节点力平衡得出的矩点力平衡得出的矩阵是一是一样的。的。3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元单元刚度矩阵另一种组装方法：3.1.3 弹簧单元20引入边界条件和力的条件：引入边界条件和力的条件：假假设u1=0，F2=F3=P，那，那么未知量未知量为：u2，u3和和F1求解方程可得：求解方程可得：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元引入边界条件和力的条件：3.1.3 弹簧单元21检查计算结果：检查计算结果：结构变形后的形形后的形状外力平衡外力平衡有关弹簧元的注意事项：有关弹簧元的注意事项：适于适于刚度分析的度分析的计算算不适合用于不适合用于弹簧本身的簧本身的应力分析力分析计算算在在弹簧元的簧元的横向是否具有向是否具有刚度，度，弹簧元是否具有簧元是否具有扭转刚度度3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元检查计算结果：3.1.3 弹簧单元22例子例子1：已知：已知：求：求：(a)整体整体刚度矩度矩阵(b)节点点2和和3的位移的位移(c)节点点1和和4的支反力的支反力(d)弹簧簧2的力的力3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元例子1：3.1.3 弹簧单元23（a）问：分别求出单元刚度矩阵：）问：分别求出单元刚度矩阵：单元元1：单元元2：单元元3：组装后：装后：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元（a）问：分别求出单元刚度矩阵：3.1.3 弹簧单元24组装后：组装后：注意到整体注意到整体刚度矩度矩阵是是对称并带状分布的。分布的。该系统的平衡方程为：该系统的平衡方程为：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元组装后：3.1.3 弹簧单元25（b）问：）问：将边界界条件（件（u1=u4=0）应用到平衡方程中，去掉用到平衡方程中，去掉1行行1列，列，4行行4列后：列后：求解得：求解得：（c）问：）问：从平衡方程平衡方程组中的中的1和和4可得：可得：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元（b）问：3.1.3 弹簧单元26（d）问：）问：弹簧元簧元2的平衡方程的平衡方程为：式中式中i=2，j=3，可以，可以计算出算出弹簧力簧力为：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元（d）问：3.1.3 弹簧单元27例子例子2：问题描述：描述：对上述一上述一个具有任意具有任意弹簧元簧元节点和点和单元的系元的系统，求其整体，求其整体刚度矩度矩阵。3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元例子2：3.1.3 弹簧单元28单元拓扑关系：单元拓扑关系：上表中上表中为每每个弹簧元的局部簧元的局部节点点号和整体和整体节点点号的的对应关系。系。然后依次求出每个弹簧元的刚度矩阵：然后依次求出每个弹簧元的刚度矩阵：3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元单元拓扑关系：3.1.3 弹簧单元29组装后：装后：整体整体刚度矩度矩阵是是对称并带状分布的。分布的。3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 弹簧单元弹簧单元弹簧单元弹簧单元3.1.3 弹簧单元303.2 3.2 3.2 3.2 杆和梁单元杆和梁单元杆和梁单元杆和梁单元3.2.13.2.1 线性静力分析线性静力分析3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元3.2.3 3.2.3 梁单元梁单元3.2 杆和梁单元3.2.1 线性静力分析31大部分结构分析问题都可以看作是线性静力分析大部分结构分析问题都可以看作是线性静力分析问题，它们都基于以下假设：问题，它们都基于以下假设：1.小小变形（加形（加载方式不方式不会因因为变形而改形而改变）2.线弹性材料（不存在塑性和破裂）性材料（不存在塑性和破裂）3.静力力载荷（在荷（在结构上的上的载荷是慢速平荷是慢速平稳地施加上去地施加上去的）的）线性静力分析可以解决结构分析问题中大部分的线性静力分析可以解决结构分析问题中大部分的问题，对于大多数的结构分析问题，静力分析可问题，对于大多数的结构分析问题，静力分析可以得到一个近似的结果。以得到一个近似的结果。线性静力分析是非线性分析的基础。线性静力分析是非线性分析的基础。3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 线性静力分析线性静力分析大部分结构分析问题都可以看作是线性静力分析问题，它们都基于以32杆单元：杆单元：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元杆单元：3.2.2 杆单元33刚度矩阵刚度矩阵直接法：直接法：假假设位移位移u沿着杆的沿着杆的轴向向线性分布：性分布：K即即为杆杆单元的元的刚度系度系数，杆，杆单元和元和弹簧元簧元类似。似。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元刚度矩阵直接法：3.2.2 杆单元34单元元刚度矩度矩阵为：单元的平衡方程元的平衡方程组为：节点自由度：点自由度：对一一维的杆的杆单元，每元，每个节点就只有一点就只有一个自由度自由度刚度矩度矩阵K中系中系数的物理意的物理意义：K中第中第j列的系列的系数表示在表示在节点点j施加施加单位位移而其他位位移而其他节点固定不点固定不动的的时候，杆上所承受的力。候，杆上所承受的力。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元单元刚度矩阵为：3.2.2 杆单元35刚度矩阵刚度矩阵正规推导方法：正规推导方法：定定义两个形函形函数：位移位移u沿着杆的沿着杆的轴向向线性分布：性分布：可得可得应变为：B为单元的元的应变-位移矩位移矩阵：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元刚度矩阵正规推导方法：3.2.2 杆单元36单元元应力力为：杆杆单元上的元上的应变能能为：杆杆单元元2个节点所做的功点所做的功为：对于保守系于保守系统，U=W，故有：，故有：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元单元应力为：3.2.2 杆单元37上式等价于：上式等价于：其中其中k即即为单元元刚度矩度矩阵上述方法就是正上述方法就是正规的推的推导过程，程，该方法也可以用方法也可以用来推推导其他其他类型的型的单元元刚度矩度矩阵。单元元刚度矩度矩阵也可以通也可以通过其他其他严格的方法格的方法获得，比如最得，比如最小小势能原理，伽能原理，伽辽金方法等。金方法等。于是我于是我们可以得到杆可以得到杆单元的元的刚度矩度矩阵：上式上式结果和直接法的果和直接法的结果一果一样。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元上式等价于：3.2.2 杆单元38例子：例子：问题描述：在描述：在节点点2处施加施加F，求杆，求杆1和杆和杆2上的上的应力。力。求解方法：用求解方法：用1-D杆杆单元。元。单元元1和和单元元2的的刚度矩度矩阵分分别为：假假设在在节点点2处是用一是用一个无摩擦的无摩擦的铰链将杆杆1和杆和杆2所所连接。接。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元例子：3.2.2 杆单元39组装后：装后：载荷和荷和边界界条件件为：删除第除第1行第行第1列和第列和第3行第行第3列后得：列后得：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元组装后：3.2.2 杆单元40最后可以得到最后可以得到单元元1内的的应力：力：同理，可以得到同理，可以得到单元元2内的的应力：力：负号表示表示单元元2所受的是所受的是压应力。力。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元最后可以得到单元1内的应力：3.2.2 杆单元41注意：注意：1)在在这个例子中，根据一例子中，根据一维线性理性理论所所计算出算出来的的单元元1和和2中的中的应力是精确解，所以如果我力是精确解，所以如果我们将单元元细化化不不会提高精度。提高精度。2)如果如果对于于阶梯杆梯杆结构，其中的，其中的A要采用要采用横截面的平截面的平均面均面积。3)为了得到了得到单元元1和和2中的中的应力，我力，我们首先要得到首先要得到节点点的位移，因的位移，因为采用的基于位移采用的基于位移场的有限元法。的有限元法。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元注意：3.2.2 杆单元42二维空间上的杆单元：二维空间上的杆单元：注意：在注意：在线弹性理性理论的前提下，的前提下，横向位移向位移 对杆杆单元元的拉伸的拉伸没有有贡献。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元二维空间上的杆单元：3.2.2 杆单元43坐标变换：坐标变换：矩矩阵形式：形式：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元坐标变换：3.2.2 杆单元44对于对于2个节点的杆单元有：个节点的杆单元有：节点力也采用相同的点力也采用相同的变换方法：方法：二维空间下的局部坐标系下的刚度矩阵：二维空间下的局部坐标系下的刚度矩阵：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元对于2个节点的杆单元有：3.2.2 杆单元45扩大后：扩大后：矩矩阵形式：形式：K为整体坐整体坐标系下的系下的刚度矩度矩阵3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元扩大后：3.2.2 杆单元46K的的显式表式表达式式为：单元元应力：力：3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元K的显式表达式为：3.2.2 杆单元47三维空间上的杆单元：三维空间上的杆单元：先在局部坐先在局部坐标系下求出系下求出单元元刚度矩度矩阵，然后再，然后再转换并组装到整体坐装到整体坐标系下系下进行行计算。算。3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元三维空间上的杆单元：3.2.2 杆单元48简单的平面梁单元：简单的平面梁单元：基本的梁理基本的梁理论：3.2.3 3.2.3 3.2.3 3.2.3 梁单元梁单元简单的平面梁单元：3.2.3 梁单元493.3 3.3 3.3 3.3 二维问题二维问题二维问题二维问题3.3.13.3.1 基本理论回顾基本理论回顾3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元3.3 二维问题3.3.1 基本理论回顾50应力和应变：应力和应变：在特定的在特定的条件下，件下，应力力应变状态可以可以简化，因此，一般化，因此，一般的三的三维问题可以可以简化成二化成二维问题来分析分析3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 基本理论回顾基本理论回顾应力和应变：3.3.1 基本理论回顾51平面平面应力：力：平面平面应变：3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 基本理论回顾基本理论回顾平面应力：3.3.1 基本理论回顾52本本构关系（平面系（平面应力）：力）：本本构关系（平面系（平面应变）：）：3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 基本理论回顾基本理论回顾本构关系（平面应力）：3.3.1 基本理论回顾53应变与位移的位移的关系：系：边界界条件：件：3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 基本理论回顾基本理论回顾应变与位移的关系：3.3.1 基本理论回顾54常应变单元（常应变单元（CST or T3）位移函位移函数：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元常应变单元（CST or T3）3.3.2 二维问题的有限55位移位移插值函函数：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元位移插值函数：3.3.2 二维问题的有限元56应变：CST单元元刚度矩度矩阵为：t为单元厚度，元厚度，k为一一个66的的对称矩矩阵。3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元应变：3.3.2 二维问题的有限元57双线性四边形单元（双线性四边形单元（Q4）位移函位移函数：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元双线性四边形单元（Q4）3.3.2 二维问题的有限元58例子：例子：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元例子：3.3.2 二维问题的有限元59网格划分：网格划分：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元网格划分：3.3.2 二维问题的有限元60计算结果：计算结果：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元计算结果：3.3.2 二维问题的有限元61载荷的变换：载荷的变换：集中力集中力(点点载荷荷)，面力，面力(压力力载荷荷)，体力，体力(重力重力)为三三种主主要的外要的外载荷。荷。面力和体力都需要面力和体力都需要经过变换以后才能加到有限元中。以后才能加到有限元中。变换的基本思想就是：等效功。的基本思想就是：等效功。3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元载荷的变换：3.3.2 二维问题的有限元62其中，其中，t为单元厚度，元厚度，L为单元元边长，un为垂直于垂直于边界界AB的位移分量。的位移分量。对于于Q4单元元来说，有：，有：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元3.3.2 二维问题的有限元63应力计算：应力计算：单元元内的的应力力计算公式算公式为：B为应变与节点位移之点位移之间的的关系矩系矩阵，d为计算后的算后的节点位移向量。点位移向量。我我们可以可以计算出算出单元元内部任意一点的部任意一点的应力，包括力，包括单元中元中心和心和节点位置。点位置。应力分布的等力分布的等值线可以通可以通过后后处理理软件件显示出示出来。3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元应力计算：3.3.2 二维问题的有限元64讨论：讨论：1）需要了解每）需要了解每个单元元类型的特性：型的特性：T3和和Q4：线性位移，常量性位移，常量应变和和应力力T6和和Q8：二次位移，：二次位移，线性的性的应变和和应力力2）对于一于一个特定的特定的问题选择一一种合适的合适的单元元毫无疑毫无疑问，应该尽可能地采用高可能地采用高阶单元和元和细网格。格。3）要避免）要避免单元具有大形元具有大形状比和尖角：比和尖角：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元讨论：3.3.2 二维问题的有限元65讨论：讨论：4）单元之元之间要互相要互相连通：通：在有限元模型中不能存在在有限元模型中不能存在间隙或自由隙或自由单元。元。3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元二维问题的有限元讨论：3.3.2 二维问题的有限元663.3 3.3 3.3 3.3 有限元求解技术有限元求解技术有限元求解技术有限元求解技术3.3.13.3.1 方程组求解方程组求解3.3.2 3.3.2 有限元方法的实质有限元方法的实质3.3.3 3.3.3 数值误差数值误差3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性3.3 有限元求解技术3.3.1 方程组求解67直接法（高斯消去法）：直接法（高斯消去法）：求解求解时间是和是和NB2成正比（成正比（N为矩矩阵的的维数，B为矩矩阵的的带宽）适合小到中等适合小到中等规模的模的问题，小，小带宽的的问题。对于多重于多重载荷的情荷的情况，容易，容易处理。理。迭代法：迭代法：求解求解时间事先不可事先不可预知知降低降低对存存储空空间的要求的要求适合大型适合大型规模模问题的求解（的求解（带宽可以很大，收可以很大，收敛快）快）对于不同于不同载荷的工荷的工况需要重新求解。需要重新求解。3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 方程组求解方程组求解直接法（高斯消去法）：3.3.1 方程组求解68高斯消去法例子：高斯消去法例子：回代求解：回代求解：3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 方程组求解方程组求解高斯消去法例子：3.3.1 方程组求解69迭代法（高斯迭代法（高斯-赛德尔）例子：赛德尔）例子：从一一个初始解初始解X(0)开始按照以下公式始按照以下公式计算：算：一直到一直到X满足以下足以下条件，迭代件，迭代终止。止。其中其中为收收敛控制的容忍控制的容忍误差。差。3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 方程组求解方程组求解迭代法（高斯-赛德尔）例子：3.3.1 方程组求解70有限元模型有限元模型是基于很多近似以后对实际结构的是基于很多近似以后对实际结构的一个数学模型。一个数学模型。实际结构实际结构具有无限个节点，所以具有无限个自具有无限个节点，所以具有无限个自由度。由度。有限元模型有限元模型具有有限个节点，所以具有有限个具有有限个节点，所以具有有限个自由度。自由度。位移位移场是被有限是被有限个节点位移的点位移的值所控制的：所控制的：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 有限元方法的实质有限元方法的实质有限元模型是基于很多近似以后对实际结构的一个数学模型。371刚度效果：度效果：有限元模型比有限元模型比实际结构要更要更刚一些。一些。一般一般来说，位移解要比，位移解要比实际情情况偏小一些。偏小一些。所以，有限元所以，有限元计算的位移是精确解的一算的位移是精确解的一个下限：下限：3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 有限元方法的实质有限元方法的实质刚度效果：3.3.2 有限元方法的实质72误差误差错误（模型和计算）。错误（模型和计算）。误差的类型：误差的类型：模型模型误差（梁，板，差（梁，板，理，理论）离散离散误差（有限，分段，差（有限，分段，）数值误差（在求解有限元方程差（在求解有限元方程组的的时候）候）例子（数值误差）：例子（数值误差）：3.3.3 3.3.3 3.3.3 3.3.3 数值误差数值误差误差错误（模型和计算）。3.3.3 数值误差73有限元方程组为：有限元方程组为：如果如果K2 K1的的话，方程，方程组是非病是非病态的：的：在有限元模型中不同部分的在有限元模型中不同部分的刚度相差很大的度相差很大的话有可能有可能导致有限元方程致有限元方程组的病的病态，产生很大的生很大的误差。差。病病态方程方程组的情的情况下，很小的下，很小的输入入变化量（右端化量（右端项向量）向量）求解求解时会引起很大的引起很大的变化量。化量。3.3.3 3.3.3 3.3.3 3.3.3 数值误差数值误差如果K2 K1的话，方程组是非病态的：3.3.3 数75随着有限元模型中的网格不断地被加密和细化，随着有限元模型中的网格不断地被加密和细化，有限元的计算结果将收敛于被求解的问题的数学有限元的计算结果将收敛于被求解的问题的数学模型的精确解。模型的精确解。有限元网格自适应类型：有限元网格自适应类型：h-refinement:减小小单元尺寸（元尺寸（h指指单元的尺寸）。元的尺寸）。p-refinement:增加增加单元多元多项式式插值函函数的的阶次（次（p指指更高更高阶次的多次的多项式式插值函函数）。）。r-refinement:重新重新划分有限元分有限元网格。格。hp-refinement:h方法和方法和p方法互相方法互相结合的方法。合的方法。3.3.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性随着有限元模型中的网格不断地被加密和细化，有限元的计算结果将76网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：3.3.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性网格自适应类型例子：3.3.4 有限元求解的收敛性77网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：3.3.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性网格自适应类型例子：3.3.4 有限元求解的收敛性78网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：3.3.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性网格自适应类型例子：3.3.4 有限元求解的收敛性793.4 3.4 3.4 3.4 板壳单元板壳单元板壳单元板壳单元3.4.13.4.1 板理论板理论3.4.2 3.4.2 板单元板单元3.4.3 3.4.3 壳和壳单元壳和壳单元3.4 板壳单元3.4.1 板理论80板理论：板理论：平板平板横向加向加载弯曲效曲效应为主主注意：注意：应用范围：应用范围：剪力剪力墙地板地板架子等架子等3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论板理论：3.4.1 板理论81板板单元的力和元的力和弯矩：矩：应力：力：3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论板单元的力和弯矩：3.4.1 板理论82板板单元的力和元的力和应力之力之间的的关系：系：单位位长度的度的弯矩：矩：单位位长度的度的扭矩：矩：单位位长度的剪力：度的剪力：最大最大弯曲曲应力：力：最大最大弯曲曲应力力总是在是在在中性在中性层没有有弯曲曲应力（力（与梁梁单元元类似）似）3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论板单元的力和应力之间的关系：3.4.1 板理论83薄板理论（薄板理论（Kichhoff 板理论）：板理论）：直法直法线假假设（与梁梁单元元类似）：似）：与中性中性层垂直的直法垂直的直法线在在变形后仍然形后仍然与中性中性层保持垂直，也就保持垂直，也就是是说没有剪切有剪切变形：形：位移：位移：3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论薄板理论（Kichhoff 板理论）：3.4.1 板理论84应变：注意：在中性注意：在中性层没有拉伸有拉伸变形。形。应力（平面力（平面应力）：力）：剪力和剪力和弯矩：矩：3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论应变：85厚板理论（厚板理论（Mindlin 板理论）：板理论）：如果板厚不如果板厚不够薄，即薄，即 t/L 1/10，应该采用厚板理采用厚板理论。直直线假假设：该理理论认为在在变形形过程中截面角度程中截面角度发生改生改变，即：即：与中性中性层垂直的直垂直的直线在在变形后形后与中性中性层不再保持垂直，但仍然不再保持垂直，但仍然是直是直线。3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论厚板理论（Mindlin 板理论）：3.4.1 板理论86新的新的独立立变量：量：x和和y：分：分别为直直线沿沿x轴和和y轴的旋的旋转角度，角度，变形前形前该直直线与与中性中性层垂直。垂直。新的新的关系：系：注意：如果我注意：如果我们引入以下引入以下条件，厚板理件，厚板理论又可以退化成又可以退化成薄板理薄板理论。3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 板理论板理论新的独立变量：3.4.1 板理论87Kichhoff 板单元：板单元：四四节点四点四边形形单元元每每个节点的自由度：点的自由度：每每个单元的元的z方向的位移方向的位移为：3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 板单元板单元Kichhoff 板单元：3.4.2 板单元88Kichhoff 板板单元是一元是一种不不协调单元，但是其元，但是其刚度矩度矩阵仍仍旧可以可以写成：成：B为应变与位移的位移的关系矩系矩阵，E为应力力应变关系矩系矩阵。3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 板单元板单元Kichhoff 板单元是一种不协调单元，但是其刚度矩阵仍旧89Mindlin 板单元：板单元：4-nodes四四边形形单元元 8-nodes四四边形形单元元 每每个节点的自由度：点的自由度：每每个单元有：元有：三三个独立的位移立的位移场对Q4，w(x,y)是是线性的，性的，对Q8，w(x,y)是二次。是二次。3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 板单元板单元Mindlin 板单元：3.4.2 板单元90离散的离散的Kichhoff 板单元（板单元（DKT）：）：三角形板三角形板单元，推元，推导开始于始于6-nodes三角形三角形单元：元：每每个角角节点的自由度：点的自由度：每每个中中节点的自由度：点的自由度：总自由度自由度为21。然后引入然后引入边界界条件：件：减少自由度。少自由度。3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 板单元板单元离散的Kichhoff 板单元（DKT）：3.4.2 板单91可以得到：可以得到：每每个节点的自由度：点的自由度：总自由度自由度为9（DKT单元）。元）。DKT 板板单元的元的w(x,y)也是不也是不协调位移函位移函数，DKT板板单元收元收敛速度快，有效。速度快，有效。3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 板单元板单元可以得到：3.4.2 板单元92壳：具有弯曲面的薄结构壳：具有弯曲面的薄结构例子：例子：鸡蛋蛋壳（自然界的奇迹）（自然界的奇迹）容器，管道，罐容器，管道，罐汽汽车车身身屋屋顶，穹，穹顶结构的建筑，等等的建筑，等等3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 壳与壳单元壳与壳单元壳：具有弯曲面的薄结构3.4.1 壳与壳单元93壳中的力：中的力：膜力膜力+弯矩（板只能承受矩（板只能承受弯矩）矩）例子：例子：圆柱形容器柱形容器3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 壳与壳单元壳与壳单元壳中的力：3.4.1 壳与壳单元94壳理理论：薄薄壳理理论厚厚壳理理论在力在力学中，中，壳理理论是一是一种在列式和分析方面最在列式和分析方面最复杂的理的理论之一。（前之一。（前苏联的科的科学家家贡献很大）：很大）：工程工程技能技能需要很强的分析技巧需要很强的分析技巧3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 壳与壳单元壳与壳单元3.4.1 壳与壳单元95平板壳单元（应用最广泛）：平板壳单元（应用最广泛）：比比较：杆：杆单元元+简单梁梁单元元=一般的梁一般的梁单元元 膜膜单元元+平板平板单元元 =平板平板壳单元元每每个节点的自由度：点的自由度：Q4或或Q8壳单元：元：3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 壳与壳单元壳与壳单元平板壳单元（应用最广泛）：3.4.1 壳与壳单元96弯曲壳单元：弯曲壳单元：基于基于壳理理论最一般的最一般的壳单元元平板平板壳单元和板元和板单元是其子集元是其子集列式和推列式和推导极其其复杂3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 壳与壳单元壳与壳单元弯曲壳单元：3.4.1 壳与壳单元