高等代数 集合与映射

高等代数高等代数 集合与映射集合与映射一、集合一、集合二、映射二、映射6.1 集合集合映射映射6.1 集合 映射一、一、集合集合(set)(set)把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合；常用大写字母常用大写字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；当当a是集合是集合A的元素时，就说的元素时，就说a 属于属于A，记作，记作 ；当当a不是集合不是集合A的元素时，就说的元素时，就说a不属于不属于A，记作，记作 .1 1、定义、定义组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素（元素（element）用小写字母用小写字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 6.1 集合 映射 关关于于集集合合没没有有一一个个严严谨谨的的数数学学定定义义，只只是是有有一一个个描描述述性性的的说说明明集集合合论论的的创创始始人人是是19世世纪纪中中期期德德国国数数学学家家康康托托尔尔（GCantor），他他把把集集合合描描述述为为：所所谓谓集集合合是是指指我我们们直直觉觉中中或或思思维维中中确确定定的的，彼彼此此有有明明确确区区别别的的那那些些事事物物作作为为一一个个整整体体来来考考虑虑的的结结果果；集集合合中中的的那那些些事事物物就就称称为为集集合合的的元元素素即即，集集合合中中的元素具有：确定性、互异性、无序性的元素具有：确定性、互异性、无序性.注意注意6.1 集合 映射集合的表示方法一般有两种：集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 描述法（描述法（描述法（描述法（descriptiondescriptiondescriptiondescription）：）：）：）：列举法（列举法（列举法（列举法（enumerationenumerationenumerationenumeration）：）：）：）：Mx|x具有性质具有性质P Ma1，a2，an把构成集合的全部元素一一列举出来把构成集合的全部元素一一列举出来.给出这个集合的元素所具有的特征性质给出这个集合的元素所具有的特征性质.6.1 集合 映射例例1 1例例2 2 N ，2Z 例例3 3 空集：空集：不含任何元素的集合，记为不含任何元素的集合，记为 注意注意注意注意 约定：约定：空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合.6.1 集合 映射2、集合间的关系、集合间的关系 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是 A的的子集（子集（subset），记作，记作，（读作，（读作B包含包含 于于A）.当且仅当当且仅当 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB.AB当且仅当当且仅当 且且 6.1 集合 映射3、集合间的运算、集合间的运算 交：交：；并：并：；显然有，显然有，6.1 集合 映射二、映射二、映射设设M、M是给定的非空集合，如果有是给定的非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则，通过这个法则对于对于M的每一个元素的每一个元素a，都有都有M中一个确定的元素中一个确定的元素a与它对应与它对应,则称则称 为为称称 a为为 a 在映射在映射下的下的象（象（image），而，而 a称称a在在映射映射下的下的原象（原象（inverse image），记作，记作(a)a或或M到到M的的映射（映射（mapping），记作，记作 .1、定义、定义6.1 集合 映射1.1.设映射设映射 ,集合集合称之为称之为M在映射在映射下的下的象象，通常记作，通常记作 Im2.集合集合M 到到M 自身的映射称为自身的映射称为M 的一个的一个变换变换 显然，显然，注意注意 6.1 集合 映射例例4 4M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一个映射，是一个映射，例例5 5 任意一个在实数集任意一个在实数集R上的函数上的函数 yf(x)都是实数集都是实数集R到自身的映射，到自身的映射，称称 I 为为 M 上的上的恒等映射（恒等映射（identity mapping）或或即，函数可以看成是映射的一个特殊情形即，函数可以看成是映射的一个特殊情形 单位映射单位映射 6.1 集合 映射2 2、映射的乘积、映射的乘积设映射设映射 ，(a)(a)即相继施行即相继施行和和的结果，的结果，是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 乘积乘积定义为：定义为：6.1 集合 映射1.对于任意映射对于任意映射 ，有，有 2.设映射映射，有有注意注意注意注意6.1 集合 映射3 3、映射的性质、映射的性质设映射设映射（1）若）若，即，即对于任意于任意，均存在，均存在（surjection）或称或称 为为映上（映上（onto）的的；，使，使 ，则称，则称 是是M到到M的一个的一个满射满射6.1 集合 映射（3）若）若既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称为为双射双射（bijection）,（或称（或称为为 1-1对应对应）.则称则称是是M到到M的一个的一个单射（单射（injection）或称或称（或（或），），（2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 为为1-1（one to one）；6.1 集合 映射例例6 6 判断下列映射的性质判断下列映射的性质（1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2（既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射）：(a)3，(b)2，(c)1（2）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是满射，但不是单射是满射，但不是单射）（3）M，MP，（，（P为数域）数域）：(A)|A|，（是满射，但不是单射是满射，但不是单射）（双射双射）6.1 集合 映射（4）MP，M P为数域为数域,E为n级单位矩位矩阵：(a)aE，（是单射，但不是满射是单射，但不是满射）：(a)a0，（既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射）（6）MMPx，P为数域为数域：(f(x)f(x)，（是满射，但不是单射是满射，但不是单射）（5）M、M为任意非空集合，任意非空集合，为固定元素固定元素 6.1 集合 映射（7）M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，（8）M=Z，M2Z，：(n)2n,（双射双射）（双射双射）6.1 集合 映射4 4、可逆映射、可逆映射定义定义定义定义 设映射设映射若有映射若有映射使得使得则称则称为为可逆映射（可逆映射（invertible mapping），为为的的的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作1逆映射逆映射，6.1 集合 映射 1.若若为可逆映射，则为可逆映射，则1也为可逆映射，且也为可逆映射，且 （1）1注意注意2.2.为可逆映射，可逆映射，若，若则有则有3.3.为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是 为为1-1对应对应6.1 集合 映射证：若映射若映射为1-1对应，则对均存在唯一的均存在唯一的，使，使(x)y，作对应作对应 即即；即即为可逆映射可逆映射 则是一个是一个M到到M的映射的映射,且且对 6.1 集合 映射即即,所以所以为满射射.其次，其次，对，则 即即为单射为单射.所以所以为为1-1对应对应反之，反之，设 为可逆映射，可逆映射，则 6.1 集合 映射例例7 7 设映射设映射，证明：，证明：（1）如果）如果 h 是单射，那么是单射，那么 f 也是单射；也是单射；这与这与h是单射矛盾，是单射矛盾，f 是单射是单射证：证：若若 f 不是单射，则存在不是单射，则存在 于是有于是有6.1 集合 映射（2）如果）如果 h 是满射，那么是满射，那么 g 也是满射；也是满射；证：证：h 是满射，是满射，即，即，g 是满射是满射又又6.1 集合 映射（3）如果）如果 f、g 都是双射，那么都是双射，那么 h 也是双射，并且也是双射，并且证：证：因为因为 g 是满射，存在是满射，存在,使使又因为又因为 f 是满射，存在，使是满射，存在，使h是满射是满射6.1 集合 映射若若，由于，由于 f 是单射，有是单射，有又因为又因为 g 是单射，有是单射，有即即,因而因而 h 是双射是双射h 是单射是单射.6.1 集合 映射6.1 集合 映射结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！28