高数 弧微分与曲率

高数高数 弧微分与曲率弧微分与曲率一、一、曲线弧的微分曲线弧的微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长2则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:称为曲线的弧微分公式弧微分公式。3例例1 1求正弦曲线解解 因为，所以 例例2 2 求第一象限内星形线的弧微分。所以的弧微分。解解 因为4二、曲率与曲率半经二、曲率与曲率半经在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为定义定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率曲率注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!对应切线转角为5例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.6有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由7说明说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则若曲线在点M处的曲率K不为零，称为曲线在点M处的曲率半经曲率半经。8例例2 2 求曲线在点处的曲率半径。解解 方程两边同时对x求导，整理得 两边再对x求导，整理得将点代人（1）得将点代人（2）得故曲线在点处的曲率半径9例例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.10例例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解解:显然11内容小结内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率半径12作业作业P166 1；2；4;5.13例例4.求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小求驻点:14设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.15例例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.16