单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义余弦函数的定义都昌三中都昌三中 高一数学组高一数学组问题问题引航引航 1.1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？余弦函数的定义域是什么？2.2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.3.任意角的三角函数的定义是什么？任意角的三角函数的定义是什么？锐角的正弦、余弦函数的定义锐角的正弦、余弦函数的定义：对边对边邻边邻边斜边斜边 以原点为以原点为O圆心，以单位长圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆度为半径的圆叫做单位圆x(1,0)OP(u,v)yMx当点当点P(u,v)就是就是 的终边与单位圆的交点时的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？锐角三角函数会有什么结果？下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数定义：任意角的正弦函数、余弦函数定义：xyOP(u,v)A(1,0)（1）v叫做叫做的正弦，记的正弦，记作作sin，即即sin=v；（2）u叫做叫做的余弦，记作的余弦，记作 cos，即，即cos=u 如图，设如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆是一个任意角，它的终边与单位圆交于点交于点P(u,v)，那么：，那么：三角函数三角函数 都是以角为自变量都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标以单位圆上的点的坐标(比值比值)为为函数值的函数函数值的函数.角角(弧度数弧度数)实数实数三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数一一对应一一对应 定义域定义域 函数函数1.1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数v vu u全体实数全体实数全体实数全体实数2.2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号方法规律：方法规律：正弦上正下负，余弦右正左负。正弦上正下负，余弦右正左负。3.3.任意角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数(1)(1)前提：设角前提：设角的顶点是坐标系的原点，始边与的顶点是坐标系的原点，始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合，角轴重合，角终边上任一点终边上任一点Q(x,y).Q(x,y).(2)(2)结论：结论：OQOQ的长度为的长度为 且且sin=_sin=_，cos=_.cos=_.1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)sin,cos(1)sin,cos 中可以将中可以将“”与与“sin”sin”，“cos”cos”分开分开.().()(2)(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.().()(3)(3)角角终边上有一点终边上有一点P(1P(1，1)1)，故，故cos=1.()cos=1.()【解析】【解析】(1)(1)错误错误.符号符号sin,cos sin,cos 是一个整体，不能分开是一个整体，不能分开.(2)(2)正确正确.终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)(3)错误错误.P(1,1),x=1,y=1,.P(1,1),x=1,y=1,故故cos=cos=2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)已知角已知角终边经过点终边经过点 则角则角的最小正值是的最小正值是_._.(2)(2)角角的终边经过点的终边经过点P(m,4)P(m,4)，且，且cos=cos=则则m=_.m=_.(3)(3)角角满足满足sin 0,cos 0,cos 0sin 0时时,在第一、二象限及在第一、二象限及y y轴正半轴，当轴正半轴，当cos 0cos 0,cos 0,cos 0时，时，在第二象限在第二象限.答案：答案：二二 【即时练即时练】当角当角=0=0时，时，sin=_sin=_；若角；若角=-3=-3，则，则sin sin 的符号为的符号为_(_(填填“正正”或或“负负”).).【解析解析】当角当角=0=0时，时，sin=0sin=0；若角；若角=-3=-3，则角，则角是第三是第三象限角，所以象限角，所以sin sin 0.0.答案：答案：0 0 负负 【题型示范题型示范】类型一类型一 任意角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014石家庄高一检测石家庄高一检测)已知角已知角与单位圆的一个交点坐与单位圆的一个交点坐标是标是 则则cos cos 等于等于()()(2)(2)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(P(2,2,4)4)，求角，求角的正、余弦函的正、余弦函数值数值.【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D.D.因为因为 所以所以故故cos=cos=(2)(2)因为点因为点P(P(2,2,4)4)在角在角的终边上，故的终边上，故u u1 1=2 2，v v1 1=4 4，可知，可知r=r=OPOP =所以所以sin=sin=cos=cos=【变式训练变式训练】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2P(2，-3)-3)，则，则cos cos 的值的值是是()()【解析解析】选选C.C.角角的终边经过点的终边经过点P(2P(2，-3)-3)，故，故 由三由三角函数的定义知角函数的定义知 故选故选C C【考题链接考题链接】(20132013西安高一检测西安高一检测)已知角已知角为第二象限的角为第二象限的角.P(a,4)P(a,4)为为终边上一点，且终边上一点，且sin=sin=则则sin+cossin+cos的值为的值为_ ._ .【解析】【解析】|OP|=r=|OP|=r=由由sin=sin=得得所以所以a=3.a=3.又又为第二象限的角为第二象限的角,所以所以a=-3,a=-3,所以所以cos=cos=所以所以sin+cos=sin+cos=15类型二类型二 三角函数值的符号的应用三角函数值的符号的应用【典例【典例2 2】(1)(1)(已知角已知角是第二象限角，则点是第二象限角，则点P(sin,cos)P(sin,cos)在第在第_ 象限象限.(2)(2)确定下列各式的符号确定下列各式的符号.cos200.cos200.sin160+cos(-40).sin160+cos(-40).sin210cos260.sin210cos260.【自主解答自主解答】(1)(1)因为角因为角是第二象限角，所以是第二象限角，所以sin sin 0 0，cos cos 0 0，所以点，所以点P P的坐标符号是的坐标符号是(+,(+,)，所以点，所以点P P在第四象限在第四象限.(2)200(2)200为第三象限的角，所以为第三象限的角，所以cos 200cos 2000.0.160 160为第二象限的角，所以为第二象限的角，所以sin 160sin 1600.-400.-40为第四象限的角，为第四象限的角，所以所以cos(-40)cos(-40)0,0,所以所以sin 160+cos(-40)sin 160+cos(-40)0.0.210210为第三象限的角，为第三象限的角，sin 210sin 2100,2600,260为第三象限的角，为第三象限的角，所以所以cos 260cos 2600,0,所以所以sin 210cos 260sin 210cos 2600.0.四四【方法技巧方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】【变式训练】确定下列各式的符号确定下列各式的符号.(1)sin 2 014.(1)sin 2 014.(2)(2)(3)sin 4cos 4.(3)sin 4cos 4.【解析】【解析】(1)2 014=3605+214,(1)2 014=3605+214,所以所以2 0142 014为第三象为第三象限的角限的角,所以所以sin 2 014sin 2 0140.0.(2)(2)为第四象限的角为第四象限的角,所以所以cos cos 0.0.(3)4(3)4 所以所以4 rad4 rad为第三象限的角为第三象限的角.所以所以cos 4cos 40 0，sin 4sin 40.0.所以所以sin 4cos 4sin 4cos 40.0.【考题链接考题链接】（20142014西安高一检测西安高一检测)sin(sin(140)cos 740140)cos 740的的值值()()A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 C.0 C.小于小于0 0 【解析】【解析】选选C C.140140是第三象限角，所以是第三象限角，所以sin(sin(140)140)0 0，740=2360+20740=2360+20，所以，所以740740是第一象限角，所以是第一象限角，所以 cos 740cos 7400 0，所以，所以sin(sin(140)cos 740140)cos 7400.0.【易错误区易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 【典例典例】(2014(2014泰安高一检测泰安高一检测)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(P(3m,m)(m0)3m,m)(m0)，则，则sin=_.sin=_.错解解 错 因因 剖剖 析析 忽略了忽略了对参数参数m的取的取值符号的符号的讨论，而得，而得到到错误结果果【解析解析】由题意得：由题意得：|OP|=|OP|=当当m m0 0时，时，|OP|=|OP|=则则sin=sin=当当m m0 0时，时，|OP|=|OP|=则则sin=sin=答案：答案：或或【类题试解类题试解】已知角已知角的终边过点的终边过点P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，则，则cos=_.cos=_.【解析解析】由题意可得：由题意可得：|OP|=|OP|=当当a a0 0时，时，|OP|=5a|OP|=5a，则，则当当a a0 0时，时，|OP|=-5a|OP|=-5a，则，则答案：答案：或或课课 堂堂 总总 结结1、任意角三角函数的定义：、任意角三角函数的定义：2、解题方法总结、解题方法总结（1）已知交点）已知交点P的坐标，直接用定义的坐标，直接用定义（2）已知角，则先求交点）已知角，则先求交点P的坐标再用定义的坐标再用定义若已知角若已知角终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点P(u，v)，则：，则：3 3、正弦、余弦函数值的正负规律、正弦、余弦函数值的正负规律正弦上正下负，余弦右正左负。正弦上正下负，余弦右正左负。v=asinu=acos再再 见！见！感感 谢谢 指指 导导 ！