线性代数--第三章-矩阵的初等变换

线性代数线性代数-第三章第三章-矩阵矩阵的初等变换的初等变换1 矩矩 阵阵 的的 初初 等等 变变 换换 二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换1、定义、定义下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)2、定义、定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统统 称称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型且变换类型相同相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价3 3、定义、定义3 3 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩经有限次初等变换变成矩阵阵B，就称矩阵，就称矩阵A与与B等价等价，记作，记作A B引例引例 求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程同解方程组同解方程组二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组解解用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：解得解得小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组程组(1)的增广矩阵的增广矩阵）的变换）的变换用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（2）：）：特点：特点：（1）可划出一）可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；（2）每个台）每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵4、特点：特点：（1）是行阶梯）是行阶梯形矩阵形矩阵（2）非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1非零首元非零首元1所所在的列其他元素为在的列其他元素为0都称为都称为行最简形矩阵行最简形矩阵矩阵矩阵5、行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形例如，例如，例例1 将下列矩阵化为行最简形，标准形将下列矩阵化为行最简形，标准形1 1、定义、定义 由单位矩阵由单位矩阵 E 经过经过一次一次初等变换得到初等变换得到的方阵称为的方阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念2、三种初等矩阵、三种初等矩阵例例2 以下矩阵是否初等矩阵以下矩阵是否初等矩阵?4、初等矩阵均可逆、初等矩阵均可逆3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用例例4 4 定理定理1 1 设设 A 是一个是一个 m n 矩阵矩阵 ,对对 A 施行一施行一次初等次初等行行变换，相当于在变换，相当于在 A 的的左左边乘边乘以相应的以相应的 m 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 A 施行一次初等施行一次初等列列变换变换 ,相当于相当于在在 A 的的右右边乘以相应的边乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵.初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵左乘：行变左乘：行变右乘：列变右乘：列变五、初等行变换求逆矩阵五、初等行变换求逆矩阵 解解例例5 5例例6 6解解2 矩矩 阵阵 的的 秩秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩显然有：显然有：例例1解解例例2 2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，例例3解解问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法1、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵的秩.2、例例2 另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！此方法简单！例例4行初等变换行初等变换则这个子式便是则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例5 5解解分析：分析：例例6解：解：第二、三行元素成比例，第二、三行元素成比例，所以，所以，另解另解因为因为R(A)=2，所以所有的三阶子式都等于，所以所有的三阶子式都等于零。所以零。所以例例7三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论9.例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明利用利用(A+E)-(A-E)=2E3 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解解一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件 线性方程组线性方程组系数矩阵为系数矩阵为线性方程组可记为：线性方程组可记为：复习，引入复习，引入1)m=n 时时,A 是是 n 阶方阵阶方阵,若若|A|0,则可用克拉则可用克拉默法则求唯一解，或用默法则求唯一解，或用 A 的逆矩阵表示解的逆矩阵表示解 2)若若 解唯一解唯一D=|A|0；3)解不唯一或无解，则解不唯一或无解，则D=|A|=04)若若|A|=0，则有解时如何求解？，则有解时如何求解？2)对一般的情况对一般的情况mn如何判定有没有解如何判定有没有解?有解时如何求解有解时如何求解?例例1 1 若某方程组经同解变换化为若某方程组经同解变换化为显然显然，有唯一解有唯一解.例例2 若某方程组经同解变换化为若某方程组经同解变换化为显然显然，无解无解.例3 解方程组解解无解无解.例4 解方程组解解为方程组的全部解为方程组的全部解.增广矩阵经 行 初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系：行最简形矩阵行最简形矩阵中中非零行的行数非零行的行数 未知量个数未知量个数无穷多解无穷多解该数不为零，该数不为零，无解无解行最简形矩阵行最简形矩阵中中非零行的行数非零行的行数=未知量个数未知量个数唯一解唯一解1.非齐次线性方程组非齐次线性方程组有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=无解无解bAx=()()BRAR 例例5 5 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法例例6 6 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组例例7 7 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组2.2.齐次方程方程组齐次方程方程组例例8 8 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组故方程组无解故方程组无解例例9 9 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组例例10 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解例例11 11 设有线性方程组设有线性方程组解解其通解为其通解为这时又分两种情形：这时又分两种情形：另解另解:由于由于方程个数等于未知数个数方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法可考虑用下面的方法:齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解简形矩阵，便可写出其通解.求解线性方程组步骤求解线性方程组步骤:求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组 练习：求齐次线性方程组练习：求齐次线性方程组 练习练习1：讨论讨论a取何值时，方程组有唯一解？取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？有无穷多解？无解？练习练习2：方程组何时有解，：方程组何时有解，并求其通解并求其通解 三、推广到矩阵方程三、推广到矩阵方程定理定理7 矩阵方程矩阵方程AX=B有解充要条件是有解充要条件是R(A)=R(A,B).定理定理8 设设AB=C,则则定理定理9 矩阵方程矩阵方程 只有零解的充分必只有零解的充分必要条件是要条件是R(A)=n.()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结本章重点本章重点 矩阵的初等变换（三种行、三种列）、初等矩阵矩阵的初等变换（三种行、三种列）、初等矩阵 初等行变换的应用：初等行变换的应用：（1 1）求逆矩阵）求逆矩阵 （2 2）解矩阵方程）解矩阵方程 （3 3）求矩阵的秩）求矩阵的秩 （4 4）求线性方程组的解）求线性方程组的解 线性方程组有解的判别条件线性方程组有解的判别条件