等比数列及其前n项和(一轮复习)

等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和(一一轮复习轮复习)1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计 算，如算，如2012年新课标全国年新课标全国T5，浙江，浙江T13等等2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及性质的综合应用，如项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北年湖北T18等等.怎怎 么么 考考归纳归纳知识整合知识整合1等比数列的相关概念等比数列的相关概念a1qn1na1探究探究1.b2ac是是a，b，c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？提示：提示：b2ac是是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，成等比数列的必要不充分条件，因为当因为当b0时，时，a，c至少有一个为零时，至少有一个为零时，b2ac成立，但成立，但a，b，c不成等比数列；若不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有成等比数列，则必有b2ac.2如何理解等比数列如何理解等比数列an与指数函数的关系？与指数函数的关系？2等比数列的性质等比数列的性质(1)对任意的正整数对任意的正整数m，n，p，q，若，若mnpq则则 .特别地，若特别地，若mn2p，则，则 .(2)若等比数列前若等比数列前n项和为项和为Sn则则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等仍成等比数列，即比数列，即(S2mSm)2 (mN*，公比，公比q1)(3)数列数列an是等比数列，则数列是等比数列，则数列pan(p0，p是常数是常数)也是等也是等比数列比数列(4)在等比数列在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为为等比数列，公比为qk.amanamanaSm(S3mS2m)apaq2p自测自测牛刀小试牛刀小试答案：答案：D1在等比数列在等比数列an中，如果公比中，如果公比q0,0q1，数列，数列an为递减数列，当为递减数列，当q0，a2a42a3a5a4a625，则，则a3a5的值为的值为_解析：由等比数列性质，已知转化为解析：由等比数列性质，已知转化为a2a3a5a25，即即(a3a5)225，又，又an0，故故a3a55.答案：答案：55在在1与与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是三个数分别是_等比数列的基本运算等比数列的基本运算例例1(1)(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知已知an为等比数列，为等比数列，a4a72，a5a68，则，则a1a10()A7B5C5D7(2)(2012辽宁高考辽宁高考)已知等比数列已知等比数列an为递增数列，且为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列，则数列an的通项公式的通项公式an_.(3)(2012浙江高考浙江高考)设公比为设公比为q(q0)的等比数列的等比数列an的的前前n项和为项和为Sn.若若S23a22，S43a42，则，则q_.25答案：答案：(1)B(2)B等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明例例2设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Sn14an2.(1)设设bnan12an，证明数列，证明数列bn是等比数列；是等比数列；自主解答自主解答(1)证明：证明：由由a11，及，及Sn14an2，有有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由由Sn14an2，知当知当n2时，有时，有Sn4an12，得得an14an4an1，an12an2(an2an1)又又bnan12an，bn2bn1.bn是首项是首项b13，公比，公比q2的等比数列的等比数列等比数列的判定方法等比数列的判定方法(2)等比中项公式法：若数列等比中项公式法：若数列an中，中，an0且且aanan2(nN*)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为均是不为0的常数，的常数，nN*)，则，则an是等比数列是等比数列(4)前前n项和公式法：若数列项和公式法：若数列an的前的前n项和项和Snkqnk(k为常数且为常数且k0，q0，1)，则，则an是等比数列是等比数列.注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于填空题中的判定用于填空题中的判定.2成等差数列的三个正数的和等于成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别，并且这三个数分别加上加上2、5、13后成为等比数列后成为等比数列bn中的中的b3、b4、b5.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；解：解：(1)设成等差数列的三个正数分别为设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得依题意，得adaad15，解得，解得a5.所以所以bn中的中的b3，b4，b5依次为依次为7d,10,18d.等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用例例3(1)在等比数列在等比数列an中，若中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则，则a41a42a43a44_.(2)已知数列已知数列an为等比数列，为等比数列，Sn为其前为其前n项和，项和，nN*，若，若a1a2a33，a4a5a66，则，则S12_.答案答案(1)1024(2)45等比数列常见性质的应用等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，通项公式的变形，等比中项的变形，等比中项的变形，前前n项和公式的变形根据题目项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口题的突破口3已知等比数列前已知等比数列前n项的和为项的和为2，其后，其后2n项的和为项的和为12，求，求再后面再后面3n项的和项的和解：解：Sn2，其后，其后2n项为项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数成等比数列，列，即即(S2n2)22(14S2n)解得解得S2n4，或，或S2n6.当当S2n4时，时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为是首项为2，公比为，公比为3的等比数列，的等比数列，则则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后再后3n项的和为项的和为S6nS3n36414378.当当S2n6时，同理可得再后时，同理可得再后3n项的和为项的和为S6nS3n12614112.故所求的和为故所求的和为378或或112.(1)注意注意q1时，时，Snna，这一特殊情况，这一特殊情况(2)由由an1qan(q0)，并不能断言，并不能断言an为等比数列，还为等比数列，还要验证要验证a10.(3)在应用等比数列的前在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对项和公式时，必须注意对q1和和q1分类讨论，防止因忽略分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错这一特殊情况而导致错误误(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公项和的公式中联系着五个量：式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，已知其中三个量，可以通过解方程可以通过解方程(组组)求出另外两个量；其中基本量是求出另外两个量；其中基本量是a1与与q，在解题中根据已知条件建立关于，在解题中根据已知条件建立关于a1与与q的方程或者方程组，的方程或者方程组，是解题的关键是解题的关键创新交汇创新交汇以等比数列为背景的新定义问题以等比数列为背景的新定义问题1在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题列也常与函数、不等式等形成交汇命题2对于此类新定义问题，只要弄清其本质，然后根据对于此类新定义问题，只要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决所学的数列的性质即可快速解决典例典例(2012湖北高考湖北高考)定义在定义在(，0)(0，)上上的函数的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是仍是等比数列，则称等比数列，则称f(x)为为“保等比数列函数保等比数列函数”，现有定义在，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：上的如下函数：则其中是则其中是“保等比数列函数保等比数列函数”的的f(x)的序号为的序号为()ABCD答案答案C1本题具有以下创新点本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数保等比数列函数”为新定义背景，为新定义背景，考查等比数列的有关性质考查等比数列的有关性质(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求2解决本题的关键有以下两点解决本题的关键有以下两点(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键答案：答案：B答案：答案：D“演练知能检测演练知能检测”见见“限时集训限时集训（三十二）（三十二）”1已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an中，中，a1a2a35，a7a8a910，则，则a4a5a6()答案：答案：A2设等比数列设等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S6 S31 2，则，则S9 S3等于等于()A1 2B2 3C3 4D1 3答案：答案：C3设正项等比数列设正项等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a34，a4a5a6212.(1)求首项求首项a1和公比和公比q的值；的值；(2)若若Sn2101，求，求n的值的值(1)令令bnan1an，证明，证明bn是等比数列；是等比数列；(2)求求an的通项公式的通项公式