函数的基本性质复习

函数的基本性质函数的基本性质(复习复习)对于属于对于属于定义域定义域 I 内内某个区间某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时时，都有都有f(x1)f(x2)，则称，则称f(x)这个区间上是这个区间上是增函数增函数.【定义定义】区间区间D称为称为f(x)的一个的一个递增区间递增区间。对于属于对于属于定义域定义域 I 内内某个区间某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当当x1f(x2)，则称，则称f(x)这个区间上是这个区间上是减函数减函数.区间区间D称为称为f(x)的一个的一个递减区间递减区间。单调性的概念单调性的概念2.2.证明函数单调性的基本步骤证明函数单调性的基本步骤.(1)(1)取值即设取值即设x x1 1,x x2 2是该区间内的任意两个是该区间内的任意两个值，且值，且x x1 1 0)0恒成立，试求实恒成立，试求实 数数a的取值范围的取值范围.思维启迪思维启迪 第第(1)(1)问可先证明函数问可先证明函数f(x)f(x)在在1,+)1,+)上的单调性上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第然后利用函数的单调性求解，对于第 (2)(2)问可采用转化为求函数问可采用转化为求函数f(x)f(x)在在1,+)1,+)上的最小上的最小 值大于值大于0 0的问题来解决的问题来解决.还可以使用分离参数法还可以使用分离参数法题型一题型一 函数单调性与最值函数单调性与最值思维启迪：思维启迪：求二次函数的最值需要有三看：求二次函数的最值需要有三看：开口方向，对称轴，区间开口方向，对称轴，区间当三者有一个不确定时，需当三者有一个不确定时，需讨论讨论题型二抽象函数的单调性与奇偶性题型二抽象函数的单调性与奇偶性将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单运用单调性调性“去掉去掉”,为此需将右边常数为此需将右边常数2看成某个看成某个变量的函数值变量的函数值.思维启迪：思维启迪：函数函数f(x)对任意的对任意的a、bR,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当并且当x0时，时，f(x)0.（1）求证：）求证：f(x)是是R上的增函数；上的增函数；（2）若）若f(4)=1,解不等式解不等式思维启迪思维启迪 问题问题(1)(1)是抽象函数单调性的证明是抽象函数单调性的证明,所以要用所以要用 单调性的定义单调性的定义.问题问题(2)(2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f f”运运 用单调性用单调性“去掉去掉”,为此需将右边常数为此需将右边常数3 3看成某个看成某个 变量的函数值变量的函数值.变式训练：变式训练：巩固练习：巩固练习：四四.课后练习：课后练习：1.1.设函数设函数f f（x x）（）（x Rx R）为奇函数，）为奇函数，f f（1 1），），f f（x+2x+2）=f=f（x x）+f+f（2 2），则），则f f（-5-5）等于）等于 2.2.判断函数判断函数f f（x x）=x(=x(|x|+2)|x|+2)的奇偶性的奇偶性.并利用其对称性并利用其对称性 画出它的图像画出它的图像.3.3.已知奇函数已知奇函数f f(x x)在区间在区间 a a，b b(0(0a ab b)上的最上的最大值是大值是3 3，则函数，则函数f f(x x)在区间在区间 b b，a a 上最上最 值，该值是值，该值是 4.4.已知已知 （1 1）若）若a=-2,=-2,试证试证f(x)在（在（-,-2-,-2）内单调递增；）内单调递增；（2 2）若）若a00且且f(x)在（在（1,+1,+）内单调递减，求）内单调递减，求a的取的取 值范围值范围.0a11奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内，若有若有f(-x)=-f(x),则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数；若有若有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。2图象性质图象性质:奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.3判断奇偶性方法：判断奇偶性方法：图象法，定义法。图象法，定义法。4定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提是函数具有奇偶性的前提6、解决利用函数的性质求参数的取值范围的问题时，、解决利用函数的性质求参数的取值范围的问题时，就要列出关于就要列出关于参数的不等式（组），参数的不等式（组），因而利用函数的单因而利用函数的单调性、奇偶性调性、奇偶性将将“抽象的不等式抽象的不等式”转化为转化为“具体的代数不等具体的代数不等式式”是关键。但要注意以下几点：是关键。但要注意以下几点：（1）奇函数在对称区间上的）奇函数在对称区间上的单调性一致单调性一致，偶函数的偶函数的单调性相反单调性相反；（2）不要漏掉函数自身）不要漏掉函数自身定义域对参数的影响定义域对参数的影响。5、函数的定义域内有、函数的定义域内有0，若函数是，若函数是奇函数奇函数，则，则f(0)=0