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专题限时集训(二十三)坐标系与参数方程不等式选讲 A组高考题体验练1(选修44)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.3分将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.5分(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组6分若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，7分由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，8分从而1a20，解得a1(舍去)或a1.9分当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.10分(选修45)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集图231解(1)由题意得f(x)2分故yf(x)的图象如图所示5分(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；6分当f(x)1时，可得x或x5.7分故f(x)1的解集为x|1x3，8分f(x)1的解集为.9分所以|f(x)|1的解集为.10分2(选修44)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率 【导学号：85952087】解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.2分(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得yxtan .4分设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知，圆心坐标为(6,0)，半径为5.5分又|AB|，由垂径定理及点到直线的距离公式得，即，8分整理得k2，解得k，即l的斜率为.10分法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R).3分设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，4分于是1212cos ，1211.5分|AB|12|.7分由|AB|得cos2，tan .9分所以l的斜率为或.10分(选修45)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(1)f(x)2分当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；3分当x时，f(x)2；4分当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.5分(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，6分从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.9分因此|ab|1ab|.10分3(选修44)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21，2分C2的直角坐标方程为xy40.4分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).5分因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，6分d().8分当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.10分(选修45)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|，当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.1分解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.4分(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，5分当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.7分当a1时，等价于1aa3，无解.8分当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).10分B组模拟题提速练1(选修44)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线C的极坐标方程为2cos ，直线l的参数方程为(t为参数，为直线的倾斜角)(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角的大小. 【导学号：85952088】解(1)当时，直线l的普通方程为x1；当时，直线l的普通方程为ytan (x1).3分由2cos ，得22cos ，所以x2y22x，即为曲线C的直角坐标方程.5分(2)把x1tcos ，ytsin 代入x2y22x，整理得t24tcos 30.6分由16cos2120，得cos2，所以cos 或cos ，8分故直线l的倾斜角为或.10分(选修45)设函数f(x)|x3|xa|，其中aR.(1)当a2时，解不等式f(x)1；(2)若对于任意实数x，恒有f(x)2a成立，求a的取值范围解(1)a2时，f(x)1就是|x3|x2|1.1分当x2时，3xx21，得51，不成立；2分当2x3时，3xx21，得x0，所以0x3；3分当x3时，x3x21，即51，恒成立，所以x3.4分综上可知，不等式f(x)1的解集是(0，).5分(2)因为f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，所以f(x)的最大值为|a3|.6分对于任意实数x，恒有f(x)2a成立，等价于|a3|2a.7分当a3时，a32a，得a3；8分当a3时，a32a，a1，不成立.9分综上，所求a的取值范围是3，).10分2(选修44)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x1)2y21.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为.以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|PB|1，求实数m的值解(1)曲线C的普通方程为(x1)2y21，即x2y22x，即22cos ，即曲线C的极坐标方程为2cos .2分直线l的参数方程为(t为参数).5分(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2y22x中，得t2(m)tm22m0，所以t1t2m22m.8分由题意得|m22m|1，得m1,1或1.10分(选修45)已知函数f(x)|x6|mx|(mR)(1)当m3时，求不等式f(x)5的解集；(2)若不等式f(x)7对任意实数x恒成立，求m的取值范围解(1)当m3时，f(x)5，即|x6|x3|5，当x6时，得95，所以x；当6x3时，得x6x35，即x1，所以1x3；当x3时，得95，成立，所以x3.4分故不等式f(x)5的解集为x|x1.5分(2)因为|x6|mx|x6mx|m6|.由题意得|m6|7，则7m67，8分解得13m1，故m的取值范围是13,1.10分3(选修44)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(t为参数)，P点的极坐标为(2，)，曲线C的极坐标方程为cos2sin .(1)试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；(2)设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值解(1)把xcos ，ysin 代入cos2sin ，可得曲线C的直角坐标方程为x2y，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为.5分(2)点P的直角坐标为(2,0)，它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0.由题意可知t0.7分把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得t25t80.8分因为(5)248180，所以t1t25，则|PM|t0|.10分(选修45)设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)0；(2)若f(x)3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围解(1)当x4时，f(x)2x1(x4)x50，得x5，所以x4成立.2分当x4时，f(x)2x1x43x30，得x1，所以1x4成立.4分当x时，f(x)x50，得x5，所以x5成立综上，原不等式的解集为x|x1或x5.6分(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|2x1(2x8)|9.8分当x4时等号成立，所以m9.10分4(选修44)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的任意点，求|AB|的最小值. 【导学号：85952089】解(1)C1：x2y30，C2：y21.4分(2)设B(2cos ，sin )，则|AB|.8分当且仅当2k(kZ)时，|AB|min.10分(选修45)设函数f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若xR，不等式f(x)a|x|恒成立，求实数a的取值范围解(1)不等式f(x)2等价于或或3分解得x0或x，因此不等式f(x)2的解集为.5分(2)当x0时，f(x)2，a|x|0，原式恒成立；6分当x0时，原式等价转换为a恒成立，即amin.8分1，当且仅当0，即x1时取等号，a1.10分
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