北京大学量子力学ppt课件-第7讲

第第 七七 讲讲.测不准关系测不准关系 W.Heisenberg指出：指出：当我们测量客体的当我们测量客体的动量如有一测不准度动量如有一测不准度（即客体动量在这区（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比它的位置比更精确更精确。也就是说，在同一。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足这称为这称为Heisenberg测不准关系。测不准关系。1这是实验的结果这是实验的结果;也是波一粒两象性的结果；也是波一粒两象性的结果；;也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。我们已从三个方面论述了它我们已从三个方面论述了它:（1 1）一些例子：）一些例子：A.A.具有确定动量具有确定动量（一维运动）的自由粒子，（一维运动）的自由粒子，是以是以 来描述，其几率密度来描述，其几率密度 这是实验的结果;也是波一粒两象性的结果；2B如一个自由粒子是由一系列沿如一个自由粒子是由一系列沿x方向的方向的平面波叠加而成的波包描述。平面波叠加而成的波包描述。这个波包扩展度的区域不是任意小，即这个波包扩展度的区域不是任意小，即B如一个自由粒子是由一系列沿x方向的3北京大学量子力学ppt课件-第7讲4于是有于是有（2 2）一些实验：）一些实验：A A位置位置测量：量：一束一束电子平行地沿子平行地沿x x方向入通方向入通过窄窄缝a a，从而，从而测出出y y方向的位方向的位置。置。由于波的衍射，由于波的衍射，在在y y方方向有一不确定度向有一不确定度于是有5北京大学量子力学ppt课件-第7讲6 B B用显微镜观测电子的位置：用显微镜观测电子的位置：成像总是一成像总是一衍射斑点。所以，衍射斑点。所以，显微镜的分辩率显微镜的分辩率为（即电子位置的精度为（即电子位置的精度）7但但所以，所以，（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 因波粒两象性的实验事实，要求用波函数因波粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。并有叠加性。从从Fourier变换理论变换理论+波函数几率解释波函数几率解释+态叠加态叠加原理，严格可证原理，严格可证 ，但8 （4 4）能量时间测不准关系的物理含意）能量时间测不准关系的物理含意 A.A.在空间固定处，发现体系如有一不确在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔定的时间间隔tt，那该体系的能量必有一扩，那该体系的能量必有一扩 展度展度EE，且有，且有 。B.B.体系几率分布发生大的改变需时间体系几率分布发生大的改变需时间tt，那体系的能量不确定度为那体系的能量不确定度为 ，使，使 9（5）一些应用举例：）一些应用举例：测不准关系可用作一些测不准关系可用作一些问题的数量级的估计问题的数量级的估计A类氢离子的基态能量估计：类氢离子的基态能量估计：设：类氢离子的电子轨道半径为设：类氢离子的电子轨道半径为r（在一（在一平面中），所以，不确定度平面中），所以，不确定度。因此。因此于是，于是，（5）一些应用举例：测不准关系可用作一些10由由 可得，可得，11 B.考虑重力下粒子的考虑重力下粒子的“静止静止”现作一简单的估计现作一简单的估计:经典经典“基态基态”是静止的。是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度而量子粒子其位置有一不确定度，动量也有，动量也有一不确定度一不确定度。所以，。所以，B.考虑重力下粒子的“静止”12所以，对于经典物理学，则认为所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于。而对于量子粒子则为量子粒子则为i.尘粒：尘粒：,;ii.电子：电子：。就我个人的看法：就我个人的看法：测不准关系是对两个物测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。所以，对于经典物理学，则认为z=0。而对于13 .一维定态问题一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。维问题是解决三维问题的基础。（1）一般性质一般性质设设粒粒子子具具有有质质量量m，沿沿x轴轴运运动动，位位势势为为 ，于是有于是有 14 。A.定理：一维运动的分立能级（束缚态），定理：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。一般是不简并的。简并度简并度（degeneracy）：一个力学量的测量）：一个力学量的测量值，值，可在可在 n个独立的（线性无关的）波函数中个独立的（线性无关的）波函数中测得，则测得，则称这一称这一测量值是具有测量值是具有n重简并度。重简并度。某能量本征值有某能量本征值有n个独立的定态相对应，则个独立的定态相对应，则称这能量本征值是称这能量本征值是n重简并的。重简并的。北京大学量子力学ppt课件-第7讲15 推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。然可保留一相因子）。B.不同的分立能级的波函数是正交的。不同的分立能级的波函数是正交的。C.振荡定理：振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范条能级的波函数，在其取值范围内有围内有n个节点（即有个节点（即有n个个x点使点使，不包括边界点，不包括边界点或或远）。远）。推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当16北京大学量子力学ppt课件-第7讲17（2）在无穷大位势处的边条件）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空：根据坐标空间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，现先证明现先证明位势若有有限大小间断时，波函位势若有有限大小间断时，波函数的导数仍连续。数的导数仍连续。由方程由方程即即（2）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空18由于由于存在，即存在，即 存在，存在，即即 的导数存在，所以函数连续，也就是波的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。函数导数连续。而在位势是无穷时又如何呢？而在位势是无穷时又如何呢？设设 由于19令令 ,所以，所以，得解得解 令20要求波函数有界，所以要求波函数有界，所以C0，要求波函数要求波函数x=0处连续，且导数连续处连续，且导数连续 当当E给定，给定，所以，所以，要求波函数有界，所以C0，21于是，当于是，当 ,方程有解方程有解 这表明，这表明，在无穷大的位势处，波函数为在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢当然，几率密度和几率流密度矢总是连续的。总是连续的。于是，当,方程有解22北京大学量子力学ppt课件-第7讲233.23.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题阶梯位势：讨论最简单的定态问题 3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题24 (1)(1)当当 令令 ，(1)当25由波函数有界由波函数有界,C0在在x0处，波函数连续，波函数导数连续，处，波函数连续，波函数导数连续，解得解得 ,由波函数有界,C026 对对E E没有限制，任何没有限制，任何E E都可取，即取连续值都可取，即取连续值。因它不是束缚态（因它不是束缚态（，并不趋于，并不趋于0 0），但），但它不简并（因它不简并（因，）。）。讨论：讨论：A.处，经典粒子不能去的地方，但处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。仍有一定的几率发现量子粒子。B区域，有沿区域，有沿x方向的平面波和沿方向的平面波和沿x反方向的平面波反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。且振幅相同，构成一驻波。对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。27这一驻波，在这一驻波，在处为处为0。x0 x028 C.几率流密度矢：几率流密度矢：i.透射几率流密度矢（透射几率流密度矢（）jT0（因（因 是实函数）是实函数）.在区域在区域 ，有向右的几率流密度，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢即入射几率流密度矢 =iii.在区域，也有左的几率流密度，即反在区域，也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢射几率流密度矢 =C.几率流密度矢：29所以，总几率流密度矢为所以，总几率流密度矢为 0。当当，入射，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域中。中。定义：定义：1.反射系数反射系数，现，现R=1;2.透射系数透射系数，现，现T=0。(2)(2)当当 ,求粒子从左向右方入射的解。求粒子从左向右方入射的解。所以，总几率流密度矢为0。当，入射30 令令 ，31由初条件，粒子由左向右入射，由于在由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0处位势有间断点，所以，处位势有间断点，所以，区域有入射波，区域有入射波，也有反射波；但在也有反射波；但在处，位势无间断点，所处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此，以，只有入射波，无反射波，因此，C0。由波函数及其导数连续，有由波函数及其导数连续，有 32得得 ，结果有结果有 讨论：讨论：在在时，区域时，区域有一沿有一沿x方向传播方向传播的平面波，波数为的平面波，波数为k1但这并不是指粒子具有动但这并不是指粒子具有动量为量为，因这要全空间）。显然，因这要全空间）。显然，得33 =。从而得从而得 反射系数反射系数 =透射系数透射系数 =显然显然北京大学量子力学ppt课件-第7讲343.3位垒穿透：位垒穿透：（1）EV0：从左向右入从左向右入射，所以在射，所以在区域有区域有解解eikx（入射波）；（入射波）；e-ikx（反射波）反射波）区域有解区域有解eikx（透射波）。（透射波）。3.3位垒穿透：35这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x方向的几率流密度为方向的几率流密度为 ，所以只要求得所以只要求得,即可。即可。对于对于有方程有方程 这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x36有解有解 其中其中由由，处，处，连续连续 得得 有解37得得于是有于是有北京大学量子力学ppt课件-第7讲38从而得从而得代回得代回得 北京大学量子力学ppt课件-第7讲39于是有于是有（2）当）当这时只要将这时只要将，并由并由，得得 于是有40从而有从而有 41（3）结果讨论：）结果讨论：A（或或），即几率流），即几率流密度矢连续。密度矢连续。当当 时，仍有一定几率流透射时，仍有一定几率流透射过去；过去；B.B.当当 时，仍有一定几率流被反射但时，仍有一定几率流被反射但当当 时时，T T1 1，即完全透射过去。这即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在种现象称为共振透射（仅在条件下发生）条件下发生）这时这时（3）结果讨论：42被称为共振能级。被称为共振能级。这种现象是量子这种现象是量子现象。现象。如一种解释，认如一种解释，认为为 ，所以，所以，即位垒即位垒宽是半波长的整数倍时，宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射。这是经典的观点，是不对的。而出现共振透射。这是经典的观点，是不对的。因在位垒中，并没有确定的波长。因在位垒中，并没有确定的波长。被称为共振能级。433.43.4方位阱穿透：这时只要将方位阱穿透：这时只要将 即可。即可。3.4方位阱穿透：这时只要将即可。44其中其中 ，。当当 时，则同样出现时，则同样出现 ，即共振，即共振透射。这时，透射。这时，(n取取值值应应保保证证En大于零大于零)如果我们将位势在如果我们将位势在 处选取为处选取为 ，那在，那在 和和 区域，入射能量区域，入射能量 ，而区，而区域域 ，粒子能量为，粒子能量为 ，即，即北京大学量子力学ppt课件-第7讲453.53.5一维无限深方位阱一维无限深方位阱 。（1 1）能量本征值和本征函数：）能量本征值和本征函数：，46有解有解其中其中 要求波函数在要求波函数在 处连续处连续（当然，并不（当然，并不要求导数连续），于是有要求导数连续），于是有 有解47要求要求A，B不同时为不同时为0，则必须系数行列式为，则必须系数行列式为0。即即48 .代入方程得代入方程得 .代入方程得代入方程得 所以，所以，49相应的本征能量为相应的本征能量为（2 2）结果讨论：）结果讨论：北京大学量子力学ppt课件-第7讲50 A.根据一定边条件根据一定边条件，要求要求(处，波处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。化。B.一个经典粒子处于无限深位阱中，可一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对以安静地躺着不动。但对量子粒子而言，量子粒子而言，所以，所以，即，即不能精确为不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。A.根据一定边条件，要求(51 C.对基态：对基态：而而 所以，所以，无零点，即无节点，是偶函数无零点，即无节点，是偶函数。第一激发态第一激发态：而 C.对基态：52有一零点，即有一节点，是奇函数有一零点，即有一节点，是奇函数。第二激发态第二激发态：而而 北京大学量子力学ppt课件-第7讲53有二个零点，即有二个节点，是偶函数有二个零点，即有二个节点，是偶函数。有二个零点，即有二个节点，是偶函数。54北京大学量子力学ppt课件-第7讲553.63.6宇称，一维有限深方势阱，双宇称，一维有限深方势阱，双 位势位势（1）宇称：）宇称：前面无限深位势的能量本征函数前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：有两类形式：。3.6宇称，一维有限深方势阱，双位势56