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直线、圆的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点点与直线、直线与直线的位置关系能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系;能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2016课标全国,6,5分点到直线的距离圆的标准方程,点到直线的距离公式2014四川,9,5分两直线的位置关系直线过定点,直线的斜率,基本不等式直线、圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标全国,8,5分与圆的方程有关的最值点到直线的距离,三角形的面积2018课标全国,15,5分圆的弦长直线与圆的位置关系2016课标全国,15,5分直线与圆的位置关系圆的弦长,圆的面积2015课标,20,12分直线与圆的位置关系直线方程,数量积,根与系数的关系分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分.主要考查:方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点一点与直线、直线与直线的位置关系1.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为15的直线l2的位置关系为() A.平行B.垂直C.重合D.无法确定答案A2.(2017河南部分重点中学12月联考,3)设aR,则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.(2019届宁夏一中11月月考,6)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),ADBC,ABCD,则点D的坐标为()A.-97,47 B.547,137C.383,133D.387,57答案D考点二直线、圆的位置关系1.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12 C.-2或-12D.2或12答案D2.(2019届山东枣庄第二次检测,5)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=1的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案D3.(2017河北衡水中学调研考试,5)已知向量a=(2cos ,2sin ),b=(3cos ,3sin ),若a与b的夹角为120,则直线6xcos -6ysin +1=0与圆(x-cos )2+(y+sin )2=1的位置关系是()A.相交且不过圆心 B.相交且过圆心C.相切 D.相离答案A4.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=22时,求直线l的方程.解析将圆的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|a2+1=2,解得a=-34.(2)过圆心C作CDAB,连接AC,则根据题意和圆的性质,得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.炼技法【方法集训】方法1直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法1.(2019届河南郑州外国语中学10月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,bR且ab0,则1a2+1b2的最小值为() A.2B.4C.8D.9答案D2.(2017吉林六校联考,5)已知圆C:x2+y2-4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能答案A方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1.(2019届河南豫南九校11月联考,9)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C2.(2016课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.答案43.(2017广东惠州一调,16)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则AOB面积的最小值为.答案3方法3解决对称问题的方法1.(2018广东揭阳一模,3)若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b=() A.13B.-1C.-13D.1答案B2.(2018黑龙江哈六中模拟,4)若直线y=kx与圆x2+y2-4x+3=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则()A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2答案A3.(2017河南六市二模,5)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-3)2=4答案D过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一点与直线、直线与直线的位置关系(2016课标全国,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=() A.-43B.-34C.3D.2答案A考点二直线、圆的位置关系1.(2018课标全国,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2014课标,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是()A.-1,1 B.-12,12C.-2,2D.-22,22答案A3.(2018课标全国,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案224.(2016课标全国,15,5分)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.答案45.(2017课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1-1x2=-12,所以不能出现ACBC的情况.(2)BC的中点坐标为x22,12,可得BC的中垂线方程为y-12=x2x-x22.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2.联立x=-m2,y-12=x2x-x22,又x22+mx2-2=0,可得x=-m2,y=-12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m2,-12,半径r=m2+92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2-m22=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.(2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案2C组教师专用题组1.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是() A.-2B.-4C.-6D.-8答案B2.(2014安徽,6,5分)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,6 B.0,3 C.0,6 D.0,3答案D3.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为() A.7B.6C.5D.4答案B4.(2011全国,11,5分)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=()A.4B.42C.8D.82答案C5.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横坐标的取值范围是.答案-52,16.(2015山东,13,5分)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.答案327.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.答案x+2y-5=08.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.答案0或69.(2011课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.解析(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为32+(t-1)2=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:x-y+a=0,(x-3)2+(y-1)2=9.消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式=56-16a-4a20.因此x1,2=(8-2a)56-16a-4a24,从而x1+x2=4-a,x1x2=a2-2a+12.由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由,得a=-1,满足0,故a=-1.【三年模拟】时间:50分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分) 1.(2018山西临汾模拟,8)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上的点,点M为PQ的中点,若AM=12PQ,则m的值为()A.2B.-2C.3D.-3答案A2.(2019届陕西四校11月期中联考,6)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定答案B3.(2019届山西太原五中10月模拟,8)已知kR,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-53答案B4.(2019届河南顶级名校第二次联考,6)已知m,n,a,bR,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则(m-a)2+(n-b)2的最小值为()A.3B.2C.1D.12答案C5.(2019届安徽合肥9月调研,8)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案B6.(2017江西红色七校联考,11)当曲线y=4-x2与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是()A.0,34 B.512,34C.34,1 D.34,+答案C二、填空题(每小题5分,共25分)7.(2019届山西晋中期初调研,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.答案78.(2019届湖北重点中学11月联考,15)已知a0,b0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是.答案189.(2019届四川大学附中第二次月考,15)已知直线m(x+1)-y+2=0与圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1相交于A、B两点,点P是圆C2:(x-3)2+y2=5上的动点,则PAB面积的最大值是.答案3510.(2018河北衡水中学期中考试,15)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a的取值范围是.答案-3,-11,311.(2019届河南顶级名校第二次联考,16)已知圆C:x2+y2-4x-2y-44=0,点P的坐标为(t,4),其中t2.若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为46,则直线l的一般式方程是.答案4x+3y-36=0三、解答题(共10分)12.(2018湖北重点中学联考,20)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线x-3y+2=0均与圆C相切.(1)求圆C的标准方程;(2)设点P(0,1),若直线y=x+m与圆C相交于M,N两点,且MPN为锐角,求实数m的取值范围.解析(1)设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意得a0,b=0,|a|=r,|a-3b+2|2=r,解得a=2,b=0,r=2.则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.(2)将y=x+m代入圆C的方程,消去y并整理得2x2+2(m-2)x+m2=0.令=4(m-2)2-8m20,得-2-22m0,即x1x2+(x1+m-1)(x2+m-1)0m2+m-10,解得m-1+52.故实数m的取值范围是-2-22,-1-52-1+52,-2+22.
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