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直线、平面平行的判定与性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面平行的判定与性质了解直线与平面、平面与平面间的位置关系;认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质和判定;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2019课标全国,7,5分面面平行的判定充要条件2019课标全国,19,12分线面平行的判定,点到平面的距离线面垂直的判定2017课标全国,6,5分线面平行的判定2016课标全国,19,12分线面平行的判定,三棱锥的体积线线平行的判定,体积公式分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居多,难度适中,主要考查直线、平面平行间的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力,分值约为6分.破考点 练考向【考点集训】考点直线、平面平行的判定与性质1.(2020届黑龙江哈三中9月月考,5)给出下列四种说法:若平面,直线a,b,则ab;若直线ab,直线a,直线b,则;若平面,直线a,则a;若直线a,a,则.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1答案D2.(2019豫北六校联考,5)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的两点,且MN平面PAD,则()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能答案B3.(2020届贵州贵阳中学等六校9月联考,8)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=23a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.不能确定答案B4.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC平面DEFG,EFDG,且AB=DE,DG=2EF,则()A.BF平面ACGDB.CF平面ABEDC.BCFGD.平面ABED平面CGF答案A5.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:APGH.证明如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,MOPA.又MO平面BDM,PA平面BDM,PA平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,APGH.6.(2020届西南地区名师联盟8月联考,18)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.(1)求证:BM平面ADEF;(2)求证:平面BDE平面BEC.证明(1)取DE的中点N,连接MN、AN,在EDC中,M、N分别为CE、DE的中点,MNCD,且MN=12CD.由已知得ABCD,AB=12CD,MNAB,且MN=AB,四边形ABMN为平行四边形,BMAN,又AN平面ADEF,BM平面ADEF,BM平面ADEF.(2)四边形ADEF为正方形,EDAD.又平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,ED平面ADEF,ED平面ABCD,EDBC.在直角梯形ABCD中,由AB=AD=2,CD=4,ADDC,可得BC=22.在BCD中,BD=BC=22,CD=4,BD2+BC2=CD2,BCBD,又EDBD=D,BC平面BDE,又BC平面BCE,平面BDE平面BEC.7.(2019河北邯郸调研,18)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABAD,且SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM平面SCD;(2)求三棱锥B-MAC的体积.答案(1)证明:取SC的中点N,连接MN,ND.M,N分别是SB,SC的中点,MNBC,且MN=12BC.ADBC,且AD=12BC,MNAD且MN=AD.四边形AMND为平行四边形,AMND.又AM平面SCD,ND平面SCD,AM平面SCD.(2)SA底面ABCD,SABC,又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB,VB-MAC=VC-MAB=13SMABBC=1312(2)22=23.炼技法 提能力【方法集训】方法1证明线面平行的方法1.(2020届皖南八校第一次联考,19)在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F,G分别是棱BC,AD,PA的中点.(1)求证:PE平面BFG;(2)若PD=AD=1,AB=2,求点C到平面BFG的距离.答案(1)证明:连接DE.在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,DF=BE,DFBE,四边形BEDF是平行四边形,DEBF.(2分)G是PA的中点,FGPD.(3分)PD,DE平面BFG,FG,BF平面BFG,PD平面BFG,DE平面BFG.(4分)PDDE=D,平面PDE平面BFG.(5分)PE平面PDE,PE平面BFG.(6分)(2)解法一:PD平面ABCD,FGPD,FG平面ABCD.在平面ABCD内,过C作CMBF,垂足为M,则FGCM.FGBF=F,CM平面BFG,CM的长是点C到平面BFG的距离.(8分)在矩形ABCD中,F是AD的中点,AD=1,AB=2,易证BCMFBA,CMBA=BCFB.(10分)FB=AB2+AF2=172,BC=AD=1,CM=41717,即点C到平面BFG的距离为41717.(12分)解法二:连接CF,设C到平面BFG的距离为d,在矩形ABCD中,AF=12AD=12,AB=2,BF=14+4=172.(8分)PD平面ABCD,BF平面ABCD,PDBF,FGPD,FGBF,又知FG=12PD=12,BFG的面积为12BFFG=178.(10分)BCF的面积为12BCAB=1,VC-BFG=VG-BCF,13178d=13112,d=41717,即点C到平面BFG的距离为41717.(12分)2.(2019河南安阳三模,18)如图所示,四棱锥A-BCDE中,BECD,BE平面ABC,CD=32BE,点F在线段AD上.(1)若AF=2FD,求证:EF平面ABC;(2)若ABC为等边三角形,CD=AC=3,求四棱锥A-BCDE的体积.答案(1)证明:取线段AC上靠近C的三等分点G,连接BG,GF.因为AGAC=AFAD=23,所以GFCD,GF=23CD=BE.(2分)又BECD,故GFBE.(3分)故四边形BGFE为平行四边形,故EFBG.(4分)因为EF平面ABC,BG平面ABC,故EF平面ABC.(6分)(2)因为BE平面ABC,BE平面BCDE,所以平面ABC平面BCDE.(8分)所以四棱锥A-BCDE的高即为ABC中BC边上的高.(9分)易求得BC边上的高为323=332.故四棱锥A-BCDE的体积V=1312(2+3)3332=1534.(12分)方法2证明面面平行的方法1.(2020届四川成都9月摸底考试,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PAPD,ADCD,BAD=60,M、N分别为AD、PA的中点.(1)证明:平面BMN平面PCD;(2)若AD=6,求三棱锥P-BMN的体积.答案(1)证明:连接BD.AB=AD,BAD=60,ABD为正三角形.M为AD的中点,BMAD.ADCD,CD,BM平面ABCD,BMCD.(1分)又BM平面PCD,CD平面PCD,BM平面PCD.(2分)M,N分别为AD,PA的中点,MNPD.又MN平面PCD,PD平面PCD,MN平面PCD.(3分)又BM,MN平面BMN,BMMN=M,(5分)平面BMN平面PCD.(6分)(2)在(1)中已证BMAD,平面PAD平面ABCD,BM平面ABCD,BM平面PAD,(7分)AB=AD=6,BAD=60,BM=33.(8分)M,N分别为AD,PA的中点,PA=PD=22AD=32,SPMN=14SPAD=1412(32)2=94.(10分)三棱锥P-BMN的体积VP-BMN=VB-PMN=13SPMNBM=139433=934.(12分)2.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.答案(1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA,又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,ACD=90,易知CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,ABC=90,CBAB.PA平面ABCD,PABC,BC平面PAB.AB=1,ABC=90,BAC=60,BC=3,三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=1312123=33.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2019课标全国,7,5分)设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面答案B2.(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A3.(2019课标全国,19,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.答案本题考查了线面平行、垂直的判定和点到平面的距离,通过平行、垂直的证明,考查了学生的空间想象力,体现了直观想象的核心素养.(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.4.(2016课标全国,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.答案(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.(9分)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体NBCM的体积VNBCM=13SBCMPA2=453.(12分)B组自主命题省(区、市)卷题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.证明本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.2.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.答案(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=12AD.又因为BCAD,BC=12AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,因为CE平面PAB,BF平面PAB,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.因为PNBN=N,所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN,因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在RtMQH中,QH=14,MQ=2,所以sinQMH=28.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.3.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.答案(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连接CM.因为ADBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连接BM,由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD.因为BD平面ABCD,所以PABD.因为ADBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.又BC=CD,所以四边形BCDM为菱形,所以MCBD,由(1)知MCAB,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.4.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,ABBE=B,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.C组教师专用题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.2.(2015北京,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.答案(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.3.(2015天津,17,13分)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1.证明(1)如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.4.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.答案(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以ADBC.又因为AD平面PDA,BC平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,因为PD=PC,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PEBC.因为四边形ABCD为长方形,所以BCDC.又因为PEDC=E,所以BC平面PDC.而PD平面PDC,所以BCPD.(3)连接AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以SPDA=12ADPD=1234=6.在RtPDE中,PE=PD2-DE2=42-32=7.SADC=12ADDC=1236=9.由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由VC-PDA=VP-ADC,即13dSPDA=13PESADC,亦即136d=1379,得d=372.故点C到平面PDA的距离为372.5.(2014课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=16PAABAD=36AB.又V=34,所以AB=32,所以PB=AB2+PA2=132.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB,因为AH平面PAB,所以BCAH,又BCBP=B,故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313,所以A到平面PBC的距离为31313.6.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.答案(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)存在.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MDAC且MD=12AC,OEAC且OE=12AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.【三年模拟】时间:60分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020届甘肃武威调研,5)已知,是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面与平面平行的是()A.内有两条直线与平行B.直线a,aC.直线a,b满足ab,a,bD.异面直线a,b满足a,b,且a,b答案D2.(2020届黑龙江顶级名校9月联考,8)如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2,E是SA的中点,过C、D、E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为()A.2+3B.3+3C.3+23D.2+23答案C3.(2019江西吉安一模,11)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面平面AMN,则平面截该正方体所得截面的面积为()A.2B.98C.3D.62答案B4.(2018湖南长沙长郡中学调研考试,11)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAD,BCAD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为()A.2B.2C.22D.23答案C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2019福建厦门一模,15)在正三棱锥S-ABC中,AB=23,SA=25,E,F分别为AC,SB的中点.平面过点A,平面平面SBC,平面平面ABC=l,则异面直线l和EF所成角的余弦值为.答案646.(2020届安徽合肥一中等六校第一次联考,16)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),若B1P平面A1BM,则C1P的最小值是.答案305三、解答题(共50分)7.(2020届百师联盟开学摸底考试,18)如图,三角形DCF所在平面垂直于四边形ABCD所在平面,AB=AD=FC=2,BC=5,ADC=DAB=FCD=90,N,P分别为AF,BC的中点.(1)证明:PN平面FDC;(2)求棱锥A-BDF的高.答案(1)证明:取AD的中点M,连接PM,MN.因为P,N,M分别为BC,AF,AD的中点,所以MNFD,PMCD,(1分)又知MN平面FDC,FD平面FDC,所以MN平面FDC,同理PM平面FDC,又PMMN=M,所以平面PMN平面FDC,(3分)又PN平面PMN,所以PN平面FDC.(5分)(2)由已知得四边形ABCD是直角梯形,计算得CD=3,(6分)因为平面FCD平面ABCD,FCD=90,所以FC平面ABCD.则VA-BDF=VF-ABD=1312ABADFC=1312222=43.(8分)设棱锥A-BDF的高为h,由已知得FD=FC2+CD2=13,BD=AD2+AB2=22,由FC平面ABCD得FCBC,所以FB=BC2+CF2=3,所以cosDBF=BD2+FB2-FD22BDFB=26.所以sinDBF=1-262=346,所以SBDF=12BDFBsinDBF=12223346=17.(10分)由VA-BDF=13SBDFh=1317h=43,得h=41717.所以棱锥A-BDF的高为41717.(12分)8.(2019河南洛阳第二次统考,18)如图,已知平面多边形PABCD中,AP=PD,AD=2DC=2CB=4,ADBC,APPD,ADDC,E为PD的中点,现将三角形APD沿AD折起,使PC=22.(1)证明:CE平面PAB;(2)求三棱锥P-BCE的体积.答案(1)证明:如图,取PA的中点H,连接HE,HB.E为PD的中点,HE为PAD的中位线,HEAD且HE=12AD.(2分)又BCAD且BC=12AD,HEBC,四边形BCEH为平行四边形,CEBH,(3分)BH平面ABP,CE平面ABP,CE平面ABP.(5分)(2)由题意知PAD为等腰直角三角形,四边形ABCD为直角梯形,取AD的中点F,连接BF,PF,AD=2BC=4,PF=BF=2,PFAD,BFAD,PFBF=F,DF平面PBF,BC平面PBF,PB平面PBF,BCPB.(7分)在直角三角形PBC中,PC=22,BC=2,PB=2,PBF为等边三角形.(8分)取BF的中点O,连接PO,则POBF,由DF平面PBF知PODF,又DFBF=F,PO平面ABCD,在等边PBF中,可求得PO=3,(9分)E为PD的中点,E到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的一半,连接BD,则VP-BCE=VE-PBC=12VD-PBC=12VP-BCD=1213SBCDPO=121312223=33.(12分)9.(2020届山西长治二中9月月考,18)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且ADBC,BAD=90,AB=AD=12BC.(1)求证:AD平面BCEF;(2)求证:BD平面CDE;(3)在线段BD上是否存在点M,使得CE平面AMF?若存在,求出BMDM的值;若不存在,请说明理由.答案(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以ADEF,由于EF平面BCEF,AD平面BCEF,所以AD平面BCEF.(2)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以DEAD.因为平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以DE平面ABCD,所以DEBD.取BC的中点N,连接DN.由BNAD,BN=12BC=AD=AB,BAD=90,可得四边形ABND为正方形,所以DN=AB.所以DN=12BC,所以BDCD,因为CDDE=D,所以BD平面CDE.(3)存在,当M为BD的中点时,CE平面AMF,此时BMDM=1.理由如下:连接AN交BD于点M,连接NF,由于四边形ABND为正方形,所以M是BD的中点,同时也是AN的中点.因为NC=AD,NCAD,四边形ADEF为正方形,所以NC=FE,NCFE,所以四边形NCEF为平行四边形,所以CENF.又因为NF平面AMF,CE平面AMF,所以CE平面AMF.10.(2018河南六市三模,18)已知空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均是边长为2的等边三角形,ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;(2)求三棱锥E-ABC的体积.答案(1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.证明:连接EM,EN,取BC的中点H,连接AH,ABC是腰长为3的等腰三角形,BC=2,H为BC的中点,AHBC,又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,AH平面ABC,AH平面BCD,同理可证EN平面BCD,ENAH,EN平面ABC,AH平面ABC,EN平面ABC.又M,N分别为BD,DC的中点,MNBC,MN平面ABC,BC平面ABC,MN平面ABC.又MNEN=N,MN平面EMN,EN平面EMN,平面EMN平面ABC,又EF平面EMN,EF平面ABC,即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NGDH,由(1)可知EN平面ABC,点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,又BCD是边长为2的等边三角形,DHBC,又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,DH平面BCD,DH平面ABC,NG平面ABC,易知DH=3,NG=32,又SABC=12BCAH=12232-12=22,VE-ABC=13SABCNG=63.
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