（统考版）高考数学二轮复习 24分大题抢分练4（含解析）（文）-人教版高三数学试题

24分大题抢分练(四)(建议用时：30分钟)20(12分)已知E(m,0)为抛物线y22x内一定点，过点E作两条不同的直线交抛物线于点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点(1)当ABCD时，求EMN的面积的最小值；(2)若m2且kABkCD2，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标解(1)设直线AB的斜率kABk(k0)，则直线CD的斜率kCD，直线AB的方程为yk(xm)，直线CD的方程为y(xm)由得k2x2(2mk22)xm2k20，易知0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，x1x2m2，所以y1y2k(x1m)k(x2m)k2mk.因为点M是线段AB的中点，所以M.同理可得N.所以|EM|，|EN|，所以SEMN|EM|EN|1，当且仅当k2，即k1时取等号所以当ABCD时，EMN的面积的最小值是1.(2)证明：由题意知，kABkCD2，不妨设直线AB的斜率kABn，则直线CD的斜率kCD2n，由(1)可知当m2时，M点坐标为，同理可得N点坐标为，所以直线MN的方程是y，化简得y(x2).所以直线MN过定点.21(12分)(2020南通模拟)已知函数f(x)xsin xaln x，aR.(1)当a时，求曲线yf(x)在点处的切线方程；(2)当a0时，求函数g(x)f(x)sin x在上的最大值；(3)若存在x1，x2(0，)，且x1x2，使得f(x1)f(x2)，证明：x1x20在上恒成立，故g(x)在上单调递增，当x时，函数取得最大值1.(3)证明：x1，x2(0，)，且x10，则y1cos x0恒成立，即yxsin x在x0时，单调递增，故xsin x0，即xsin x.f(x1)f(x2)，x1sin x1aln x1x2sin x2aln x2，a(ln x2ln x1)x2x1(sin x2sin x1)(x2x1)，2a0，令t，则t1，下面证明，即证明，令h(t)ln t，t1，则h(t)0，故h(t)在(1，)上单调递减，h(t)h(1)0，ln t，2a，x1x24a2.