杨辉三角与二项式系数的性质

会计学1杨辉三角与二项式系数的性质杨辉三角与二项式系数的性质复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式二项式定理及展开式:二项式系数二项式系数通项通项计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表:n (a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 你你发发现现了了什什么么？第2页/共23页1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式上表写成如下形式:在同一行中在同一行中,每行两端都是每行两端都是1,与这两个与这两个1等距等距离的项的系数相等离的项的系数相等.在相邻的两行中在相邻的两行中,除除1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于它它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.第3页/共23页杨辉三角杨辉三角杨辉三角杨辉三角 这样的二项式这样的二项式系数表，早在我系数表，早在我国南宋数学家杨国南宋数学家杨辉辉1261 年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，在这本出现了，在这本书里，记载着类书里，记载着类似下面的表：似下面的表：杨杨辉辉(宋宋朝朝)在欧洲，这个表被认为是法国数学家在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右第4页/共23页二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式系展开式的二项式系数依次是：数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点f（r）r63O615201第5页/共23页1.对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数二项式系数相等相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质f（r）r63O615201第6页/共23页2.增减性与最大值增减性与最大值 所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质由由：可知，当可知，当 时，时，二项式系数二项式系数是逐渐增大是逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后半部分后半部分是逐渐减小的是逐渐减小的,且且中间项中间项取得最大值。取得最大值。第7页/共23页f（r）rnOOnf（r）n为奇数为奇数n为偶数为偶数当当n是偶数是偶数时，中间的时，中间的一一项项 取得取得最大最大值值.当当n是奇数是奇数时，中间的时，中间的两两项项 和和 相等相等,且同时取得且同时取得最大最大值值3.最大值最大值 第8页/共23页4.各二项式系数的各二项式系数的和和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数的性质第9页/共23页例例1.证明证明:在在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和=2n-1在展开式在展开式证明证明:得得即即所以所以赋值法赋值法即在即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的和等于偶数项的二项式系数的和第10页/共23页练习练习.若若 的展开式中，所有的展开式中，所有奇数项的系数之和为奇数项的系数之和为1024，求它的中间项，求它的中间项.解：解：展开式中各项的二项式系数与该项的展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等的系数相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，T6=462x-4，T7=462x 有两个中间项分别为有两个中间项分别为第11页/共23页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（5 5）当当 时，时，课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 （4 4）当）当n n为偶数时，为偶数时，最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时，=且最大且最大 第12页/共23页 1、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。练习：练习：的展开式中，无理项的个数的展开式中，无理项的个数是（是（）A.83 B.84 C.85 D.86B第13页/共23页 2、在、在 的展开式中，的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；）求系数最大的项；4）求系数最小的项。）求系数最小的项。练习：练习：第14页/共23页 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六 4、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的这一天后的这一天是星期几？天是星期几？第15页/共23页课堂练习课堂练习1.等于（）A.B.C.D.3.3.求求的展开式中的展开式中 项的系数项的系数.4已知已知 那么那么 的展开式中含的展开式中含 项的系数是项的系数是 .2.已知已知 ，那么，那么 =；第16页/共23页5.5.求值：求值：课堂练习课堂练习6 的展开式中，无理项的个数是（的展开式中，无理项的个数是（）A.83 B.84 C.85 D.86第17页/共23页7.已知已知(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50 .=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50 x50(1)求展开式的各项系数和；求展开式的各项系数和；(1)即求：即求：a0+a1+a2+a50令令x=1得：得：(2)求求x的偶次幂项系数和的偶次幂项系数和.(2)即求：即求：a0+a2+a4+a50令令x=1得：得：a0+a1+a2+a3+a50=251-23令令x=-1得：得：a0-a1+a2-a3+a50=0解解:设设:(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50a0+a1+a2+a50=251-23课堂练习课堂练习第18页/共23页证明证明:由由课堂练习课堂练习求证求证:n为为偶数偶数时，求证：时，求证：证证明明:左边左边=第19页/共23页 求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法 思考思考第20页/共23页 略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开，两边展开后比较后比较xn的系数得：的系数得：再由再由 得得求证求证:思考思考2 第21页/共23页解：解：三项式不能用二项式定理三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得 拓展拓展第22页/共23页