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第四章 第五节二维正态分布及二维均匀分布二、二维均匀分布一、二维正态分布 一、二维正态分布设二维随机变量 的联合概率密度函数为( , )X Y 212 22 11 21 1 ( )( , ) exp 2(1 )2 1 xf x y 21 2 221 2 2( )( ) ( )2 x y y 其中 为常数，1 2 1 1, , , , 则称 服从二维正态分布，( , )X Y记为2 21 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N 1 20, 0,| | 1, 且 定理：若 ，则：2 21 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N （1）2 21 1 2 2 ( , ), ( , );X N Y N （2）2 21 1 2 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,E X D X E Y D Y 1 2( , ) , ;XYCov X Y （3）X 与 Y 相互独立的充要条件是0. 例1 已知2 2 (1,3 ), (0,4 ),X N Y N且1.2XY 设1 1 ,3 2Z X Y 求：( ),E Z .XZ( ),D Z解：( ) 1,E X 由已知，( ) 9,D X ( ) 0,E Y ( ) 16D Y ( , )Cov X Y ( ) ( )XY D X D Y 1 3 4 62 则( )E Z 1 1( ) ( )3 2E X E Y 13( )D Z 1 1 1 12 ,3 2 3 2D X D Y Cov X Y 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( , )9 4 3 2D X D Y Cov X Y 3( , )Cov X Z 1 1, 3 2Cov X X Y 1 1( , ) ( , )3 2Cov X X Cov X Y 1 1( ) ( , )3 2D X Cov X Y 0( )D Z 1 1 1 12 ,3 2 3 2D X D Y Cov X Y 0.XZ 所以 例2 设随机变量 服从二维正态分布( , )X Y 2 221( , ) 2 x yf x y e 求随机变量 的概率密度。2 21 ( )3Z X Y 解：当 时，0z Z 的分布函数 ；( ) 0ZF z 当 时，0z ( )ZF z 2 21 ( )3P X Y z 2 22 213 2( ) 12 x yx y z e dxdy 222 30 012 rzd e rdr 321 ze ( )ZF z对 z 求导，得 Z 的概率密度函数320, 0( ) 3 , 02Z z zf z e z 即320, 0( ) 1 , 0Z z zF z e z 二、二维均匀分布设 D 是平面上的一个有界区域，其面积为 A 。若二维随机变量 的联合概率密度函数为( , )X Y1 , ( , )( , ) 0 , ( , )x y Df x y A x y D 则称 在区域 D 上服从二维均匀分布。( , )X Y例如，矩形区域上的均匀分布，其概率密度函数为1 , ,( )( )( , ) 0 , a x b c y db a d cf x y 其它 例3 设二维随机变量 在圆域 上服从( , )X Y 2 2 2x y r 二维均匀分布，（2）问 X 与 Y 是否相互独立。（1）求 X 与 Y 的相关系数 ；XY解：( , )X Y的联合密度函数为2 2 221 ,( , ) 0, x y rf x y r 其它下面求 X , Y 的边缘概率密度函数。 当 时，| |x r ( )Xf x 2 22 2 21r xr x dyr 2 222 r xr 当 时，| |x r ( )Xf x 0故2 222 , | |( ) 0, | |X r x x rf x r x r 同理2 222 , | |( ) 0, | |Y r y y rf y r y r 由于( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y所以 X 与 Y 不相互独立。又( )E X 2 222 rr x r x dxr 0( )E Y 2 222 rr y r y dyr 0( )E XY 2 2 221 x y r xydxdyr 0于是( , )Cov X Y ( ) ( ) ( )E XY E X E Y 00XY 作业 习题4 24, 25, 26
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