约束自由度与广义坐标

问 题D l 2r2rOBEAw j观 察 运 动 机 构 所 给 的 运 动 条 件 OABD EM j lhvDEwO观 察 运 动 机 构 所 给 条 件 运 动 条 件 约 束 、 自 由 度 与 广 义 坐 标一、问 题 的 提 出 物 体 系 统 根 据 其 与 外 界 环 境 之 间 的 关 系 ， 可 分 成 自 由 系统 与 非 自 由 系 统。 17世 纪 牛 顿 当 时 的 经 典 力 学 所 能 解 决 的 主 要 问 题 是 属 于 自 由 质 点 或 自 由 质 点 系 动 力 学 。 (两 体 问 题 ) 18世 纪 产 生 了 刚 体 动 力 学 问 题 ， 也 就 是 说 提 出 了 受 约 束质 点 系 的 动 力 学 问 题 。 今 天 大 量 工 程 实 际 问 题 作 初 步分 析 时 ， 一 般 都 是 受 约 束 系 统 的 建模 问 题 。 首 先 要 确 定 系 统 独 立 的 运动 学 变 量 。 研 究 约 束 质 点 系 的 力学 问 题 ， 必 须 阐 明 约 束 ，自 由 度 与 广 义 坐 标 的 概 念 。 二 、 约 束1. 约 束 概 念约 束 就 是 限 制 物 体 任 意 运 动 的 条 件。不 受 约 束 可 以 任 意 运 动 的 质 点 系 称 为 自 由 质 点 系 ,受 有 约 束 而 不 能 任 意 运 动 的 质 点 系 则 称 为 非 自 由 质 点 系 。 刚 体 静 力 学 研 究约 束 , 是 探 究 约 束 的原 因 -约 束 力 运 动 学 研 究 约 束 ,是探 究 约 束 的 结 果 -运 动 的 限 制 F AO xy1cxA 2cyA 2. 独 立 坐 标 、 位 形 空 间 、 约 束 方 程 的 概 念(1) 坐 标 确 定 一 个 自 由 质 点 在 空 间 的 位 置 需 要 三 个 独 立 参 数 ， 这些 参 数 或 代 表 长 度 或 代 表 角 度 ， 统 称 坐 标 。(2)位 形 对 于 由 n个 自 由 质 点 组 成 的 自 由 质 点 系 ， 则 需 要 3n个独 立 坐 标 ， 这 3n个 的 坐 标 集 合 称 为 自 由 质 点 系 的 位 形 。(3)约 束 方 程 约 束 可 以 通 过 联 系 坐 标 、 坐 标 的 时 间 导 数 以 及 时 间 t之间 的 关 系 的 数 学 方 程 组 加 以 描 述 ， 这 些 数 学 方 程 组 称 之 为约 束 方 程 。 3. 约 束 的 分 类 如 果 限 制 运 动 的 条 件 仅 是几 何 性 质 的 ， 则 称 为 几 何 约 束 。 单 摆 :2222 lzyx 曲 面 上 的 质 点：0),( zyxf（ 1） 几 何 约 束 与 运 动 约 束几 何 约 束约 束 方 程 的 一 般 形 式 ： 0),( 111 nnnr zyxzyxf x ylO Azx yz M(r=1,2, ,s) 运 动 约 束 几 何 约 束0 rx j 运 动 约 束ryC 纯 滚 动 的 圆 轮： 如 果 运 动 时 速 度 也 受 到 一 定 条 件 的 限 制 ， 则 这 个 条 件 称 为运 动 约 束 。约 束 方 程 的 一 般 形 式 0),( 111111 nnnnnnr zyxzyxzyxzyxf C x xy j(r=1,2, ,s) （2）定 常 约 束 与 非 定 常 约 束定 常 约 束 当 约 束 方 程 中 都 不 包 含 时 间 t时 ，这 种 约 束 称 为 定 常 约 束 。定 常 几 何 约 束非 定 常 几 何 约 束 若 约 束 方 程 中 明 显 包 含 时 间 t，这 种 约 束 就 称 为 非 定 常 几 何 约 束。 20222 vtlzyx 约 束 方 程 的 一 般 形 式 ： 0),( 111 nnnr zyxzyxf 0);,( 111 tzyxzyxf nnnr x ylO Az Av（ 匀 速 ） （3）完 整 约 束 与 非 完 整 约 束 约 束 方 程 中 不 包 含 坐 标 对 时 间 的 导 数 （ 即 质 点 系 中 各质 点 速 度 的 投 影 ） 的 约 束 ， 称 为 完 整 约 束。 约 束 方 程 总 是 以 微 分 形 式 表 示 ， 不 可 能 积 分 成 有 限 的形 式 的 约 束 称 为 非 完 整 约 束 。1位 移 约 束 -全 部 几 何 约 束2运 动 约 束 可 积 分 -如 纯 滚 动 的 圆 轮 ;运 动 约 束 不 可 积 分 -碰 撞 系 统 ,摩 擦 系 统 等。约 束 方 程 的 一 般 形 式 为：sr ,2,1 0),( 111 nnnr zyxzyxf 0),;,( 111111 nnnnnnr zyxzyxzyxzyxf sr ,2,1 （ 4） 单 面 约 束 与 双 面 约 束双 面 约 束 ： 在 约 束 方 程 中 用 严 格 的等 号 表 示 的 约 束。OA为 刚 性 杆：2222 lzyx 单 面 约 束 ： 在 约 束 方 程 含 有 不 等 号 表 示 的 约 束。OA为 柔 绳： 2222 lzyx 约 束 方 程 的 一 般 形 式 ：约 束 方 程 的 一 般 形 式 ： 0, 111111 tzyxzyxzyxzyxf nnnnnnr 0, 111111 tzyxzyxzyxzyxf nnnnnnr x ylO Az 或 0 n个 质 点 组 成 的 质 点 系 ， 约 束 方 程 的 一 般 形 式 为 ： 0);,;,( 111111 tzyxzyxzyxzyxf nnnnnnr (r=1,s)约 束 方 程 的 个 数 为：s4.约 束 方 程静 力 学 问 题 中 涉 及 的 约 束 都 是 定 常 几 何 约 束 。本 教 材 研 究 ： 定 常 、 双 面 、 完 整 约 束 。 例 : 平 面 刚 体 位 形 的 描 述 方 法 和 约 束 方 程1. 刚 体 基 于 两 点 的 描 述 和 约 束 方 程O Ab O A xy xy 位 形 描 述 : 0Oy 0OxAA OO yx yx , 约 束 方 程 : 222 OAyx AA 2. 刚 体 基 于 点 线 的 描 述 和 约 束 方 程位 形 描 述 : b, OO yx 0Oy 0Ox约 束 方 程 : 三 、 广 义 坐 标 、 自 由 度自 由 度 ： 唯 一 确 定 质 点 系 空 间 位 置 的 独 立 坐 标 个 数平 面 质 点 : ,snk 2空 间 质 点 : ,3 snk 广 义 坐 标 ： 用 以 确 定 质 点 系 位 置 的 独 立 参 变 量 ),( 21 tqqqxx kii ),.,( 21 tqqqyy kii ),( 21 tqqqzz kii ),( 21 tqqqrr kii i=1,2, n kqq,q 21n个 质 点 ，一 般 地 ： 自 由 度 为 k，取 广 义 坐 标 ： 1.基 本 概 念自 由 度 定 义 为 质 点 系 解 除 约 束 时 的 坐 标 数 减 去 约 束 方 程 数 。与 自 由 度 相 对 应 的 独 立 坐 标 就 是 广 义 坐 标 。 2.自 由 刚 体 的 自 由 度 最 简 单 的 刚 体 由 4个 质 点 用 6根 刚 杆 组 成 几 何 不 变 体(形 如 四 面 体 )， 则 自 由 刚 体 的 自 由 度 为：66)(43 （刚杆数）质点数k此 后 每 增 加 一 个 质 点 就 增 加 3根 刚 杆。 63 ns 每 一 根 刚 杆 相 当 于 一 个 约 束 ， 所 以 约 束 数 为 ：63 snk设 节 点 数 为 n,约 束 数 为 s。 则 写 成n=4则 一 般 地 ： snk 3n4 n4 刚 体 的 定 点 运 动 的 描 述 方 法 1欧 拉 坐 标 x 0 y0z0O 绕 z0轴 转 过 y角 进 动 角x1 y1z1y y 绕 x1轴 转 过 q角 章 动 角z2 y2x2 qq 绕 z2轴 转 过 j角 自 转 角jx3 y3z3j 3.自 由 刚 体 的 广 义 坐 标 刚 体 的 定 点 运 动 的 描 述 方 法 2 卡 尔 丹 坐 标 x 0 y0z0O 绕 x0轴 转 过 a角x1 y1z1 aaz2 y2x2 bb 绕 y1轴 转 过 b角绕 z2轴 转 过 g角z3 g y3x3 g 000 , zyx组 成 的 6个 独 立 参 变 量 就 是 自 由 刚 体 的 广 义 坐 标。它 们 被 用 于 描 述 刚 体 的 位 形 。 4.受 约 束 刚 体 的 自 由 度 设 刚 体 数 为 n，则 受 约 束 的 空 间 刚 体 系 的 自 由 度 数 k = 6n -s 受 约 束 的 平 面 刚 体 系 的 自 由 度 数 ： k=？若 欧 拉 坐 标 或 卡 尔 丹 坐 标 的 原 点 （ 基 点 ） 建 立 平 动 坐 标 5.约 束 刚 体 的 自 由 度 与 广 义 坐 标 约 束 刚 体 的 自 由 度 与 广 义 坐 标 根 据 其 运 动 形 式 不同 有 所 减 小 ， 下 表 给 出 刚 体 在 不 同 的 运 动 形 式 时 的 广义 坐 标 数 。刚 体 约 束 情 况 自 由 度 广 义 坐 标刚 体 上 一 轴 被 固 定（ 定 轴 转 动 ） 1刚 体 上 仅 一 点 被 固 定（ 定 点 运 动 ） 3刚 体 仅 被 限 制 作 平 面 平 行运 动 （ 平 面 运 动 ） 3刚 体 仅 被 限 制 作 平 行 移 动（ 平 移 ） 3 jyjq , q, 00 yx 000 , zyx 四 实 例 :机 构 如 图 ,轮 C作 纯 滚 动 ,试 写 出 约 束 方 程 和 确 定 自 由 度 。bsinOAy A 3. 约 束 方 程 (在 点 O 建 立 直 角 坐 标 ) 1. 刚 体 数 目 3;2. 定 轴 转 动 刚 体 OA ; 平 面 运 动 刚 体 AB及 轮 C ; 总 计 8个 约 束 方 程 x y0Ox bcosOAx A q rxC 2)cos1(sinsin crABOAyD qjb 0OyyC=yD-r OAB bC r jqDqjb, , , BB AA OO yx yx yx式 中 ： jb sinsin ABOAy B jb coscos ABOAxB 局 部 法 4.广 义 坐 标5.自 由 度 计 算 3*3 1k s 广 义 坐 标 数 为 :3n-s=1, 即 :自 由 度约 束 方 程 数 ： s=8jq bq或刚 体 数 :n=3选 广 义 坐 标 为 :自 由 度 恒 等 于 广 义 坐 标 数 OAB bC r jqDqq或 x yOAB bC r jqD整 体 法 :q rx C 2cossinsin crABOAyC qjb qjb ,位 形 描 述约 束 方 程 : 整 体 法 :位 形 描 述约 束 方 程 : OAB bjqDx y 2cossinsin cBDABOA qjb qjb , 1sincoscos cBDABOA qjb 点 D的 位 置 OAB bjqDx y0Ox 2cossinsin cBDABOA qjb 0Oy qjb, , , DD AA OO yx yx yx 1sincoscos cBDABOA qjb 点 D的 位 置总 计 8个 约 束 方 程 约 束 方 程 ：局 部 法 : bsinOAyA bcosOAxA jb sinsin ABOAy B jb coscos ABOAxB Axq 1q,AA AAyx yxcyA 2k广 义 坐 标自 由 度本 例 为 质 点 与 刚 体qx A B0lk q2qxy 具 有 同 一 点 问 题D l 2r2rOBEAw j本 运 动 机 构 的 自 由 度 OABD EM j lhvDEwO本 运 动 机 构 的 自 由 度 五 、 总 结(1)检 查 刚 体 (质 点 )数 目 n。(2)检 查 各 刚 体 的 运 动 形 式 。(3)列 写 出 约 束 方 程 。(4)计 算 自 由 度 ,确 定 广 义 坐 标 。(a)空 间 刚 体 系 k=6n-s， 空 间 质 点 系 k=3n-s(b)平 面 刚 体 系 k=3n-s, 平 面 质 点 系 k=2n-s 实 用 方 法 ： 加 锁 大 胆 的 假 设小 心 的 求 证 x ylO Az D l 2r2rOBEAw j分 析 本 机 构 的 自 由 度 OABD EM j lhvDEwO分 析 本 机 构 的 自 由 度