《参数假设检验》PPT课件

引 例 某 厂 要 在 生 产 线 上 加 工 一 种 直 径 为 100mm的 轴 ，加 工 出 来 一 批 后 ， 检 验 人 员 从 生 产 出 来 的 轴 中 随 机抽 取 了 一 个 由 16根 轴 构 成 的 样 本 ， 测 量 出 平 均 直 径为 110mm， 样 本 方 差 为 100。 问 生 产 线 是 否 出 了 问题 。实 际 管理 问 题中 的 判断 是 否准 确 ? 统 计 学上 的 假设 检 验问 题 抽 样调 查获 得观 察数 据 进 行假 设检 验 获 得 管理 问 题的 正 确判 断 假 设 “ 生 产 线 没 问 题 ”加 工 出 来 的 轴 平 均 直 径为 100mm抽 取 样 本计 算 出 样 本 的 平 均 直 径 110mm H0: =100 H1: 100是 不 是 可 能 性 很 小 的 结 果 计 算 检 验 统 计 量拒 绝 H 0Y 不 拒 绝 H0N与 事 先 定 义 的 小概 率 进 行 比 较 参 数 检 验 ： 已 知 总 体 分 布 ， 猜 出 总 体 的 某 个 参 数 （ 假设 H0） ， 用 一 组 样 本 来 检 验 这 个 假 设 ， 是 否 正 确 （ 是是 否 拒 绝 H0） 。非 参 数 检 验 ： 猜 出 总 体 分 布 （ 假 设 H0） ， 用 一 组 样 本来 检 验 这 个 假 设 ， 是 否 正 确 （ 是 否 拒 绝 H0） 。应 用 中 对 于 一 个 包 含 参 数 的 总 体 ， 经 常 会 遇 到 这 样的 问 题 ： 我 们 已 经 猜 到 了 参 数 值 或 知 道 了 参 数 的 理论 值 ， 要 利 用 样 本 来 检 验 总 体 的 参 数 值 是 否 确 实 等于 所 猜 到 的 值 或 理 论 值 。 这 就 是 参 数 假 设 检 验 的 问题 。 两 类 错 误 ： 在 假 设 检 验 时 有 可 能 犯 如 下 两 类 错 误 ：第 1类 错 误 （ “ 弃 真 ” 错 误 ） ： 拒 绝 了 真 实 的 假 设H0 。 通 常 称 犯 第 1类 错 误 的 概 率 为 显 著 性 水 平 。第 2类 错 误 （ “ 存 伪 ” 错 误 ） ： 接 受 了 错 误 的 假 设 H0 。这 种 判 断 不 是 绝 对 意 义 上 的 判 断 ， 而 是 “ 统 计 意 义 ”上 的 判 断 ， 因 而 可 能 出 错 。小 概 率 事 件 在 一 次 随 机 试 验 中 发 生 的 可 能 性 是 很小 的 。 例 如 ， 有 一 个 厂 商 声 称 ， 他 的 产 品 的 合 格 品 率 很 高 ，可 以 达 到 99%， 那 么 从 一 批 产 品 （ 譬 如 100件 ） 中 随机 抽 取 一 件 ， 这 一 件 恰 恰 好 是 次 品 的 概 率 就 非 常 小 ，只 有 1%。 如 果 厂 商 的 宣 传 是 真 的 ， 随 机 抽 取 一 件 是次 品 的 情 况 就 几 乎 是 不 可 能 发 生 的 。 但 如 果 这 种 情况 确 实 发 生 了 ， 就 有 理 由 怀 疑 原 来 的 假 设 ， 即 产 品中 只 有 1%的 次 品 的 假 设 是 否 成 立 ， 这 时 就 有 理 由 推翻 原 来 的 假 设 ， 可 以 做 出 厂 商 的 宣 传 是 假 的 这 样 一个 推 断 。 依 据 小 概 率 原 理 推 断 可 能 会 犯 错 误 ！假 设 上 例 中 100件 产 品 中 确 实 只 有 1件 是 次 品 ，但 恰 好 在 一 次 抽 取 中 被 抽 到 了 ， 按 前 面 的 方式 将 得 到 一 个 错 误 的 判 断 ， 但 犯 错 误 的 概 率很 小 ， 本 例 是 1%， 也 就 是 说 我 们 在 冒 1%的 风险 做 出 厂 商 宣 传 是 假 的 这 样 一 个 推 断 。相 关 的 问 题 : 抽 到 多 少 件 次 品 , 可 判 断 厂 商 的 宣 传 是假 的 ? l 设 立 假 设 设 立 原 假 设 (null hypothesis)H0和 一 个 与 之 矛 盾的 备 择 假 设 (alternative hypothesis) H1。l 构 造 与 计 算 检 验 统 计 量 检 验 统 计 量 应 该 包 含 要 检 验 的 参 数l 根 据 事 先 给 定 的 小 概 率 值 显 著 性 水平 进 行 检 验显 著 性 水 平 的 值 通 常 取 0.05或 0.01。 在 这 一 节 中 总 是 假 设 ),( 2NX原 假 设 H0： = 0备 择 假 设 H1： 0注 意 备 择 假 设 H1相 当 于 两 个 事 件 ( 0)中 有 一 个 出 现 ， 因 此 这 样 的 参 数 检 验 称 为 双 尾 检 验（ 双 侧 检 验 ） 。 ： 设 X1, X2, , Xn是 X的 一 组 样 本 ， 则， 有因 此 ),( 20 nNX )1,0(0 NnXZ 统 计 量 Z具 有 特 征 ：一 旦 给 定 了 样 本 数 据 的 值 ， 我们 就 可 以 计 算 出 该 统 计 量 的 值 z； 其 分 布 是 完 全 确定 的 。 于 是 对 于 一 个 充 分 小 的 （ 显 著 性 水 平 ） ， 我们 可 以 找 到 一 个 临 界 值 使 得 2z | 2zZP /2的面 积 z/2即 是 小 概 率 事 件 。| 2zZ ： 若 我 们 通 过 样 本 数 据 计 算 得 到 的 统 计 量 Z的 值z满 足 2| zz 则 上 述 小 概 率 事 件 发 生 了 。 但 小 概 率 事 件 在 一 次 实验 （ 或 观 察 ） 中 出 现 的 可 能 性 是 非 常 小 的 。 它 居 然发 生 了 ， 因 此 有 理 由 怀 疑 H0的 真 实 性 。 也 就 是 我 们拒 绝 原 假 设 。 反 之 ， 若 z满 足 2| zz 我 们 就 不 拒 绝 (接 受 )原 假 设 H0。假 设 检 验 方 法 的 另 一 种 理 解 对 引 例 中 的 问 题 ， 如 果 按 某 种 生 产 规 范 ， 轴 直 径的 标 准 差 为 8。 并 且 一 般 来 说 ， 轴 的 直 径 服 从 正 态分 布 。 于 是 问 题 转 化 为 ， 已 知 正 态 总 体 的 方 差 ，要 检 验 其 均 值 是 否 等 于 100mm的 问 题 。原 假 设 H0： = 0 (= 100)备 择 假 设 H1： 0检 验 统 计 量 5168 100110 2 znXZ 于 是 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 =0.05， 查 表 可 以 到 临 界值 96.12 z 而 2| zz 所 以 拒 绝 H0， 因 此 生 产 线 可 能 出 了 问 题 。 (是 否 解决 了 引 例 中 的 问 题 ?) 上 面 的 讨 论 表 明 参 数 的 假 设 检 验 中 的 检 验 统 计 量 应该 满 足 ： 1） 其 值 通 过 样 本 观 察 值 计 算 出 来 ； 2） 其概 率 分 布 应 该 是 完 全 确 定 的 。如 果 X的 方 差 2未 知 ， 则 统 计 量)1,0(0 NnXZ 不 再 符 合 要 求 。 处 理 的 方 法 是 将 Z的 表 达 式 中 的 2用 其 样 本 方 差 S2代 替 。 于 是 得 到 新 的 统 计 量)1( 0 ntnSXT 对 于 一 个 充 分 小 的 （ 显 著 性 水 平 ） ， 我 们 可 以 找到 一 个 临 界 值 使 得2t | 2tTP /2的拒 绝 域 t /2记 将 样 本 数 据 代 入 T统 计 量 的 表 达 式 中 计 算 的 结 果为 t， 则 若 2| tt 则 表 示 出 现 了 小 概 率 事 件 。 这 可 能 性非 常 小 ， 但 竟 然 发 生 了 。 因 此 我 们 怀 疑 H0的 真 实性 ， 因 此 拒 绝 H0。 | 2tT 反 之 ， 若 2| tt 不 拒 绝 H0。 这 实 际 上 指 考 虑 如 下 假 设 的 检 验原 假 设 H0： = 0备 择 假 设 H1： 0这 一 检 验 称 为 单 尾 （ 单 侧 ） 检 验 ， 其 实 际 背 景 见 p149，例 6.2.3。 仍 取 T为 检 验 统 计 量 ， 即 面 积 的拒 绝 域)1( 0 ntnSXT 但 拒 绝 原 假 设 的 事 件为 其 中 满足 tT tTP 例 设 正 品 镍 合 金 线 的 抗 拉 强 度 服 从 均 值 为 10620 (kg/mm2)的 正 态 分 布 , 今 从 某 厂 生 产 的 镍 合 金 线 中抽 取 10根 ,测 得 平 均 抗 拉 强 度 10600 (kg/mm2) ,样 本标 准 差 为 80.,问 该 厂 的 镍 合 金 线 的 抗 拉 强 度 是 否 不合 格 ? (=0.1) 解:H0： 10620；H1： 10620 )9(1010620:10620 tSXT 时查表得临界值为 - t0.1(9) = -1.383, 但这里 8331.179.01080 1062010600 t 不 拒 绝 H0 显 著 性 水 平 的 意 义 可 以 用 如 下 的 表 达 式 描 述| 00 为 真拒 绝 HHP因 此 是 犯 第 1类 错 误 的 概 率 水 平 。注 意 ： 所 谓 双 尾 检 验 是 备 择 假 设 具 有 形 式 H1： 0的 检 验 ， 单 尾 检 验 为 备 择 假 设 具 有 形 式 H1： 0的 检 验 我 们 是 通 过 由 样 本 观 察 值 计 算 得 到 的 统 计 量 值 与 临界 值 进 行 比 较 来 判 断 是 拒 绝 还 是 不 拒 绝 原 假 设 的 。以 未 知 方 差 时 的 双 尾 检 验 为 例 。 就 是 当2| tt 时 拒 绝 原 假 设 H0， 否 则 不 拒 绝 H0。/2的 拒绝 域 t/2 而 临 界 值 的 意 义 就 是 ： t/2使 得2tk | 2tTP设 由 样 本 数 据 计 算 得 到 t (t 0)值 ， 则 随 机 变 量 T位于 t外 侧 的 概 率 为 PT t = 1 PT tt/2t-t概 率 密 度 函 数 曲 线 下 方 去 掉 阴 影 部 分 后 ， 剩 下 部 分的 面 积 就 是 p=2(1 PT t)（ 如 图 ） ， 称 这 剩 下 部分 的 面 积 为 “ t统 计 值 的 p值 ” 。 很 明 显 ， 如 果 p ，则 t位 于 临 界 值 t /2的 外 侧 ， 因 此 拒 绝 H0。 t0时 可 以得 到 同 样 的 结 论 （ 只 需 对 -t进 行 讨 论 即 可 ） 。 上 述 讨 论 表 明 p值 是 否 定 原 假 设 H0的 “ 最 低 显 著 性水 平 （ 实 际 显 著 性 水 平 ） ” 。 利 用 p值 进 行 假 设 检验 的 实 际 意 义 在 于 几 乎 所 有 的 统 计 软 件 都 自 动 地计 算 p值 ， 因 此 现 在 利 用 p值 来 判 断 是 否 拒 绝 原 假设 比 前 面 介 绍 的 方 法 更 为 方 便 。对 于 单 尾 检 验 的 情 形 ， 检 验 统 计 值 的 p值 的 定 义为 p = 1 P相 应 的 统 计 量 该 统 计 值 若 p , 则 不 拒 绝 原 假 设 H 0。 上 述 假 设 检 验 的 方 法 有 时 也 称 为 显 著 性 方 法 。 此 外进 行 假 设 检 验 还 有 另 一 种 方 法 置 信 区 间 法 。假 设 总 体 X服 从 正 态 分 布 ， 但 总 体 方 差 2未 知 。 设 X1, X2, , Xn是 X的 一 组 样 本 。 则 要 检 验 总 体 的 均 值 是 否为 0, 可 以 通 过 t检 验 进 行 。 即 对 于 给 定 的 显 著 性 水平 ， 可 以 查 t临 界 值 表 ， 得 到 临 界 值 。 当 检 验统 计 量 T的 值 满 足 2t2| tT 拒 绝 原 假 设 ， 否 则 不 拒 绝 原 假 设 。 若 拒 绝 原 假 设 ， 意 味 着 有 )|(| 2tTP反 之 若 不 拒 绝 原 假 设 ， 则 意 味 着 1)|(| 2tTP也 就 是 下 面 表 达 式 成 立 的 概 率 为 1 20 tnSX 这 不 等 式 等 价 于 nStXnStX 202 将 样 本 数 据 代 入 后 ， 这 就 是 置 信 水 平 为 1 的 总 体均 值 的 置 信 区 间 。 换 言 之 ， 如 果 要 检 验 的 参 数 假 设 值落 在 总 体 均 值 的 置 信 区 间 内 ， 我 们 应 该 不 拒 绝 原 假 设 。 例 6.6.1（ p168）1. 按 教 材 介 绍 方 法 ： 总 体 均 值 的假 设 值 样 本 均 值T统 计 值 p值样 本 均 值 与 总 体均 值 差 的 置 信 区间 下 界 对 于 显 著 性 水 平 =0.05， 由 于 从 SPSS的 计 算 结 果得 到 p ， 故 不 拒 绝 原 假 设 。2. 利 用 置 信 区 间 进 行 检 验 。 由 于 待 检 验 的 总 体 参 数 假 设 值 落 在 置 信 区 间 ， 故 应 该不 拒 绝 原 假 设 。 引 例 某 厂 要 在 生 产 线 上 加 工 一 种 直 径 为 100mm的 轴 ， 加 工出 来 一 批 后 ， 检 验 人 员 从 生 产 出 来 的 轴 中 随 机 抽 取 了 一 个由 16根 轴 （ ？ ） 构 成 的 一 个 样 本 ， 测 量 出 平 均 直 径 为110mm， 样 本 方 差 为 100。 问 生 产 线 是 否 出 了 问 题 。回 顾 引 例 ， 利 用 前 面 介 绍 的 假 设 检 验 方 法 ， 我 们 拒 绝了 总 体 均 值 为 100mm的 原 假 设 。 但 是 也 可 能 有 疑 问 ：是 不 是 由 于 样 本 数 量 太 少 ， 导 致 的 这 一 结 果 ？ 自 然 地 ，我 们 希 望 知 道 ， 多 大 的 样 本 容 量 是 合 适 的 ？直 观 地 考 虑 ， 不 难 想 到 ： 希 望 犯 错 误 的 风 险 越 低 ，样 本 容 量 就 应 该 越 大 。 某 厂 要 接 受 供 货 商 提 供 的 一 批 电 池 ， 按 设 计 要 求 ，电 池 寿 命 的 均 值 应 不 低 于 120小 时 ， 现 在 检 验 人 员从 货 物 中 随 机 抽 取 了 由 36个 电 池 构 成 的 一 个 样 本 进行 检 验 ， 以 确 定 是 否 应 该 接 受 这 批 电 池 。 假 设 电 池的 寿 命 服 从 正 态 分 布 ， 且 已 经 知 道 正 态 分 布 的 标 准差 为 =12。为 便 于 说 明 问 题 ， 考 虑 一 个 类 似 于 引 例 的 例 子 ：记 0=120， 并 且 。 考 虑原 假 设 H0： 0 备 择 假 设 H1： 0 则 检 验 统 计 量 为 nXZ 0 对 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 若 由 样 本 数 据 计 算 的 统 计值 zZ 则 拒 绝 原 假 设 H0， 而 接 受 备 择 假 设 H1。当 显 著 性 水 平 为 0.05时 ， 645.1z因 此 ， 当 645.13612 1200 zxnx即 71.1163612645.1120 x时 ， 拒 绝 H0， 否 则 ， 若 71.116x则 不 拒 绝 H0。 按 照 这 一 方 法 来 拒 绝 H0， 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 为 。但 接 受 H0时 ， 也 可 能 因 为 H0其 实 并 不 真 ， 而 犯 第 二类 错 误 。 现 在 考 察 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 。 假 设 我 们得 到 71.116x则 我 们 将 不 拒 绝 H0， 但 实 际 上 电 池 的 平 均 寿 命 为115a此 时 86.03612 11571.116 nxz a 查 正 态 分 布 表 可 知 ，当 z=0.86时 ， 位 于 z上侧 的 面 积 是 1-0.8051 = 0.1949。 面 积 为 0.1949，不 拒 绝 H0即 P(x116.71| )=0.1949 115 a 面 积 为 0.1949，不 拒 绝 H0 因 此 ， 当 真 实 的 均 值 为 115时 ， 只 要 我 们 计 算 的 z值 对应 的 x落 入 图 中 阴 影 部 分 ， 我 们 就 会 不 拒 绝 H0， 所 以概 率 )|H(1949.0 0 aP 接 受就 是 我 们 在 时 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 。115a a 0面 积 为 0.05，拒 绝 H0 对 于 同 样 的 z值 ， 它 对 应 的 x将 落 在 相 对 于 以 0为 中 心的 正 态 分 布 的 H0的 不 拒 绝 域 中 （ 如 图 ） 。x =116.71由 此 可 见 ， 在给 定 的 样 本 容量 下 降 低 犯 第一 类 错 误 的 概率 ， 将 增 加 犯第 二 类 错 误 的概 率 。 反 之 亦然 因 此 ， 一 般 不 会 将 显 著 性 水 平 取 得 任 意 小 。 这 时 为了 将 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 下 降 到 一 个 可 接 受 的 水 平 ，通 常 的 做 法 是 ， 增 大 样 本 容 量 。 a 0c 记 c为 正 态 分 布 下 拒 绝 H0的 临 界 值 ，则 它 与 标 准 正 态 分 布 下 的 临 界 值 的 关 系 是),( 20 nN znzc 0但 与 正 态 分 布 比 较 ， 可 知),( 2 nN a nzc a 在 标 准 正 态 分布 下 对 应 c的 临界 值 于 是 ， 可 得 nznz a 0解 之 得 azzn 0 )(两 边 平 方 就 得 到 给 定 犯 第 二 类 错 误 临 界 水 平 的总 体 均 值 假 设 检 验 的 样 本 容 量 公 式 20 22)( )( azzn 注 ： 对 双 尾 检 验 ， 只 要 将 式 中 的 单 尾 检 验 的 临 界 值换 成 相 应 的 双 尾 检 验 的 临 界 值 即 可 。z标 准 正 态 分 布 一 侧 面 积 为 时 对 应 的 z值 ； z标 准 正 态 分 布 一 侧 面 积 为 时 对 应 的 z值 ； 0原 假 设 中 总 体 均 值 的 值 ； a出 现 第 二 类 错 误 时 总 体 均 值 的 实 际 值 。 某 厂 要 接 受 供 货 商 提 供 的 一 批 电 池 ， 按 设 计 要 求 ，电 池 寿 命 的 均 值 应 不 低 于 120小 时 ， 现 在 检 验 人 员从 货 物 中 随 机 抽 取 了 一 个 由 36个 电 池 构 成 的 一 个 样本 进 行 检 验 ， 以 确 定 是 否 应 该 接 受 这 批 电 池 。考 虑 例 子关 于 第 一 类 错 误 的 说 明 ： 如 果 电 池 的 平 均 寿 命 为 120小 时 ， 我 们 愿 冒 0.05的 风 险 概 率 拒 绝 这 批 货 物 。关 于 第 二 类 错 误 的 说 明 ： 如 果 电 池 的 平 均 寿 命 比规 格 要 求 少 5小 时 ， 我 们 愿 冒 0.10的 风 险 概 率 接 受这 批 货 物 。 在 本 例 中 10.0,05.0 查 正 态 分 布 表 ， 得 28.1,645.1 10.005.0 zz而 已 知 115,120,12 0 a于 是 3.49)115120( 12)28.1645.1( 2 22 n因 而 建 议 选 择 的 样 本 容 量 为 不 低 于 50。 分 为 如 下 两 种 情 形1. 未 知 均 值 ， 原 假 设 H0：2. 未 知 均 值 ， 原 假 设 H0： 202 202 202 问 题 的 实 际 背 景 见 p152例 6.2.4。原 假 设 H0： 202 备 择 假 设 H1： 202 检 验 统 计 量 设 已 经 得 到 样 本 观 察 值 x1, x2, , xn。则 可 以 计 算 样 本 方 差 S 2。 根 据 上 一 章 讨 论 的 结 果有 统 计 量 )1()1( 22 22 nSn 若 原 假 设 H0成 立 ， 则 上 面 的 统 计 量 是 一 个 合 乎 要求 的 检 验 统 计 量 。 对 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 可 以 确 定 临 界 值2 212 2, 使 得 2,2 2 2122 22 PP因 此 如 果 我 们 通 过 样 本 观 察 值 计 算 得 到 的 2统 计 量 的值 2满 足 2 2122 22 或这 表 明 在 一 次 抽 样 的 结 果 中 出现 了 概 率 仅 为 的 事 件 。 这 不太 可 能 ， 因 此 我 们 拒 绝 原 假 设H0； 否 则 若 表 达 式 （ *） 不 成立 ， 则 我 们 不 拒 绝 原 假 设 H0 。 （ *）2 21 2 2 202 问 题 的 实 际 背 景 见 p153例 6.2.5。原 假 设 H0： 202 备 择 假 设 H1： 202 检 验 统 计 量 仍 采 用 检 验 统 计 量 )1()1( 220 22 nSn 这 是 一 个 单 尾 检 验 问 题 。对 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 可 以 确 定 单 侧 临 界 值 21 使 得 212P 如 果 我 们 通 过 样 本 观 察 值 计 算 得 到 的 2统 计 量 的值 2满 足 212 则 我 们 拒 绝 原 假 设 H0； 否 则 上 式 不 成 立 ， 则 我 们不 拒 绝 原 假 设 H0 。 21 面 积 为 的 拒绝 域 由 于 正 态 总体 的 方 差 检验 是 利 用 服从 2分 布 的 统计 量 进 行 的 ,因 此 也 称 为 2检 验 0.152 20.028 (cm ).s ( 0.05)2 22 210 0 0: 0.0225, :H H 2 0H220( 1)n S 2( 1)n 20.05(9) 16.919 220( 1) 9 0.028 11.2 16.9290.0225sn 0H 2( 1)n l 检 验 统 计 量 检 验 均 值 若 已 知 方 差 2 若 未 知 方 差 2检 验 方 差 无 论 是 否 知 道 均 值 )1,0(0 NnXZ )1(0 ntnSXT )1()1( 220 22 nSn 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 -3.5 -1.5 0.5 2.5 k=5 k=20 正 态 分 布 由 于 当 自 由 度 充 分 大 时 ， t分 布 非常 接 近 标 准 正 态 分 布 。 因 此 大 样 本情 况 下 ， （ ） 通 常 不 使 用 t 统 计 量 ， 而 是 使 用 Z统 计 量 。 此 外这 也 意 味 着 对 于 非 正 态 总 体 ， 在 大样 本 情 形 ， 也 可 用 该 方 法 进 行 假 设检 验 。 30n )1,0(0 NnSXZ 从 应 用 的 普 遍 程 度 来 看 ， 关 于 方 差 的 检 验 远 不 及关 于 均 值 的 假 设 检 验 。 关 于 均 值 是 否 改 变 的 假 设检 验 常 用 于 下 列 问 题 ：改 变 了 工 艺 或 配 方 ， 是 否 提 高 了 平 均 效 率 或 产 品质 量 ？培 训 前 后 （ 或 学 习 前 后 ） ， 是 否 提 高 了 技 术 水 平 、效 率 等 ？某 管 理 措 施 实 施 后 ， 是 否 提 高 了 平 均 效 率 或 产 品质 量 ？采 用 某 治 疗 方 案 ， 病 人 的 某 项 指 标 是 否 明 显 改 变 ？。 。 。 。 。 。 在 实 际 中 ， 常 要 考 虑 具 有 一 定 特 征 的 某 类 个 体 在总 体 中 占 的 比 例 问 题 。 设 该 类 个 体 在 总 体 中 占 的比 例 为 p， 记 X为 在 总 体 中 随 机 抽 取 一 件 恰 好 是 这种 个 体 的 结 果 ， 则 X服 从 0-1分 布 B(1, p)。实 际 中 ， 可 能 并 不 知 道 该 类 个 体 的 比 例 p。 因 此 需要 通 过 抽 取 随 机 样 本 来 估 计 总 体 的 参 数 p。 例 6.3.1 招 聘 测 试 问 题 。 某 公 司 人 力 资 源 部 要 招 聘 若 干名 某 专 业 领 域 的 工 程 师 。 出 了 10道 选 择 题 ， 每 题 有 4个 备 选 答 案 ， 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 。 也 就 是 说 正 确的 比 率 只 有 1/4。 问 至 少 应 答 对 几 道 题 ， 才 能 考 虑 录取 ？ 录 取 某 应 聘 者 他 不 是 完 全 凭 猜 来 答 题他 答 题 正 确 的 概 率 大 于 1/4通 过 他 的 答 题 来 检 验 参 数p 1/4 一 般 地 ， 设 XB(1, p)， 设 X1, X2, , Xn是 X的 n个 随 机样 本 。 则 可 以 得 到 均 值 函 数 的 期 望 值 和 方 差 。 但 在 小样 本 情 况 下 ， 不 知 道 均 值 函 数 的 分 布 。 可 见 均 值 函 数不 能 作 为 合 适 的 检 验 统 计 量 。 但 是 如 下 的 统 计 量 的 分布 是 完 全 知 道 的 ： nXXXY 21实 际 上 ， Y服 从 二 项 分 布 B(n, p)。检 验 方 法 ：原 假 设 ：备 择 假 设 ： 00 : ppH 01: ppH 注 意 这 里 的 检 验 统 计 量 并 非 样 本 的 均 值 函 数 ， 因 此 检验 方 式 有 别 于 前 面 的 假 设 检 验 。 注 意 Y = r， 表 示 n次 取 样 中 ， 恰 有 r次 取 到 所 关 注 的个 体 。 如 果 所 关 注 的 个 体 占 的 比 例 p=p0， 则 r不 应 该太 大 ， 否 则 就 应 有 pp0。换 言 之 ， 存 在 某 个 阈 值 k， 若 r k， 则 拒 绝 原 假 设 H0，而 接 受 备 择 假 设 H1。阈 值 k按 如 下 的 确 定 ： 由 于 只 要 Y k， 就 拒 绝 原 假设 。 但 拒 绝 原 假 设 可 能 犯 错 误 。 自 然 希 望 犯 错 误 的概 率 比 较 小 。 对 事 先 给 定 的 ， k是 满 足 下 式 的 最小 整 数 ： kr rYP )(即 所 有 取 值 大 于 或 等 于 k的 事 件 Y概 率 之 和 不 超 过 。确 定 k后 ， 则 只 要 n次 抽 样 中 所 关 注 的 个 体 出 现 的 次 数不 小 于 k， 则 拒 绝 原 假 设 H0， 而 接 受 备 择 假 设 H1. 下 面 考 虑 例 6.3.1的 解原 假 设 ：备 择 假 设 ： 25.0:0 pH 25.0:1 pH 1021 XXXY )25.0,10(BY若 原 假 设 成 立 ， 则 rrrrYP 10)25.01()25.0(10)(由 此 可 得 k=6。因 此 只 有 当 答 对 的 题 数 超 过 6道题 时 ， 才 会 受 聘 。 对 于 某 类 个 体 在 总 体 中 的 比 例 问 题 ， 本 质 上 都 可 使 用0-1分 布 B(1, p)的 分 布 样 本 X1, X2, , Xn， 构 造 检 验 统 计量 来 检 验 该 类 个 体 在 总 体 中 的比 例 。 但 是 当 样 本 容 量 充 分 大 时 ， Y的 统 计 值 的 计 算比 较 困 难 。 而 此 时 ， 按 中 心 极 限 定 理 ， 近 似 地 有 统 计量 nXXXY 21 )1(,( n pppNX 因 而 可 以 按 照 前 面 那 样 ， 利 用 上 述 分 布 来 构 造 检 验 统计 量 。经 验 表 明 ： 当 np 10, n(1 p) 10时 ， 即 可 利 用 上 述分 布 了 。 因 此 ， 对 0-1分 布 的 比 例 值 ， 在 大 样 本 下 ， 检 验 方 法如 下1.设 立 假 设原 假 设 ：备 择 假 设 ： 00 : ppH 01: ppH 2. 计 算 如 下 的 检 验 统 计 量 的 值 ： )1,0()1( 00 0 Nn pp pXZ 3. 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 可 查 表 得 到 临 界 值 z若 由 第 2步 中 计 算 得 到 的 统 计 值 z满 足 则 拒绝 原 假 设 。 zz 例 6.3.2 招 聘 测 试 问 题 某 公 司 人 力 资 源 部 要 招 聘 若 干名 某 专 业 领 域 的 工 程 师 。 出 了 100道 “ 正 误 ” 选 择 题 。对 于 接 受 招 聘 的 人 来 说 ， 即 使 什 么 都 不 会 ， 猜 正 确 的比 率 都 是 0.5。 问 如 果 某 人 答 对 了 62道 题 ， 能 否 考 虑录 取 ？原 假 设 ：备 择 假 设 ： 5.0:0 pH 5.0: 1 pH计 算 检 验 统 计 量 的 值 4.2100 5.05.0 5.062.0)1( 00 0 n pp pxz对 于 显 著 性 水 平 =0.01， z=2.33。 z z 。 拒 绝 原 假 设 ，因 此 该 受 聘 者 不 是 凭 猜 答 题 。 可 以 考 虑 录 取 。由 于 np=n(1-p) =5010， 所 以可 以 使 用 大 样本 的 比 例 值 检验 方 法 进 一 步 讨 论 计 算 可 知 ， 若 受 聘 者 答 对 60个 题 ， 则 相应 的 检 验 统 计 量 的 值 为 z = 2， 这 大 于 显 著 性 水 平 为 = 0.0233时 的 临 界 值 z= 1.99。 也 就 是 ， 当 应 聘 者 得分 为 60分 时 ， 凭 猜 获 得 该 分 数 的 概 率 就 只 有 0.0233。例 6.3.3 退 货 比 例 问 题 一 个 卖 男 士 衬 衣 的 邮 购 店 ， 从过 去 的 经 验 中 总 结 出 有 15%的 购 买 者 说 衬 衣 的 大 小 不合 身 ， 要 求 退 货 。 现 在 这 家 邮 购 店 改 进 了 邮 购 定 单 的设 计 ， 结 果 在 接 下 来 售 出 的 500件 衬 衣 中 ， 有 60件 要求 退 货 。 问 在 5%的 显 著 性 水 平 上 ， 改 进 后 的 退 货 比 例与 原 退 货 比 例 有 无 显 著 差 异 ？ 原 假 设 ：备 择 假 设 ： 15.0:0 pH 15.0:1 pH计 算 检 验 统 计 量 的 值 875.1016.0 15.012.0)1( 00 0 n pp pxz对 于 显 著 性 水 平 =0.05， z =1.645。 z p2） 则 查表 可 以 得 到 单 侧 的 临 界 值 为 z =1.645。 由 于 z = 0.81 1.645 = z 故 不 拒 绝 原 假 设 H0， 因 此 两 个 方 案 没 有 显 著 区 别 。 用 统 计 量检 验 方 差 是 否相 等 用 统 计 量 检 验 均 值 是 否 相 等 mSnSYXT 2221 21 )()( 用 统 计 量 检 验 均 值 是 否 相 等 mnmn SmSn YXT 112 )1()1( )()( 2221 21 22 21SSF NY 例 6.6.2（ p171） 本 案 例 由 大 连 理 工 大 学 王 雪 华 教 授 介 绍某 食 品 企 业 的 技 术 人 员 研 究 开 发 了 一 种 据 称 有 抗 疲劳 功 效 的 含 碘 食 品 。 企 业 管 理 层 评 估 了 这 种 食 品 的市 场 前 景 后 ， 认 为 生 产 该 食 品 将 给 企 业 带 来 可 观 的利 润 。 但 是 必 须 经 检 验 证 实 该 食 品 确 实 具 有 抗 疲 劳作 用 才 能 获 得 投 放 市 场 的 许 可 。问 题 ： 如 何 检 验 该 食 品 抗 疲 劳 的 功 效 ？