格林公式及其应用

一 、 格 林 公 式二 、 平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件三 、 二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 )()( aFbFxF dxba xF)(xF一 、 格 林 公 式在 一 元 积 分 学 中 ， 牛 顿 -莱 布 尼 茨 公 式 ：表 示 : 在 区 间 a,b上 的 积 分 可 以 通 过 它 的 原 函 数在 这 个 区 间 端 点 上 的 值 来 表 达 。下 面 介 绍 的 格 林 公 式 告 诉 我 们 ， 在 平 面 闭 区 域 D上的 二 重 积 分 可 以 通 过 沿 闭 区 域 D的 边 界 曲 线 L 上 的 曲线 积 分 来 表 达 。 yx 22 yx 22 设 D为 平 面 区 域 ， 如 果 D内 任 一 闭 曲 线 所 围 的 部 分 都属 D则 称 D为 平 面 单 连 通 区 域 ， 否 则 称 为 复 连 通 区 域 。 通俗 的 说 ， 平 面 单 连 通 区 域 就 是 不 含 “ 洞 ” （ 包 括 点 “ 洞 ” ）的区 域 ， 复 连 通 区 域 是 含 有 “ 洞 ” （ 包 含 “ 洞 ” 的 区 域 ） 。例 如 ， 平 面 上 的 圆 形 区 域 （ x,y） |1 4 或 2都 是 复 连 通 区 域 。（ x,y） | 00 ， 作 为 于 D内 的圆 周 l : 记 L 和 l 所 围 得 闭 区 域 为 D1 (如 图 )。对 复 连 通 区 域 D1 应 用 格 林 公 式 ， 得 L xyD1l0 lL yxyx ydxxdyydxxdy 2222 dr rr 20 2 2222 sincos2 其 中 l 的 方 向 取 逆 时 针 方 向 ， 于 是 ：02222 lL yxyx ydxxdyydxxdy ),(),( 2211 yxByxA 一 般 来 说 ， 曲 线 积 分 的 值 除 了 与 被 积 函 数 有 外 ，还 与 积 分 的 路 径 有 关 ， 但 在 自 然 界 中 许 多 问 题 的 曲 线积 分 是 与 路 径 无 关 的 。 如 重 力 场 、 静 电 场 中 研 究 力 问题 时 遇 到 的 曲 线 积 分 ， 通 常 属 于 这 种 情 况 。 设 G 是 一 个 开 区 域 ， 且 P (x,y) , Q(x,y) 在 G内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 。 如 果 对 于 G 内 任 意 指 定 的两 个 点 ： 二 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 L QdyPdx B A QdyPdx ),( ),( 22 11 yx yx QdyPdx 以 及 G 内 从 点 A 到 点 B 的 任 意 两 段 曲 线 L1， L2等 式 ： 1 2L L QdyPdxQdyPdx恒 成 立 ， 则 称 曲 线 积 分 在 G 内 与 路 径无 关 ， 否 则 就 称 该 曲 线 积 分 与 路 径 有 关 ， 此 时 ， 从 A 到 B 的 曲 线 积 分 可 记 为 或 定 理 2 设 二 元 函 数 P (x,y),Q(x,y)在 单 连 通 区 域 G 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 在 单 连 通 区 域 G 内 下 列 条件 等 价 ： yPxQ L QdyPdx 0 L QdyPdx（ 1）（ 2） 沿 任 意 分 段 光 滑 的 有 向（ 3） 曲 线 积 分与 路 径 无 关 。闭 曲 线 L ， 有 ),( ),( 00),( yx yx QdyPdxyxu QdyPdxdu 满 足注 意 ： (1) 定 理 中 的 等 价 关 系 是 建 立 在 单 连 通 区 域内 的 ， 并 且 要 求 P (x,y) ,Q(x,y) 在 G上 具 有 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 当 这 两 个条 件 之 一 不 满 足 时 ， 等 价 关 系 都 可 能 不 成 立 。(2) 定 理 中 命 题 (2)和 (3)的 等 价 区 域 可 以不 是 单 连 通 的 。 (3) 若 函 数 P (x,y), Q(x,y) 满 足 定 理 2条 件 L dyyxQxydy ),(2 )1,( )0,0( ),1( )0,0( ),(2),(2t t dyyxQxydxdyyxQxydx yxyxQ )2(例 4 设 函 数 Q(x,y) 在 xoy面 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 曲 线 积 分与 路 径 无 关 ， 且 对 任 意 实 数 t ， 恒 有求 函 数 Q (x,y).解 ： 由 题 意 知 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 因 而 有 .2xxQ )(),( 2 yyxQ x )(y xyo 1 tt 1 即 于 是 其 中为 任 意 可 导 函 数 。如 图 所 示 ， 取 点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对 所 给 等 式 左 端 沿 折 线 OAB ,右 端 沿 折 线 OCD直 线 进 行 曲 线 积 分 ， 得 t t dyyQdxdyytQdx0 10 10 0 .),1(0),(0将 前 面 得 到 的 Q (x,y) 代 入 上 式 ， 得 10 02 )(1)( t dyydyyt 即 1 0 02 )()( t ytdyyt 两 段 对 t 求 导 数 ， 得 )(12 tt 或 12)( tt故 12),( 2 xyxQ x 三 、 二 元 函 数 的 全 微 分 求 积给 定 u(x,y)， dy.yudxxudu(x,y) -求 二 元 函 数 全 微 分 问 题,QdyPdx 给 定 ),( yxu求 QdyPdxyxdu ),(使 得 -二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 分 题讨 论 以 下 两 个 问 题 ： 是 某满 足 什 么 条 件、 QdyPdxyxQyxP ),(),()1( 的 全 微 分 ？二 元 函 数 ),( yxu ？如 何 求 这 样 的 ),()2( yxu定 理 3 设 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 ， 函 数 P(x,y)+Q(x,y) ， 在 G内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 在 G内 是 某 个 函 数 的 全 微 分 的 充 分 必 要 条 件 是 ：yQxP 在 G内 恒 成 立 。证 明 略 。 推 论 ： 内 具 有 一 阶 连 续在，是 单 连 通 区 域 ，设 GyxQyxPG ),(),( 的 充 要 条 件 是内 与 路 径 无 关在偏 导 数 ， 则 曲 线 积 分 L GQdyPdx .),(),(),( dyyxQdxyxPyxdu 说 明 ： 件是 某 函 数 的 全 微 分 的 条给 出 了定 理 QdyPdx3)1( yPxQ (2) 推 论 给 出 了 全 微 分 求 积 得 方 法 ， 即 ： 可 用 积 分 法 求 ),(G 00 yxMQdyPdxdu 内 的 原 函 数 取 定 起 点在及 动 点 M(x,y)， O 0 x0yy x ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu yx y dyyxQdxx xP y 00 ,),(),( 0 .),(),(),( 00 0 dxyxPdyyxQyxu xxyy 或 例 ： 并 求 出 这 个 函 数 。是 某 个 函 数 的 全 微 分 ，验 证 ydyxdxxy 22 证 ： 可 知 ， 存 在 函 数有 定 理则设 2,2P, 22 xQxyyyxQxyP ydyxdxxyduyxu 22),( 使 220 20 0 22),( )0,0( 221 0yx ydyx ydyxdxx ydyxdxxyyx yyx ),( yxu 小 结 内 容 应 用1、 格 林 公 式常 用 来 将 较 复 杂 的 曲 线 积 分 的 计 算 转 化 为 较简 单 的 二 重 积 分 的 计 算 .2、 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( yPxQ 3.等 价 条 件设 P, Q 在 D 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 有 L QdyPdx 在 D 内 与 路 径 无 关 .对 D 内 任 意 闭 曲 线 L 有 L ;QdyPdx 0在 D 内 有 .xQyP 在 D 内 有 .QdyPdxdu L QdyPdxI xQyP xQyP 闭 合非 闭0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 补 充 曲 线 或 用 公 式 dxdyyPxQI D )( 求 第 二 类 曲 线 积 分 的 思 路 : 1 . 计 算 下 面 曲 线 积 分 ， 并 验 证 格 林 公 式 的 正 确 性 ：dyxdxxy yxL )()2( 22 xy 2 xy 2解 ： dyxdxxy yx L )()2( 22 )()2()( 221 2 dyxdxxy yxL L 其 中 L 是 由 抛 物 线 及 所 围 成 的 区域 的 正 向 边 界 曲 线 ； dyydxxx yyyyxxx 01 224310 423 )(2)2(2)()2( 01 24510 235 )242()22( dydx yyyxxx 301)323431()312131( ,),(,2),( 22 yx xyxQxyyxP dxdyxdxdyyPxQ DD )21()( dxxydyx ydx xx y 22 10 210 )21( 故 用 二 重 积 分 计 算 ： dxx xxx 10 4221 )( 30151312132 LD QdyPdxdxdyyPxQ )(2. 利 用 曲 线 积 分 ， 求 下 面 曲 线 所 围 成 的 图 形 面 积 ： 圆 ：axyx 2 22 解 ： ayax 222)( ,20,sin,cos ayaax 正 确 。的 参 数 方 程 为 ：所 以 格 林 公 式 ：圆 ： aa d daaaa ydxxdyA L 2202 20 )cos1(2 )sin(sincos)cos1(21 21 3 . 证 明 下 面 曲 线 积 分 在 整 个 xOy 面 内 与 路 径 无 关 ， 并 计 算 积分 值 ： )3,2( )1,1( )()( dyyxdxyx 解 : ,1,1 xQyPxQyP 在 整 个 xOy平 面 内 成 立 ， 所 以 积 分 与 路 径 无 关 。 选 取 特 殊 的 积 分 路 径 为 从 (1,1)到 (2,1)到 (2,3)的 折 线 ， 则 25 )2()1( )()(21 21)3,2( )1,1( dyydxx dyyxdxyx 因 为 4 利 用 格 林 公 式 ， 计 算 下 面 曲 线 积 分 ： L dyxydxyx ,)635()42( 其 中 L 为 三 顶 点 分 别 为(0,0),(3,0)和 (3,2)的 三 角 形 正 向 边 界 ；解 ： ,635,42 xyQyxP 4)1(3 yPxQ所 以 原 式 DD dxdydxdyyPxQ 4)( 1238430 320 30 xdxdydx x因 为