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定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算法法 则曲面积分证明:由定义知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页例例1.计算曲面积分计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页思考思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下两部分,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页例例2.计算计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页例例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:若例3 中被积函数改为计算结果如何?第10页/共27页例例4.求半径为求半径为R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的的重心重心.解:设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:例 3 是否可用球面坐标计算?例3 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页例例5.计算计算解:取球面坐标系,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页例例6.计计算算其中 是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页例例7.计计算算其中 是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页例例8.求椭圆柱面求椭圆柱面位于 xoy 面上方及平面 z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.解:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页例例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度 h=36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径 R=6400 km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为第16页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球 以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求 A(见下册P109 例2).第17页/共27页内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页思考与练习思考与练习P158 题1；3；4(1);7 解答提示:P158 题1.P158 题3.设则P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页P158 题题4(1).在 xoy 面上的投影域为这是 的面积!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页P159 题题7.如图所示,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页P184 题题2.设设一卦限中的部分,则有().(2000 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页作业 P158 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页备用题备用题 1.已知曲面已知曲面壳壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M.解:在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页2.设设 是四面体是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页感谢您的欣赏！第27页/共27页
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