高三数学高考一轮复习资料： 任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学高考一轮复习资料： 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ; 任意角和弧度制及任意角的三角函数 最新考纲1了解任意角的概念；了解弧度制的概念 2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形按旋转方向不同分为正角、负角、零角.(2)分类按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个汇合S|k360，kZ 2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad. (2)公式： 角的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 定义 l|r(弧长用l表示) 1801180rad 1 rad 弧长l|r 11S2lr2|r2 正弦 余弦 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则 y叫做的正弦，记作sin 1正切 yx叫做的正切，记作tan x叫做的余弦，记作cos 口诀全正，正弦，正切，余弦 续表三角函数线有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 辨 析 感 悟 1对角的概念的认识 (1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟，那么分针转过的角度是30.() (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等() 2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角的终边经过点P(1,2)，那么sin 225.22512() 有向线段AT为正切线 (6)(济南模拟改编)点P(tan ，cos )在第三象限，那么角的终边在第二象限 ()(7)(新课标全国卷改编)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，5终边在直线y2x上，那么cos 5.2 感悟提升()1一个区别 “小于90的角、“锐角、“第一象限的角的区别如下： 小于90的角的范围：，2，锐角的范围：0，2，第一象限角的范围：2k，2k(kZ)所以说小于90的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，2反之不成立如(1)、(2)2三个防备 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是避免角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7). 考点一 象限角与三角函数值的符号判断cos 【例1】 (1)假设sin tan 0，且tan 0，那么角是()A第一象限角C第三象限角(2)sin 2cos 3tan 4的值() A小于00C等于0在解析 (1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，cos 由tan 0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40， sin 2cos 3tan 40. 答案 (1)C (2)A规律办法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限3 B第二象限角 D第四象限角 B大于 D不存 【训练1】 设是第三象限角，且cos 2cos 2，那么2是()A第一象限C第三象限B第二象限 D第四象限解析 由是第三象限角，知2为第二或第四象限角， cos 2cos 2，cos 20，知2为第二象限角 答案 B考点二 三角函数定义的应用2【例2】 已知角的终边经过点P(3，m)(m0)且sin 4m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值 解 由题意得，r3m2，sin m2m. 3m24m0，m5.故角是第二或第三象限角当m5时，r22，点P的坐标为(3，5)，角是第二象限角， x36y515cos r4，tan x3. 223当m5时，r22，点P的坐标为(3，5)，角是第三象限角 x36y515cos r4，tan x3. 223615615综上可知，cos 4，tan 3或cos 4，tan 3. 规律办法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.假设题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)3【训练2】 已知角的终边在直线y3x上，求10sin cos 的值 解 设角终边上任一点为P(k，3k)，4 那么rk23k210|k|. 当k0时，r10k， sin 3k3110k，cos k10， 10k10310sin cos 3103100； 当k0时，r10k， 3k3sin ，10k1010k1cos k10，310sin cos 3103100. 3综上，10sin cos 0.考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为R. (1)假设60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)假设扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 1审题路线 (1)角度化为弧度求扇形的弧长S弓S扇S分别求S扇2lr，S12r2sin 计算得S弓(2)由周长C与半径R的关系确定R与的关系式代入扇形面积公式确定S扇与的关系式求解最值解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，那么 10603，R10，l3103(cm)， 1101S弓S扇S23102102sin 3 5050333250(cm2)32(2)法一 扇形周长C2Rl2RR，R5 C， 2