导线测量的误差传播

導 線 測 量 的 誤 差 傳 播導 線 測 量 中 各 種 誤 差 估 值 的 推 導導 線 測 量 閉 合 差 之 計 算 與 分 析 前 言n 在 測 量 計 畫 中 可 能 會 有 不 同 等 級 的 精 度 規 範 ， 但 卻 不允 許 有 錯 誤 觀 測 量 存 在 。n 若 有 錯 誤 觀 測 量 ， 要 如 何 處 理 ？n 本 章 將 考 慮 這 個 問 題 ， 特 別 著 重 在 導 線 測 量 的 分 析 。n 此 概 念 在 第 19章 會 有 較 詳 細 的 討 論n 第 5章 已 討 論 函 數 中 各 觀 測 量 的 誤 差 傳 播 ， 即 函 數 的 誤差 估 值 與 各 觀 測 量 有 關n 一 般 平 面 控 制 測 量 (如 導 線 測 量 )的 觀 測 量 ， 是 獨 立 不 相關 的 n 如 距 離 觀 測 與 方 位 角 觀 測 是 獨 立 不 相 關 的n 但 根 據 距 離 與 方 位 角 所 計 算 而 得 的 縱 、 橫 距 坐 標 ， 卻 是 相 關而 非 獨 立 的 前 言n 圖 7.1顯 示 距 離 與 方 位 角 誤 差 對 縱 橫 距 坐 標 計 算 之 影 響n 若 據 以 計 算 縱 橫 距 坐 標 的 觀 測 量 獨 立 不 相 關 ， 則 可 利用 式 (5.15)來 計 算 它 們 的 誤 差 估 值 ； 若 觀 測 量 為 相 關 ，則 必 須 利 用 式 (5.12) Txxzz AA 其 差 別 在 觀 測 量 的 協變 方 矩 陣 的 元 素 ， 若觀 測 量 獨 立 不 相 關 ，則 協 變 方 為 對 角 矩 陣 ，否 則 為 全 矩 陣 。 縱 橫 距 誤 差 估 值 的 推 導n 縱 橫 距 的 計 算 公 式 如 下n Lat = D cos(Az)n Dep= D sin(Az)n 由 誤 差 傳 播 定 律 知 ， 應 先 對 此 公 式 取 偏 微 分 ， 再 利 用式 (5.15)計 算 即 可 求 得 縱 橫 距 誤 差 估 值 Dcos(Az)AzDep )Az(sinDDep )7.2( -Dsin(Az)AzLat )Azcos(DLat 縱 橫 距 誤 差 估 值 的 推 導n 例 7.1 假 設 導 線 邊 長 139.2540.006m， 方 位 角 為233526 9， 縱 橫 距 與 其 誤 差 估 值 各 若 干 ？n 由 式 (5.15)得 2DepDepLat, DepLat,2Lat2Az2DDep,Lat AzDep AzLat DDep DLat 0 0 AzDep DDep AzLat DLat (7.3) Dcos(Az) Dsin(Az)- (Az) sincos(Az) )/9( 0 0 0.006Dcos(Az) sin(Az) Dsin(Az)- cos(Az) 22Dep,Lat (7.4) 000036772.0 000000337.0 000000337.0 000036147.0 127.6164 55.7292- 0.4002 0.9164 9-.9039e1 0 0 0.000036127.6164 0.4002 55.7292- 0.9164Dep,Lat 縱 橫 距 誤 差 估 值 的 推 導(7.4)式 中 ， 211為 縱 距 之 變 方 ， 222為 橫 距 之 變 方 ， 12與 21為 縱 距 與 橫 距 之 協 變 方 ， 故 縱 距 之 標 準 偏 差 ：Lat= (211) =0.006m， 橫 距 之 標 準 偏 差 ： Dep= (222) =0.006m由 (7.4)式 可 見 ： 協 變 方 矩 陣 之 非 對 角 線 上 元 素 非 為 0，故 縱 橫 距 之 計 算 值 為 互 相 相 關 ， 如 圖 7.1所 示 邉 方 位 角 標 準 誤 差 估 值 的 推 導n (7.1)式 係 由 邊 方 位 角 來 計 算 縱 橫 距 ， 實 際 上 ，邊 方 位 角 常 由 觀 測 角 度 計 算 而 得 ， 而 非 由 直 接觀 測 。 由 角 度 值 計 算 而 得 的 方 位 角 存 在 另 一 層次 的 誤 差 傳 播n 若 導 線 觀 測 其 內 角 ， 且 以 逆 時 針 方 向 推 算 各 邉 方 位角 ， 則 其 計 算 公 式 為 n Azc=Azp+180+in 由 誤 差 傳 播 定 律 得 (7.6) 22AzAz ipc 目 前 推 算 邊的 方 位 角前 一 邊 的 方位 角 觀 測 內 角觀 測 內 角 的 誤 差 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 閉 合 導 線 的 存 在 下 列 幾 何 約 制 條 件n 內 角 =(n-2)180n Lats =縱 距 和 = 0n Deps=橫 距 和 = 0n 不 滿 足 這 些 條 件 就 稱 為 閉 合 差 (misclosures)n 閉 合 差 的 統 計 分 析 可 決 定 閉 合 差 是 否 合 理 ， 或是 否 有 錯 誤 存 在 n 錯 誤 的 觀 測 量 必 須 去 除 ， 重 新 觀 測n 利 用 下 列 例 子 說 明 閉 合 差 的 計 算 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 例 7.2 計 算 圖 7.2所 示 導 線 之 角 度 與 線 性 閉 合 差(位 置 閉 合 差 )， 導 線 觀 測 資 料 如 表 7.1所 列 ， 距離 單 位 為 ft， 在 95 之 信 心 水 準 下 ， 閉 合 差 估值 為 若 干 ？ 是 否 有 任 何 可 能 之 大 錯 存 在 ？測 站 覘 標 距 離 (ft) S(ft) 後 視 測 站 前 視 角 度 SABCDE BCDEA 1435.67856.941125.661054.54756.35 0.0200.0200.0200.0200.020 EABCD ABCDE BCDEA 110244087361412547279957021161456 3.53.13.63.13.9表 7.1 圖 7.2中 距 離 與 角 度 觀 測 值 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 解 ：n 角 度 檢 核 ： 利 用 誤 差 傳 播 定 率 計 算 導 線 閉 合 差 是 否在 容 許 誤 差 規 範 內n 角 度 和 誤 差 須 位 於 下 列 公 式 所 計 算 值 之 68.3 內2 n2221 n 因 角 度 重 複 觀 測 4次 ， 每 個 觀 測 平 均 值 的 自 由 度 為 3； 其 95%信 心 水 準 相應 的 t0.025,3值 為 3.183(查 D.3表 )， 故 其 相 應 的 估 值 為 6.249.31.36.31.35.3183.3 22222 根 據 表 7.1知 ， 實 際 的 角 度 閉 合 差 為 19 24.6， 故 在 95 之 信心 水 準 下 ， 沒 理 由 相 信 存 有 角 度 大 誤 差 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 方 位 角 計 算 ： 本 題 並 無 任 何 已 知 方 位 角 ， 為 解 決 這個 問 題 ， 可 假 設 第 一 邊 之 方 位 角 為 000， 且 無 誤差 ， 可 以 這 麼 假 設 ， 因 為 問 題 僅 在 檢 核 導 線 之 幾 何閉 合 條 件 ， 而 非 檢 核 導 線 的 方 位 ， 即 使 觀 測 了 第 一個 邊 方 位 角 ， 也 是 如 此 表 7.2 圖 7.2之 計 算 方 位 角 與 其 估 計 誤 差由 至 估 計 誤 差A B 0 0 0 0B C 267 36 14 3.1C D 213 23 41 (3.1 2+3.62)1/2=4.8D E 133 20 43 (4.82+3.12)1/2=5.7E A 69 35 39 (5.72+3.92)1/2=6.9方 位 角 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 線 性 閉 合 差 計 算 ： 由 於 縱 橫 距 坐 標 具 有 相 關 性 ， 在計 算 時 應 採 一 般 誤 差 傳 播 定 律 式 (5.12)n 因 縱 橫 距 坐 標 之 計 算 式 是 非 線 性 函 數 ， 應 先 與 以 線 性 化 (即取 一 階 導 數 )， 其 結 果 為 (7.10) )(cosD )(sin 0 0 0 0 )sin(D- )cos( 0 0 0 0 0 0 )cos(D )(sin 0 0 0 0 )sin(D- )cos( 0 0 0 0 0 0 )cos(D )sin( 0 0 0 0 )sin(D- )cos( EAEAEA EAEAEACBCC CBCCABAB AzAz AzAzAzAz AzAzAzAz AzAz BB BBABAB ABAB AA矩 陣 稱 為Jacobian matrix 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 因 距 離 與 角 度 觀 測 為 獨 立 不 相 關 ， 故 其 協 變 方 矩 陣 中 非 對角 元 素 均 為 0n 由 誤 差 傳 播 定 律 知 ， 縱 橫 距 坐 標 的 協 變 方 矩 陣 為lat,dep=AAT (7.11) )( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 0 0 0 0 0 2Az2D22Az2D22Az2D EAEAABBCABAB 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析 00043.000034.000000000 00034.000061.000000000 0000061.000062.0000000 0000062.000064.0000000 000000060.000050.00000 000000050.000049.00000 00000000040.000002.000 00000000002.000017.000 0000000000 00000000000040.0,Deplat各 對 角 線 元 素 的 平 方 根 ， 即 可 得 每 一 邊 縱 橫 距 之 誤 差 估 值 ， 如 BC邊 之 縱 距誤 差 估 值 為 協 方 差 矩 陣 中 第 (3,3)元 素 0.00017之 平 方 根 ， BC邊 之 橫 距 誤 差 估 值 為 第 (4,4)元 素 0.00040之 平 方 根其 餘 各 邊 縱 橫 距 的 誤 差 估 值 可 同 理 類 推 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 閉 合 導 線 之 線 性 閉 合 差 (即 為 位 置 閉 合 差 )如 下n LC=(LatAB+LatBC+LatEA)2+(DepAB+DepBC+DepEA)2n 為 了 求 得 該 誤 差 估 值 ， 同 樣 必 須 利 用 誤 差 傳 播 定 律 ， 因 位置 誤 差 公 式 為 非 線 性 ， 故 需 線 性 化 ， 如 對 AB的 一 階 偏 導 數為 (7.14) LCDepsDepLC LCLatsLatLC ABAB ；由 上 式 可 發 現 ， 這 些 偏 導 數 均 與 邊 無 關 ， 且 其 他 邊 之 偏 導 數 都相 同 。 故 一 般 誤 差 傳 播 定 律 的 係 數 矩 陣 為 (7.15) LCDeps LCLats LCDeps LCLats LCDeps LCLatsA 閉 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析 00229.0 2588.0 9647.02588.0 9647.02588.0 9647.02588.0 9647.02588.0 9647.0 2588.09647.02588.09647.02588.09647.0 , DepLatLC ftt LCLC 15.000229.0183.323,025.0 縱 橫 距 計 算 如 表 7.3所 示 ， 由 表 可 見 ： 縱 距 和為 -0.082ft， 橫 距 和 為 0.022ft， 線 性 閉 合 差 為0.085ft。將 這 些 值 代 入 誤 差 傳 播 定 律 公 式 中 即 可 求 得 位置 閉 合 差 的 誤 差 估 值 邊 縱 距 (ft) 橫 距 (ft)ABBCCDDEEA 1435.67-35.827-939.811-723.829263.715=-0.082 0-856.191-619.567766.894708.886=0.022LC=(-0.082)2+(0.022)2=0.085ft表 7.3 例 7.2的 縱 橫 距因 導 線 的 位 置 閉 合 差 為0.085ft， 而 其 容 許 誤 差 為0.15ft， 故 在 95%信 心 水準 下 ， 導 線 並 無 錯 誤 觀 測量 存 在 。 附 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 圖 7.3所 示 為 兩 端 各 附 合 於 已 知 點 之 附 合 導 線 ， 類 此 通常 為 求 解 如 圖 中 之 A、 B、 C、 D等 點 之 位 置 ， 另 求 解 角度 與 線 性 閉 合 差 ， 以 評 估 觀 測 值 之 接 受 與 否 。n 例 7.3 計 算 圖 7.3所 示 導 線 之 角 度 與 線 性 (位 置 )閉 合 差 ，導 線 觀 測 數 據 如 表 7.4所 列 ， 距 離 單 位 為 m， 在 95 之信 心 水 準 下 ， 預 估 閉 合 差 為 若 干 ？ 評 估 是 否 有 任 何 可能 之 大 錯 存 在 ？ 附 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 解 n 角 度 閉 合 差 ： 附 合 導 線 角 度 閉 合 差 之 計 算 ， 是 先 按 照 方 位 角 推 算 公式 計 算 各 邊 之 方 位 角 ， 最 後 邊 的 方 位 角 再 與 已 知 方 位 角 相 減 ， 其 結果 如 表 7.4所 示 。n 由 表 發 現 ， 最 後 邊 計 算 值 與 其 已 知 值 之 差 為 +9(=841922-(2641913-180)， 而 利 用 誤 差 傳 播 定 律 ， 得 其 預 估 誤 差 為 (11.02+4.12)1/2=11.7，實 際 值 小 於 未 乘 以 t之 預 估 值 ， 沒 理 由 假 設 角 度 存 有 大 錯 表 7.4 例 7.3之 導 線 資 料 自 ： 至 ： 距 離 (m) S(m) 後 視 測 站 前 視 S()1 A 325.880 0.006 1 A B 66 16 35 4.9 A B 284.458 0.006 A B C 205 16 46 5.5B C 249.930 0.006 B C D 123 40 19 5.1 C D 372.871 0.006 C D 2 212 0 55 4.6D 2 388.077 0.006 測 站 X(m) Y(m) 自 ： 至 ： S()1 380.390 1212.799 1 A 197 4 47 4.3 2 1485.290 1120.750 2 D 264 19 13 4.1 方 位 角 ( ) 角 度 ( )角 度 觀 測 控 制 點 方 位 角 觀 測 距 離 觀 測 附 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 位 置 閉 合 差 ： 先 按 照 縱 橫 距 公 式 推 算 各 邊 導 線 點 的 縱 橫 距 ，接 著 計 算 縱 橫 距 的 總 和 ， 並 與 已 知 控 制 點 的 縱 橫 距 相 減 即 可求 得 (或 推 算 各 導 線 點 坐 標 ， 最 後 推 算 的 控 制 點 坐 標 與 已 知 坐標 相 減 )。 n 已 知 控 制 點 1、 2兩 點 之 縱 橫 距 差 各 為 ： -92.050m與 1104.900m，而 由 表 7.6得 知 ： 1、 2兩 點 實 際 之 縱 橫 距 差 各 為 ： -92.089m與1104.890m， 故 根 據 觀 測 求 得 之 縱 橫 距 閉 合 差 分 別 為 ： -0.039m與 -0.010m， 位 置 閉 合 差 為 此 兩 者 平 方 和 之 平 方 根 =0.040m 表 7.5 方 位 角 初 值 與 其 誤 差邊 1A 197 4 47 4.3AB 83 21 22 6.5BC 108 38 8 8.5 CD 52 18 27 9.9D2 84 19 22 11.0方 位 角 表 7.6 縱 橫 距 計 算 值邊 縱 距 (m) 橫 距 (m)1A -311.508 -95.712AB 32.911 282.547BC -79.864 236.826 CD 227.982 295.054D2 38.390 386.174 = -92.089 1104.890 附 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 導 線 的 預 估 閉 合 差 ： 其 計 算 類 似 前 述 閉 合 導線 ， 先 求 縱 橫 距 之 A係 數 矩 陣 、 觀 測 值 協方 差 矩 陣 ， 再 求 縱 橫 距 誤 差 之 協 方 差 矩 陣 ，最 後 求 位 置 閉 合 差 誤 差 之 協 方 差 矩 陣 ).(LatDepLC 187閉合差 22 (7.19) )(cosD )(sin 0 0 0 0 )sin(D- )cos( 0 0 0 0 0 0 )cos(D )(sin 0 0 0 0 )sin(D- )cos( 0 0 0 0 0 0 )cos(D )sin( 0 0 0 0 )sin(D- )cos( D2D2D2 D2D2D2ABAB11A1 11A1 AzAz AzAzAzAz AzAzAzAz AzAz ABAB ABABAA AA A (7.20) )( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 0 0 0 0 0 22222D222D 22AB11A DDABA AzDAzAz 0.000041 -0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000-0.000001 0.000046 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000080 -0.000005 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 -0.000005 0.000038 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Lat,Dep= 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000100 0.000021 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000A AT= 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000021 0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 unit=m2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000217 -0.000136 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000136 0.000146 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000421 -0.0000380.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000038 0.000041).(LCDepLCLatLCDepLCLatLCDepLCLat 217 A 將 相 應 的 數 值 代 入 式 (7.19)與 (7.20)， 再 由 誤 差 傳 播 定 律可 得 縱 橫 距 的 協 方 差 矩 陣為 了 求 導 線 閉 合 差 的 誤 差 估 值 ， 由 閉 合 差 公 式 知 ， 應 先 求Jacobian matrix A， 再 利 用 誤 差 傳 播 定 率 計 算 之 LC=ALat,DepAT=0.000749 附 合 導 線 閉 合 差 之 計 算 與 分 析n 同 例 7.2， 查 表 D.3， 得 =0.05, 自 由 度 =3之t0.025,3=3.183； 在 95 之 信 心 水 準 下 ， 位 置 閉 合 差 的誤 差 估 值 為 3.183 0.000749m = 0.087m， 比 實 際閉 合 差 0.040m高 很 多 ， 因 此 ， 在 95 之 信 心 水 準 下 ，沒 理 由 相 信 導 線 存 有 錯 誤n 利 用 傳 統 方 式 ， 如 羅 盤 儀 法 則 平 差 計 算 附 合 導線 時 ， 常 假 設 控 制 無 誤 差 ； 實 際 上 ， 控 制 坐 標也 是 由 觀 測 值 所 推 算 的 ， 自 然 包 含 誤 差 ， 對 應用 式 (7.21) 時 ， 也 假 設 控 制 點 坐 標 沒 誤 差 ， 嚴謹 計 算 時 ， 應 修 正 相 關 計 算 式 。 n 最 小 自 乘 法 平 差 的 主 要 優 點 即 因 平 差 計 算 時 可包 含 控 制 ， 詳 如 第 十 八 章 所 述 結 論n 本 旨 在 討 論 導 線 測 量 計 算 觀 測 量 的 誤 差傳 播 。n 誤 差 傳 播 定 律 為 一 非 常 有 用 的 工 具 ， 它可 回 答 ：n 可 接 受 的 導 線 閉 合 差 為 何 ？ 作 業n 7.8、 7.11