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一、导数概念（）10定义 左导数右导数 可以证明：可导连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。20导数的几何意义曲线在点处切线： 例1：讨论在x=0处可导性解： 在x = 0连续不存在 在x = 0不可导例2：已知存在则 例3：设函数可微， 则例4：P63 例2-5 设 为使在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b解：首先必须在x0连续 （由得）存在 从而例5： = x (x-1)(x-2)(x-9) , 则 例6：设在x = 0 领域内连续， 则 （分母0） 例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 问 存在否?解： 二、导数的求法 10 显函数导数求一个显函数的导数需解决： 基本初等函数导数(P64); 导数四则运算法则(P65); 复合函数与反函数求导法则(P66)。定理：在X有导数，在对应点u有导数，则复合函数在X处也有导数，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高阶导数、二阶： 例10：， 求解： 先讲微分（后页）20 隐函数导数参数方程导数 如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)例10：求下列隐函数的导数（1）设求解： 方程两边对x求导， （2）设是由方程所确定的隐函数， 求解： 由原方程知当x=0时， 方程两边对x求导。 ，将x=0，代入得：(3) 是由方程所确定的隐函数, 试求,。解: 方程两边对x求导： 方程两边再对x求导： 由原方程知，当时，代入得再将，代入式，得(4) 设求解： (5) 设是由方程组所确定的函数，求：。解： (6) P90习题1330 分段函数的导数1) 设求：解：当 不存在，故 高阶导数（n阶）略， 例 2) 设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数 (1) 确定的值，使在（）上连续(2) 对（1）中确定的，证明在（）上 一阶导数连续解： 即当 在连续， 也就是在（）连续 而在连续,即在连续三、 微分 一阶微分形式不变 （自变量） 如 (中间变量)例： ， ， 可导 可微三、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1 罗尔定理如满足：（1）在连续. （2）在可导. （3） 则至少存在一点 使例 设，则 在区间（-1，0）内，方程 有2个实根；在（-1，1）内有2个根例 设在0，1可导，且， 证明存在，使。证： 设在a,b可导， 存在使 即例 设在0，1可导，且, 证明存在 。解: 设，且 由罗尔定理 存在 使 即， 亦即例 P91 习题29 设2、 拉格朗日中值定理如满足：在a,b连续；在（a,b）连续，则存在使。推论： 如果在区间I上，则 如果在区间I上， 在单增（减）例对任意满足的x， 都有设 例 设，证明19
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