汽车测试技术第三章

第 三 章 测 试 装 置 的 基 本 特 性本 章 学 习 要 求 ：1.了 解 测 试 装 置 的 基 本 要 求 及 线 性 系 统 的 性 质 ； 2.掌 握 常 用 的 静 态 特 性 指 标 ， 如 ： 灵 敏 度 、 线 性度 、 回 程 误 差 等 ；3.掌 握 传 递 函 数 、 频 率 响 应 函 数 的 定 义 、 特 点 ；4.了 解 系 统 实 现 不 失 真 测 试 的 条 件 。 第 一 节 概 述 传 输(转 换 特 性 )输 入 x t 输 入 y t h t输 入 量 或 被 测 量 x t 系 统 的 传 输 或 者 转 换 特 性 h t 输 出 量 y t 如 果 已 知 ， 通 过 对 的 观 察 ， 可 推 断 。 如 果 已 知 ， 可 测 ， 则 可 推 断 。 如 果 和 已 知 ， 则 可 推 断 和 估 计 。 h t h t h t x t x t y t y t x t y t 理 想 的 测 试 仪 器 或 系 统 除 了 具 有 单 值 的 、 确 定 的输 入 输 出 关 系 外 ， 最 好 是 一 个 单 向 线 性 系 统 。 很 多 物 理 系 统 是 时 变 的 。 在 工 程 上 ， 常可 以 以 足 够 的 精 确 度 认 为 系 统 中 的 参 数 是时 不 变 的 常 数 。 返 回 章 目 录第 一 节 概 述理 想 的 测 试 装 置 输 出 和 输 入 成 线 性 关 系 。 即 具 有 单 值的 、 确 定 的 输 入 -输 出 关 系 。 系 统 为 时 不 变 线 性 系 统 。实 际 的 测 试 装 置 只 能 在 较 小 工 作 范 围 内 和 在 一 定 误 差 允许 范 围 内 满 足 线 性 要 求 。 第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 在 静 态 测 量 中 ， 定 常 线 性 系 统 的 输 入 -输 出 微 分 方 程式 变 成 理 想 的 定 常 线 性 系 统 ， 其 输 出 将 是 输 入 的 单 调 、 线 性 比例 函 数 ， 其 中 斜 率 S是 灵 敏 度 ， 应 是 常 数 。 实 际 的 测 量 装 置 并 非 理 想 的 定 常 线 性 系 统 ， 其 微 分 方 程式 的 系 数 并 非 常 数 。 测 试 装 置 的 静 态 特 性 就 是 在 静 态 测 试 情 况 下 描 述实 际 测 试 装 置 与 理 想 定 常 线 性 系 统 的 接 近 程 度 。 下 面 来 讨 论 一 些 重 要 的 静 态 特 性 。Sxxy ab 00 返 回 章 目 录 第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性x y灵 敏 度 是 测 试 装 置 输 入 量 增 量 与 由 它 引 起 的 输 出 增 量之 间 的 函 数 关 系 ， 反 映 了 测 量 装 置 对 被 测 物 理 量 变 化 的 反 应 能 力 。 灵 敏 度 yS x 或 dyS dx 但 是 ， 一 般 的 测 试 装 置 总 不 是 理 想 定 常 线 性 系 统 ， 用 拟 合 直 线的 斜 率 来 作 为 该 装 置 的 灵 敏 度 。y xx y 测 量 曲 线拟 合 直 线 灵 敏 度 有 量 纲 ， 其 单 位 取 决 于 输 入 、 输 出 量 的 单 位 。 灵 敏 度 例 ： 压 力 传 感 器 YZC-1B ， 重 量 变 化 1kg时 ， 输 出 电 压 变化 1mV， 则 其 灵 敏 度 为 ：第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性1000 1( / )1 gk g Vmv 当 测 试 装 置 的 输 出 与 输 入 为 同 一 量 纲 时 ， 灵敏 度 常 称 为 放 大 倍 数 。 对 于 定 常 线 性 系 统 ， 其 灵 敏 度 恒 为 常 数 。 但 是 ， 实 际 的 测 试 系 统 并 非 是定 常 线 性 系 统 ， 因 此 其 灵 敏 度 也 不 为 常 数 。 通 常 在 工 作 频 率 范 围 内 的 幅 频特 性 曲 线 以 最 平 坦 为 好 ， 对 具 有 代 表 性 的 频 率 点 进 行 标 定 。 基 本 物 理 单 位 是 基 本 物 理 量 的 度 量 单 位 ， 例 如 长 短 、 体 积 、 质 量 、时 间 等 等 之 单 位 。 这 些 单 位 反 映 物 理 现 象 或 物 理 量 的 度 量 ， 叫 做 “ 量纲 ” 。 时 间 的 长 短 （ 秒 、 分 、 时 ） 、 质 量 的 大 小 （ g、 kg） 、 速 度 的快 慢 （ km/h、 m/s） 等 等 ， 都 是 量 纲 ， 它 们 反 映 特 定 物 理 量 或 物 理现 象 的 度 量 ， 在 物 理 学 或 者 计 算 上 常 常 以 物 理 量 的 单 位 来 表 示 。 习 题 ： 在 使 用 灵 敏 度 为 80nC/MPa的 压 电 式 力 传 感 器 进 行压 力 测 量 时 ， 首 先 将 它 与 增 益 为 5mV/nC的 电 荷 放 大 器 相连 ， 电 荷 放 大 器 接 到 灵 敏 度 为 25mm/V的 笔 试 记 录 仪 上 ，试 求 该 压 力 测 试 系 统 的 灵 敏 度 。 当 记 录 仪 的 输 出 变 化30mm时 ， 压 力 变 化 为 多 少 ？ 解 ： （ 1） 求 解 串 联 系 统 的 灵 敏 度 1 2 3 10( / )S S S S mm MPa （ 2） 求 压 力 值 。 3YF MPaS 第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 (2)漂 移 漂 移 漂 移 有 两 类 ， 即 零 点 漂 移 和 灵敏 度 漂 移 。 无 论 是 哪 种 漂 移 ， 常 都 是由 温 度 的 变 化 及 元 器 件 性 能 的 不 稳 定所 引 起 。 图 是 零 点 漂 移 和 灵 敏 度 漂 移的 示 意 图 。 对 于 一 般 的 测 试 系 统 ， 灵敏 度 越 高 ， 则 测 量 范 围 越 小 ， 稳 定 性亦 相 对 较 差 ， 即 漂 移 亦 相 对 较 明 显 。 稳 定 度 是 指 测 量 装 置 在 规 定 条 件 下 保 持 其 测 量 特 性 恒 定 不 变 的能 力 。 通 常 在 不 指 明 影 响 量 时 ， 稳 定 度 指 装 置 不 受 时 间 变 化 影 响 的 能 力 。第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 重 复 性 是 指 测 试 系 统 在 输 入 量 按 同 一 方 向 作 全 量 程连 续 多 次 变 化 时 ， 所 得 特 性 曲 线 不 一 致 的 程 度 。 重 复 性 误差 是 属 于 正 态 分 布 的 ， 相 对 重 复 性 误 差 指 标 准 差 或 正 反 行程 中 最 大 重 复 差 值 与 满 量 程 输 出 值 之 比 。(3)重 复 性第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 100% R FSRY (4)线 性 度线 性 度 ： 校 准 曲 线 接 近 拟 合 直 线 的 程 度 。第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性式 中 ： B为 校 准 曲 线 与 拟 合 直 线 的 最 大 偏 差 。 A为 装 置 的 标 称 输 出 范 围 。 %100%100 max FSYLAB 线 性 度 回 程 误 差 又 称 迟 滞 性 。在 测 试 过 程 中 ， 经 常 会 出 现正 向 输 入 （ 输 入 由 小 到 大 ）所 得 到 的 输 出 规 律 与 反 向 输入 （ 输 入 由 大 到 小 ） 系 统 的输 出 规 律 不 一 致 ， 二 者 之 差称 为 回 程 误 差 。(5)回 程 误 差第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 回 程 误 差 产 生 的 原 因 ： 如 铁 磁 材 料 的 磁 滞 、 结 构 材 料 的 受力 变 形 的 滞 后 现 象 、 机 械 结 构 中 的 摩 擦 和 游 隙 等 。 %100 FSmaxr YHE (6)分 辨 力 分 辨 力 ： 测 试 系 统 能 测 量 到 最 小 输 入 量 变 化 的 能 力 ，即 能 引 起 输 出 量 发 生 变 化 的 最 小 输 入 变 化 量 。 用 表 示 。由 于 测 试 系 统 在 全 量 程 范 围 内 ,各 测 量 区 间 的 不 一 定 总是 相 等 ， 因 此 常 用 全 量 程 范 围 内 最 大 的 即 来 表 示 。 xx x maxx 第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 分 辨 率 ： 分 辨 力 与 满 量 程 的 百 分 数 表 示 ， 是 一 个 无量 纲 比 率 。 max 100%FSxY 精 确 度 （ Accuracy） 是 指 得 到 的 测 定 结 果 与 真 实 值之 间 的 符 合 程 度 。 精 确 度 是 诸 如 线 性 度 、 温 度 漂 移 、回 程 误 差 等 一 系 列 因 素 所 导 致 的 不 确 定 度 之 和 。 测 量 不 确 定 度 ： 表 征 合 理 地 赋 予 被 测 量 之 值 的 分 散性 ， 与 测 量 结 果 相 联 系 的 参 数 。(7)精 确 度第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 A类 标 准 不 确 定 度 （ UA） 标 准 不 确 定 度 B类 标 准 不 确 定 度 （ UB） 合 成 标 准 不 确 定 度 （ UC） 不 确 定 度 U（ K 2） 测 扩 展 不 确 定 度 U（ K 3） 量 U95 不 U99确 定 A类 相 对 标 准 不 确 定 度 （ U Arel）度 相 对 标 准 不 确 定 度 B类 相 对 标 准 不 确 定 度 （ UBre） 合 成 相 对 标 准 不 确 定 度 （ UCrel） 相 对 不 确 定 度 Urel （ K 2） Urel （ K 3） 相 对 扩 展 不 确 定 度 Urel 95 Urel 99第 二 节 测 试 装 置 的 静 态 特 性 输 入 量 随 时 间 变 化 时 ， 输 出 随 输 入 变 化 的 规 律 ， 称 为 系统 的 动 态 特 性 。 在 输 入 变 化 时 ， 人 们 所 测 得 的 输 出 量 不 仅 受 到 研 究 对 象（ 如 汽 车 ） 动 态 特 性 影 响 ， 而 且 还 受 到 测 试 系 统 动 态 特 性 的影 响 。 如 进 行 汽 车 行 驶 平 顺 性 试 验 ， 在 测 试 条 件 完 全 相 同 的情 况 下 ， 用 同 一 仪 器 系 统 ， 对 汽 车 不 同 位 置 的 测 试 ， 其 结 果均 不 相 同 ； 用 不 同 的 仪 器 对 汽 车 同 一 部 位 的 测 试 ， 其 结 果 也不 可 能 完 全 相 同 。 前 面 述 及 ， 为 了 获 得 准 确 的 测 试 结 果 ， 希 望 所 组 成 的 仪 器系 统 是 线 性 的 ， 其 原 因 是 ： 只 有 线 性 系 统 才 便 于 用 数 学 方法 对 其 进 行 处 理 ； 在 动 态 测 试 中 ， 非 线 性 校 正 比 较 困 难 。 第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 当 系 统 的 输 入 x(t)和 输 出 y(t)之 间 的 关 系 可 用 常 系 数 线性 微 分 方 程 （ 2-1）来 描 述 ， 也 称 定 常 线 性 系 统 。 )()(0)(1)(1)( 0)(1)(1)( 1111 txbbbb tyaaaa dttdxdt txdmdt txdm dttdydt tydndt tydn mmmm nnnn 线 性 系 统 及 其 主 要 性 质 返 回 章 目 录 第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 011 , aaaa nn 式 中 t为 时 间 自 变 量 。 系 统 的 系 数 均 为 常 数 。011 , b,b,bb mm 和 先 线 性 运 算 ， 再 经 系 统 先 经 系 统 ， 再 线 性 运 算若 tfHCtfHCtfCtfCH 22112211 则 系 统 是 线 性 系 统 ,否 则 是 非 线 性 系 统 . H 1C2C tf1 tf2 tfC 11 tfC 22 tfCtfCH 2211 H H tf1 tf2 tfH 1 tfH 2 1C2C tfHC 11 tfHC 22 tfHCtfHC 2211 H 判 断 方 法 ：第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 一 个 系 统 ， 在 零 初 始 条 件 下 ， 其 输 出 响 应 与 输入 信 号 施 加 于 系 统 的 时 间 起 点 无 关 ， 称 为 非 时 变 系 统 ，否 则 称 为 时 变 系 统 。认 识 :电 路 分 析 上 看 :元 件 的 参 数 值 是 否 随 时 间 而 变 从 方 程 看 :系 数 是 否 随 时 间 而 变从 输 入 输 出 关 系 看 :1.非 时 变 系 统 的 定 义 ：第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 )(te )( 0tte )(tr )( 0ttr H)(te t tT0 0 )(tr t)( 0tte 0 0t Tt 0 t0 )( 0ttr 0t 第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 如 以 x(t) y(t)表 示 上 述 系 统 的 输 入 、 输 出 的 对 应 关 系 ，则 时 不 变 线 性 系 统 具 有 以 下 一 些 主 要 性 质 。 返 回 章 目 录 第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 叠 加 特 性 示 例(1).叠 加 特 性 )332(10)(2 tSinty 叠 加 特 性 ： 系 统 对 各 输 入 之 和 的 输 出 等 于 各 单 个 输 入 的 输 出 之 和 即 若 x1(t) y1(t)， x2(t) y2(t) 则 x1(t) x2(t) y1(t) y2(t) 叠 加 原 理 表 明 ： 同 时 作 用 的 两 个输 入 量 所 引 起 的 响 应 ， 等 于 该 两个 输 入 量 单 独 引 起 的 响 应 之 和 。 线 性 系 统 的 叠 加 特 性 S)(1 tx )(1 tyS)(2 tx )(2 ty(a)S)(1 tx )()( 21 tyty (b)(c)(2 tx (2).比 例 特 性 常 数 倍 输 入 所 得 的 输 出 等 于 原 输 入 所 得 输 出 的 常 数 倍 ，即 : 若 x(t) y(t) 则 kx(t) ky(t) 比 例 特 性 示 例 系 统 对 原 输 入 信 号 的 微 分 等 于 原 输 出 信 号 的 微 分 ， 即 若 x(t) y(t) 则 当 初 始 条 件 为 零 时 ， 系 统 对 原 输 入 信 号 的 积 分 等 于 原输 出 信 号 的 积 分 ， 即 若 x(t) y(t) 则 (3).微 分 特 性(4).积 分 特 性 dttdydttdx )()( 0 00 0 )()(t t dttydttx 若 系 统 的 输 入 为 某 一 频 率 的 谐 波 信 号 ， 则 系 统 的 稳 态 输出 将 为 同 一 频 率 的 谐 波 信 号 ， 即 若 x(t)=Acos(t+x) 则 y(t)=Bcos(t+y)(5).频 率 保 持 特 性 简 单 证 明 ： 若 ： 由 比 例 性 得 ： 据 微 分 性 有 ： 据 叠 加 性 有 ： 0( ) j tx t x e ( ) ( )x t y t2 2( ) ( )x t y t 2 22 2( ) ( )d x t d y tdt dt2 22 22 2( ) ( ) ( ) ( )d x t d y tx t y tdt dt 2 2 202( ) ( ) ( )j td x t j x e x tdt 2 22( ) ( ) 0d x t x tdt 则 ：解 微 分 方 程 可 得 到 唯 一 的 解 为 ：式 中 ： 初 相 位 。2 22( ) ( ) 0d y t y tdt ( )0( ) j ty t y e 频 率 保 持 性 的 作 用可 以 利 用 线 性 系 统 的 频 率 保 持 特 性 消 除 干 扰 。若 已 知 某 线 性 系 统 输 入 的 频 率 ， 则 该 系 统 输 出的 频 率 必 然 与 之 相 同 ， 显 然 ， 其 它 频 率 的 信 号就 是 来 自 外 界 的 干 扰 噪 声 ；可 以 利 用 线 性 系 统 的 频 率 保 持 性 判 断 系 统 的 属性 。 对 于 一 个 未 知 系 统 ， 若 输 出 的 频 率 与 输 入的 频 率 相 同 ， 则 该 系 统 一 定 是 一 线 性 系 统 。 第 三 节 测 试 装 置 动 态 特 性 定 常 线 性 系 统 的 测 试 装 置 ， 可 用 常 系 数 线 性 微 分 方 程 来 描述 ， 但 使 用 时 有 许 多 不 便 。 因 此 ， 常 通 过 拉 普 拉 斯 变 换 建 立 其相 应 的 “ 传 递 函 数 ” ， 通 过 傅 立 叶 变 换 建 立 其 相 应 的 “ 频 率 响应 函 数 ” ， 以 便 更 简 便 地 描 述 装 置 或 系 统 的 特 性 。 返 回 章 目 录h(t)H(s) H()S=j拉 氏 变 换 傅 立 叶 变 换拉 氏 反 变 换 傅 立 叶 反 变 换 描 述 系 统 动 态 特 性 更 为 广 泛 的 函 数 是 传 递 函 数 传 递 函 数 的 定 义 ： x(t)、 y(t)及 其 各 阶 导 数 的 初 始 值 为 零 ，系 统 输 出 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 (拉 氏 变 换 )与 输 入 信 号 的 拉氏 变 换 之 比 ， 记 为 式 中 为 输 出 信 号 的 拉 氏 变 换 为 输 入 信 号 的 拉 氏 变 换 传 递 函 数 (Transfer function)( )H s ( )( ) ( )Y sH s X s( )Y s 0( ) ( ) stY s y t e dt 0( ) ( ) stX s x t e dt ( )X s , 0,s j 复 频 率 s为 拉 氏 变 换 算 子 ： 和 皆 为 实 变 量 系 统 的 传 递 函 数 若 线 性 系 统 的 初 始 条 件 为 零 ， 即 当 时 ： 则 对 线 性 系 统 微 分 方 程 拉 氏 变 换 ： 0)()()( 00110 ttnntnn dttyddt tyddt tyd 11 1 011 1 0( ) ( )( ) ( )n nn nm mm ma s a s a s a Y sb s b s bs b X s )()(0)(1)(1)( 0)(1)(1)( 1111 txbbbb tyaaaa dttdxdt txdmdt txdm dttdydt tydndt tydn mmmm nnnn 0 )()()( 00110 ttmmtmm dttxddt txddt txd 工 程 中 的 测 试 系 统 一 般 均 为 稳 定 系 统 ， 其 传 递 函 数 分母 中 S的 幂 次 总 是 高 于 分 子 中 S的 幂 次 ， 因 此 ， 分 母 中 S的幂 次 n代 表 微 分 方 程 的 阶 数 。 所 对 应 的 系 统 分 别 称 为 一 阶系 统 ， 二 阶 系 统 ， 三 阶 系 统 ， 。 11 1 011 1 0( )( ) ( ) m mm mn nn nb s b s bs bY sH s X s a s a s a s a 系 统 的 传 递 函 数传 递 函 数 ： 反 映 了 系 统 瞬 态 和 稳 态 时 间 响 应 信 息 传 递 函 数 的 特 点 ：系 统 的 传 递 函 数H(S)中 的 分 母 完 全 由 系 统 的 结 构 所 决 定 ， 因 此 系 统 的 本体 特 性 只 取 决 于 系 统 的 结 构 ， 与 输 入 输 出 信 号 无 关 。H (S)是 实 际 物 理 系 统 抽 象 为 数 学 模 型 后 的 拉 普 拉 斯 变 换 ，因 此 ， 物 理 性 质 不 同 的 系 统 或 元 件 ， 可 以 具 有 相 同 类 型的 传 递 函 数 H (S)。H(S)以 测 试 系 统 本 身 的 参 数 表 示 出 输 入 与 输 出 之 间 的 关系 ， 所 以 它 将 包 含 着 联 系 输 入 量 与 输 出 量 所 必 须 的 单 位 。而 分 子 则 与 激 励 点 位 置 、 激 励 方 式 、 所 测 量 的 变 量 以 及测 量 点 布 置 情 况 有 关 。 系 统 的 传 递 函 数 RLC电 路 ， 如 果 输 入 电 压 是 随 时 间 变 化 的 ， 其 输 出 是 随 时 间 变 化 的 电 压 则 可 建 立 输 入 和 输 出 之 间 的 微 分 方 程 ： 可 见 此 电 路 是 二 阶 线 性 系 统 ， 如 果 电 气 结 构 参 数 R、 L、 C在运 行 过 程 中 不 发 生 变 化 ， 则 是 定 常 系 统 。 2 2( ) ( )( ) ( )c cr cd u t du tu t LC RC u tdtdt ( )ru t( )cu t ( )( ) 1( ) ( ) ( ), ( ) cr du tdi tL Ri t i t dt u t i t Cdt C dt 2( ) 1( ) ( ) 1crU sH s U s LCs RCs 2 2( ) ( )( ) ( )c cr cd u t du tu t LC RC u tdtdt 系 统 的 传 递 函 数对 上 式进 行 拉 氏 变 换 可 得 系 统 传 递 函 数 H (s) 环 节 的 串 联 和 并 联两 个 传 递 函 数 各 为 和 的 环 节 ，串 联 时系 统 的 传 递 函 数 H(s)在 初 始 条 件 为 零 时 ：对 几 个 环 节 串 联 组 成 的 系 统 ， 有)(1 sH )(2 sH )()()( 21)( )()( )()( )( sHsHsH sZ sYsX sZsX sY ni i sHsH 1 )()( 返 回 章 目 录 系 统 的 传 递 函 数 Y(s)H (s)X(s) Z(s)H 1(s) H 2(s) 并 联 时因 由 n个 环 节 并 联 组 成 的 系 统 ， 有)()()( 21 sYsYsY ni i sHsH 1 )()( sHsH sH sX sYsX sYsX sY 21 )( )()( )()( )( 2211)( 返 回 章 目 录系 统 的 传 递 函 数 H (s) Y(s)X(s) +H 1(s)H 2(s) Y1(s)Y2(s) 闭 环 系 统 的 传 递 函 数 图 是 两 个 子 系 统 和 组 成 的 闭 环 系 统 ， 该 系统 的 传 递 函 数 为 ： 闭 环 系 统1( )H s 2( )H s )( )()( SX SYSH )()()( 21 SXSXSX )()()( 11 SHSXSY )()()()( 2112 SHSHSXSX )()(1 )()( )()( 21 1 SHSH SHSX SYSH 系 统 的 传 递 函 数 频 率 响 应 函 数以 S=j代 入 H (S)得 1 1 1 011 1 0( ) ( ) ( )( )( ) 1( ) ( ) ( ) ( )m mm mn nn nb j b j b j bY jH j jX j a j a j a j a 频 率 响 应 函 数 是 传 递 函 数 的 特 例 。 对 线 性 系 统 的 微 分 方 程 进 行 傅 氏 变 换 ， 其 输 出 傅 式 变 换 与输 入 傅 氏 变 换 之 比 ， 称 为 频 率 响 应 函 数 。( )H j( ) ( ) ( )Y j X j H j 输 出 信 号 的 幅 、 相 频 图输 入 信 号 的 幅 、 相 频 图)(A 0 )( 0 10 32 )(A 0 5 22 )(A 0 5 22 10 32 )( 0 22 )( 0 32 632 3 6 3 22 (a)(b)(c) 输 入 ： 简 谐 信 号 x(t)=X0sint 稳 态 输 出 ： 简 谐 信 号 y(t)=Y0sin(t+) 相 同 ： 输 入 和 输 出 都 为 同 频 率 的 简 谐 信 号 . 不 同 ： 两 者 的 幅 值 不 一 样 ， 其 幅 值 比 A()=Y0/X0随 频 率 而变 化 ， 是 的 函 数 。 相 位 差 ()也 是 频 率 的 函 数 。 11 1 011 1 0( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm mn nn nb j b j b j bY jH j X j a j a j a j a F物 理 意 义 :频 率 响 应 函 数 是 在 正 弦 信 号 的 激 励 下， 测 量 装 置 达 到 稳 态 后 输 出 和 输 入 之 间 的 关 系 。(1).幅 频 特 性 (2).相 频 特 性A() 、 ()统 称 为 系 统 的 频 率 特 性 。 定 常 线 性 系 统 在 简 谐 信 号 的 激 励 下 ， 其 稳 态 输 出 信 号和 输 入 信 号 的 幅 值 比 ， 记 为 A()；稳 态 输 出 对 输 入 的 相 位 差 ， 记 为 () ； ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jH j P jQ A A 式 中 ： 为 复 函 数 的 模 ， 其 值 为 ： ( )A ( )H j ( )( ) arg ( ) ( )QH j arctg P 2 2( ) ( ) ( ) ( )A H j P Q ( ) ( )H j是 的 相 角 ， 其 值 为 ：H(j)一 般 为 复 数 ， 写 成 实 部 和 虚 部 的 形 式 ：11 1 011 1 0( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm mn nn nb j b j b j bY jH j X j a j a j a j a 脉 冲 响 应 函 数若 输 入 为 单 位 脉 冲 ， 即 x(t)=(t)， 则 X(s)=L(t)=1。装 置 的 相 应 输 出 是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s),其 时 域 描 述 可 通 过 对 Y(s)的 拉 普 拉 斯 反 变 换 得 到h(t)常 称 为 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数 或 权 函 数 。 时 域 脉 冲 响 应 函 数 h(t)系 统 特 性 的 描 述 频 域 频 率 响 应 函 数 H() 复 数 域 传 递 函 数 H(s) )()()( 1 thsHLty 返 回 章 目 录 系 统 的 传 递 函 数 F频 响 函 数 的 含 义 是 一 系 统 对 输 入 与 输 出 皆 为正 弦 信 号 传 递 关 系 的 描 述 。 它 反 映 了 系 统 稳态 输 出 与 输 入 之 间 的 关 系 ， 也 称 为 正 弦 传 递函 数 。F传 递 函 数 是 系 统 对 输 入 是 正 弦 信 号 ， 而 输 出是 正 弦 叠 加 瞬 态 信 号 传 递 关 系 的 描 述 。 它 反映 了 系 统 包 括 稳 态 和 瞬 态 输 出 与 输 入 之 间 的关 系 。F权 函 数 是 在 时 域 中 通 过 瞬 态 响 应 过 程 来 描 述系 统 的 动 态 特 性 。 幅 频 特 性 和 相 频 特 性( )A ( ) ( )A ( ) ( )A ( ) 20lg ( ) lgA ( ) lg 频 率 响 应 函 数 的 模 和 相 角 均 是 频 率 的 函 数 ， 在工 程 上 常 将 其 分 别 称 为 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 。 在 直 坐 标 图 上画 出 的 和 曲 线 分 别 称 为 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性曲 线 。 对 于 动 态 系 统 ， 为 了 表 达 上 方 便 ， 常 将 和 画 在 对 数 坐 标 中 ， 便 可 得 到 曲 线 和 曲 线 ， 二 者 统 称 为 伯 德 （ Bode） 图 。伯 德 图 （ Bode图 ）F20lgA()-lg曲 线 为 对 数 幅 频 曲 线F()-lg曲 线 对 数 相 频 曲 线 。 奈 奎 斯 特 图 将 频 率 响 应 函 数 的 实 部 和 虚 部 分 别 作 为 横 坐 标 和纵 坐 标 ， 画 出 它 们 随 的 变 化 曲 线 ， 称 为 奈 奎 斯 特 （ Nyquist）图 ， 如 图 所 示 。 图 中 ， 自 坐 标 原 点 到 曲 线 上 某 一 频 率 点 所 作的 矢 量 长 度 便 是 该 频 率 点 的 幅 值 ， 该 矢 量 与 横 坐 标 的 夹角 便 是 相 角 。 ( )P ( )Q ( )H j( ) F奈 魁 斯 特 图 （ Nyquist图 ）F作 Im()-Re()曲 线 并 注 出 相 应 频 率 例 : 某 测 试 系 统 传 递 函 数 11 0.5 H s s ， 当 输 入 信 号 分 别1 sinx t ，2 sin4x t 为 ， 时 ， 试 分 别 求 系 统 稳 态 输 出 。2 21 1 j(j ) 1 j 0.5 2 1 fH f f f 2 21( ) 1A f f ( ) argtan( )f f 1 1: 0.5Hzx f 1( ) 0.537A f 1( ) 57.52 of2 2: 2Hzx f 2( ) 0.157A f 2( ) 80.96 of1( ) 0.537sin( 57.52 )y t t o 2( ) 0.157sin(4 80.96 )y t t o 一 阶 和 二 阶 系 统 的 特 性 任 何 一 个 高 于 二 阶 的 系 统 都 可 以 看 成 是 由 若 干 个 一 阶 和 二阶 系 统 的 并 联 或 串 联 。 因 此 ， 一 阶 和 二 阶 系 统 是 分 析 和 研究 高 阶 、 复 杂 系 统 的 基 础 。 零 阶 系 统 （ Zero-order system)数 学 表 述传 递 函 数K： 静 态 灵 敏 度 零 阶 系 统 的 输 出 和 输 入 同 步 变 化 ， 不 产 生 任 何 的 失 真 和 延 迟 ，因 此 是 一 种 理 想 的 测 试 系 统 ， 如 位 移 电 位 器 、 电 子 示 波 器 等 。0 0a y b x 00Y S bKX S a 1 0 0dya a y b xdt 数 学 表 述 ：一 阶 系 统 (First-order System)进 行 拉 式 变 换 (S+1)Y(S)=KX(S) 1 0aa 00bK a )()()( 001 SXbSYaSSYa )()()( 0001 SXabSYSSYaa 静 态 灵 敏 度 ： 时 间 常 数 ：则 1)( )( SKSX SY 11)( SSH 传 递 函 数 ： 令 ： K 1灵 敏 度 归 一 处 理 在 工 程 实 际 中 ， 一 个 忽 略 了 质 量 的 单 自 由 度 振 动 系统 ， 在 施 于 A点 的 外 力 f(t)作 用 下 ， 其 运 动 方 程 为 负 值 表 示 相 角 的 滞 后2 221 1( ) 1 1 ( ) 1 ( )11 ( )( ) ( ) arctan( )H j jjH j 它 的 幅 频 、 相 频 特 性 的 为 ：A( )= H(j ) 2 221 1( ) 1 1 ( ) 1 ( )11 ( )( ) ( ) arctan( )H j jjH j 它 的 幅 频 、 相 频 特 性 的 为 ：A( )= H(j )频 率 响 应 函 数A() () 幅 频 特 性 曲 线 图相 频 特 性 曲 线 图 11)( SSH 幅 、 相 频图 伯 德 图奈 魁 斯 特 图 一 阶 系 统 的 传 递 特 性当 时 ， ; 当 时 ， 。 0A 1 1A 1在 处 ， A()为 0.707( 3db)， 相 角 滞 后 45。 1一 阶 系 统 的 伯 德 图 可 用 一 条 折 线 来 近 似 描 述 。 这 条 折线 在 段 为 A()=1， 在 段 为 20db/10倍 频斜 率 的 直 线 。 点 称 转 折 频 率 。 1 1 1 )()()()( 001222 txbtyadttdyadt tdya 微 分 方 程 20 aan 2012 aaa )()()(2)(1 222 tKxtydttdydt tdy nn 微 分 方 程 变 为 ：（ 固 有 频 率 ） （ 阻 尼 率 ） 称 重 (应 变 片 ) 加 速 度 (压 电 )2. 二 阶 系 统 （ Second-order system） 00bK a （ 灵 敏 度 ） 对 二 阶 系 统 而 言 ， 主 要 的 动 态 特 性 参 数 是 系 统 固 有频 率 和 阻 尼 系 数 。 n 推 导 频 率 响 应 函 数 )(2)(1 12)( 222 2 nnnnn jjH 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 2222 41 1)( nnA 212)( nnarctg A() /n () /n 幅 频 特 性 曲 线 图相 频 特 性 曲 线 图 传 递 函 数 22 222 2121 1)( nnnnn SSSSH 二 阶 系 统 的 幅 相 频 特 性1)、 二 阶 系 统 主 要 动 态 性 能 指 标 ： n、 2)、 希 望 测 试 装 置 由 于 频 率 特 性 不 理 想 所 引 起 的 误 差 尽 可 能 小 ， 一 般 选 取 /n2.5， A()近 似 水 平 直 线 ， () =-180。2)、 当 n， 即 /n 1时 ， A() 1； () 近 似 线 性 。3)、 当 n时 ， n越 大 ， 系 统 工 作 频 率 范 围 越 大 。)(A00A )(0 (a)幅 频 特 性 (b)相 频 特 性 动 态 测 试 不 失 真 的 条 件 二 阶 系 统 的 幅 相 频 特 性 一 般 认 为 =0.60.7， =00.58n范 围 内 的 二 阶 系 统 测 试 不 失 真1)、 0.7， =00.58n时 ， A()接 近 于 常 数 ， ()也 接 近 于 直 线 。2)、 0.60.8, A()、 ()都 较 好 ， 有 较 好 的 综 合 特 性 。)(A00A )(0(a)幅 频 特 性 (b)相 频 特 性 动 态 测 试 不 失 真 的 条 件 任 何 一 个 测 试 系 统 ， 都 需 要 通 过 实 验 的 方 法 来 确 定系 统 输 入 、 输 出 关 系 ， 这 个 过 程 称 为 标 定 。 即 使 经 过 标定 的 测 试 系 统 ， 也 应 当 定 期 校 准 ， 这 实 际 上 就 是 要 测 定系 统 的 特 性 参 数 。 F目 的 ： 在 作 动 态 参 数 检 测 时 ， 要 确 定 系统 的 不 失 真 工 作 频 段 是 否 符 合 要 求 。F方 法 ： 用 标 准 信 号 输 入 ， 测 出 其 输 出信 号 ， 从 而 求 得 需 要 的 特 性 。F标 准 信 号 :正 弦 信 号 、 脉 冲 信 号 和 阶 跃信 号 。第 五 节 测 试 装 置 动 态 特 性 的 测 试 1. 正 弦 信 号 响 应 法理 论 依 据 ： ( )( ) ( )YH j X 方 法 ： 以 频 率 为 的 正 弦 信 号 x(t)=X0sint 作 用 于 装 置 ， 在 输 出 达 到 稳 态 后 测 量 输出 和 输 入 的 幅 值 比 和 相 位 差 ， 则 幅 值 比就 是 该 对 应 的 幅 频 特 性 值 ， 相 位 差 与 该对 应 的 即 为 相 频 特 性 值 。 从 接 近 零 频 率 的 足 够 低 的 频 率 开 始 ， 以 增量 方 式 逐 点 增 加 到 较 高 频 率 ， 直 到 输 出 量减 小 到 初 始 输 出 幅 值 的 一 半 为 止 ， 即 可 得 到A()- ； ()-特 性 曲 线 。 一 阶 系 统 的 幅 频 曲 线 对 于 一 阶 测 试 系 统 ， 主 要 特 性 参 数 是 时 间 常 数 ，可 以 通 过 幅 频 或 相 频 特 性 数 据 直 接 计 算 值 。2 221 1( ) 1 1 ( ) 1 ( )11 ( )( ) ( ) arctan( )H j jjH j 它 的 幅 频 、 相 频 特 性 的 为 ：A( )= H(j )一 阶 系 统 的 幅 频 、 相 频 特 性 一 阶 系 统 的 幅 频 特 性 曲 线 对 于 二 阶 系 统 ， 通 常 通 过 幅 、相 频 特 性 曲 线 估 计 其 固 有 频率 n和 阻 尼 比 。1） 在 ()-相 频 特 性 曲 线 上 ，当 =n时 ， (n)=-90， 由 此 可求 出 固 有 频 率 n。 2） ()= 1/， 所 以 作 出 曲 线()-在 =n处 的 切 线 ， 即 可求 出 阻 尼 比 。 2222 41 1)( nnA 212)( nnarctg 较 为 精 确 的 求 解 方 法 1） 求 出 A()的 最 大 值 及 其 对 应 的 频 率 r；212 1)0( )( AA r 求 出 阻 尼 比 ； 2） 由 式3） 根 据 221 rn ， 求 出 固 有 频 率 n 。 由 于 这 种 方 法 中 A(r)和 r的 测 量 可 以 达 到 一定 的 精 度 ， 所 以 由 此 求解 出 的 固 有 频 率 n和 阻尼 比 具 有 较 高 的 精 度 。 欠 阻 尼 系 统 （ 1) 2. 阶 跃 响 应 法 /1 ( ) ty t e 一 阶 系 统 ： 2)(1 1)( A )()( arctg时 间 常 数 是 唯 一 表 征 系 统 动 态 特 性 的 参 数 。 )(tx 0 1 t 2 3 4 50.632 0.865 0.950 0.982 0.993一 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 当 输 入 响 应 达 到 稳 态 值 的 63.2%时 ， 所需 要 的 时 间 就 是 一 阶 系 统 的 时 间 常 数 。 很 难 做 到 精 确 的 测 试 ； 求 取 时 间 常 数 未 涉 及 响 应 全 过 程 ，是 个 别 瞬 时 值 ， 这 样 测 量 结 果 的 可 靠性 差 。 缺 点 ： 方 法 1： )(tyu 输 出 阶 跃 响 应 函 数 为 y(t)=1-e-t/ 输 入 一 阶 跃 函 数 (t) 或 写 成 1-y(t)= e-t/ 取 对 数 ln1-y(t) = -t/ln1-y(t)t成 线 性 关 系 说 明 根 据 y(t)值 作 ln1-y(t)t曲 线 斜 率 = 1/=Z/t =t/Z方 法 2： 二 阶 系 统 ：阶 跃 响 应 函 数 )11sin(11)( 222 arctgtety ntn 输 入 一 阶 跃 函 数 (t) )11sin(11)( 222 arctgtety ntn 21 nd以 圆 频 率 d作 衰 减振 荡 的 通 过 求 极 值 的 方 法 ， 0)( ty极 值 对 应 的 时 间 ： ,2,0 ddiT 可 得 到 最 大 超 调 量 ： 代 入 式 )1( 2 eM )(ty 222 lnln1ln 1 MMM 阻 尼 比 d )1( 21)( ety 212 dn T推 导 较 长 瞬 变 过 程 dddiniddi TnTttt 2;,2, 21 nd以 d作 衰 减 振 荡 的 )(1)(;1)( dinin nTtniti etyety )(; dinin nTtniti eMeM 2)( 12ln ne eMM din in nTt tni i ni innn MMnn ln;)(4 22 )11sin(11)( 222 arctgtety ntn 212 dn T推 导 解 ： 幅 值 误 差 ： 一 阶 系 统 ： 当 装 置 的 周 期 为 1s， 5s时 ： 1)()( )()( wAwX wXwY 2)(1 1)( wwA )/(4.0222 2211 sradTwTw 例 : 用 一 个 时 间 常 数 为 0.3s的 一 阶 装 置 去 测 量 周 期为 1s的 正 弦 信 号 ， 问 幅 值 误 差 将 是 多 少 ？ 若 周期 为 5s呢 ？ 结 果 如 何 ？ 531.01469.01)( 936.0)3.04.0(1 1)( 469.0)3.02(1 1)(1 1)( 11 22 2211 wAwA wA 064.01936.01)( 22 wA所 以 ， 信 号 频 率 越 小 ， 幅 值 误 差 越 小 。 )4550sin(5.05sin)( otttx 1004.0 1)( ssH owwxw ttx 0)( 1)( 5 5sin)( 1111 o owwxw ttx 45)( 5.0)( 50 )4550sin(5.0)( 2222 求 周 期 信 号传 递 函 数 为 的 装 置 后 所 得 到 的 稳 定 响 应 ？ 通 过解 ： x(t)由 两 股 信 号 组 成 信 号 通 过 1004.0 1)( ssH 的 装 置 例 : 2)004.0(1 1)( wwA )004.0()( warctgw 9998.0)5004.0(1 1)( 21 wA 96.0)50004.0(1 1)( 22 wA 15.1)5004.0()( 1 arctgw 02 31.11)50004.0()( arctgw 幅 频 特 性 ：相 频 特 性 ：其 对 两 股 信 号 分 量 的 幅 值 增 益 及 相 移 分 别 为 ： 据 叠 加 性 ： x(t)的 稳 态 输 出 y(t)为 )31.114550sin(5.096.0 )15.105sin(19998.0 )()(50sin)()( )()(5sin)()()( 2222 1111 oo oott wwtwXwA wwtwXwAty 即 ： )31.5650sin(48.0)15.15sin(9998.0)( oo ttty 作 业 )()()()( 001222 txbtyadttdyadt tdya 微 分 方 程 等 号 两 边 同 除 以 a0， 得 : )()()()( 00012202 txabtydttdyaadt tdyaa 令 b0/a0=K， K为 灵 敏 度 ， 对 灵 敏 度 归 一 处 理 ， 同 时 ， 令 20 aan 2012 aaa则 202 1naa nnaaaaaaaaa aaaaa aaa 221221222 2 201202020 12020 101 )()()(2)(1 222 txtydttdydt tdy nn )()()(2)(1 22 SXSYSYSSYS nn 经 拉 氏 变 换 得 : 微 分 方 程 变 为 ： （ 固 有 频 率 ） （ 阻 尼 率 ） 称 重 (应 变 片 ) 加 速 度 (压 电 )2. 二 阶 系 统 （ Second-order system） 00bK a （ 灵 敏 度 ） 则 系 统 的 传 递 函 数 为 ： 22 222 2121 1)( nnnnn SSSSH )()()(2)(1 22 SXSYSYSSYS nn 用 S=j代 入 ， 得 到 频 率 响 应 函 数 ： )(2)(1 12)( 222 2 nnnnn jjH 则 ， 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 为 : 2222 41 1)( nnA 212)( nnarctg 返 回 )11sin(11)( 222 arctgtety ntn 21 nd通 过 求 极 值 的 方 法 ， 0)( tyu ,2,0 ddiT 可 得 到 最 大 超 调 量 ： 代 入 式 )1( 2 eM 22 11 nndnint dit 222 1221 221 1111 )1sin(11)( ee arctgety i21ln M 222 111 int)1sin(11)( 221 2 arctgety i 22 lnln MM 21ln M 22222 )(ln)(ln MM 2222 )(ln)(ln MM 22 22 )(ln)(ln MM )1()(ln 2222 M 返 回 较 长 瞬 变 过 程 dddiniddi TnTttt 2;,2, )(1)(;1)( dinin nTtniti etyety )11sin(11)( 222 arctgtety inti in 222 )( 1)(1sin11)( arctgnTtenTty dinnTtdi din 212)2()( nnnTt ddndin22 11 nndnint )1sin(11)( 22 arctgety inti )1sin(11)( 22 )( arctgenTty din nTtdi 2222224 nnn )(1)(;1)( dinin nTtniti etyety )(; dinin nTtniti eMeM nni i nMM 212ln 22222 )4( nnn )12()( 2 nin indin in nt tnTt tni i e ee eMM 22 22214 nn ni innn MMnn ln;)(4 22 222 222 4 nnnn 返 回 21 nd以 d作 衰 减 振 荡 的 作 业 P31： 3-4； 3-5； 3-6