对数函数与指数函数的导数

对 数 函 数 与 指 数 函 数 的 导 数 一、复习与引入：1. 函 数 的 导 数 的 定 义 与 几 何 意 义 .2.常 见 函 数 的 导 数 公 式 .3.导 数 的 四 则 运 算 法 则 .4.复 合 函 数 的 导 数 公 式 .5.由 前 面 几 节 课 的 知 识 ,我 们 已 经 掌 握 了 初 等 函 数 中 的 幂 函 数 、 三 角 函 数 的 导 数 ,但 还 缺 少 指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 导 数 ,而 这 就 是 我 们 今 天 要 新 学 的 内 容 .有 了 指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 导 数 ,也 就 解 决 了 初 等 函数 的 可 导 性 .结 合 前 一 章 节 的 知 识 ,我 们 可 知 ,初 等 函 数在 其 定 义 域 内 都 是 连 续 而 且 可 导 . 二、新课指、对函数的导数：1.对 数 函 数 的 导 数 :.1)(ln)1( xx 下 面 给 出 公 式 的 证 明 ,中 间 用 到 重 要 极 限 .)1(lim 10 ex xx 证 : );1ln(lnln)ln( ,ln)( xxx xxxxxy xxfy ,)1ln(1)1ln(1)1ln(1 xxxxxxxxxxxxxxy .1ln1 )1(limln1)1ln(lim1lim 000 xex xxxxxxxyy xxxxxxx .log1)(log)2( exx aa 证 :利 用 对 数 的 换 底 公 式 即 得 : .log1ln1)lnln()(log x exaaxx aa 2.指 数 函 数 的 导 数 :.)()1( xx ee ).1,0(ln)()2( aaaaa xx 由 于 以 上 两 个 公 式 的 证 明 ,需 要 用 到 反 函 数 的 求导 法 则 ,这 已 经 超 出 了 目 前 我 们 的 学 习 范 围 ,因 此 在 这里 我 们 不 加 以 证 明 ,直 接 拿 来 使 用 . 三、例题选讲：例 1:求 下 列 函 数 的 导 数 : (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x 21 x解 :(1) .132 34)132(132 1 222 xx xxxxxy(2)法 1: .1lg11lg)1(1lg 22222 x exxxxexxey(2)法 2: );1lg(211lg 22 xxy .1lg)1(1lg21 222 x exxxey(3) ).3sin33cos2()3sin3(3cos2 222 xxexexey xxx (4) .ln5)5(ln 55 aaxaay xx 例 2:求 下 列 函 数 的 导 数 :;)1( 22 xx xx ee eey ;)(;22)( 2 xxxxxxxxxx xx eeeeeeeeee eey 解 : .)1( )1(2)()( 2 22 22 x xxxxxxxxxx e eeeeeeeeeey )1,0()2( 1cos aaay x解 :设 y=au,u=cosv,v=1/x,则 :.1sinln )1()1sin(ln)( 1cos2 21cosx xxvuu axx a xxaavuay )1ln()3( 2 xxy 解 : .11 )121121(1 1)1(1 1 2 2222x xxxxxxxxy x xxy 21ln)4( 解 :函 数 的 定 义 域 为 .ln)1ln(),0( 2 xxxy xxxxxy 1)1(11 22 xxxxx 1)1(1 121111 222 .11 11)12 21(11 222 xxxxxxx 例 3:已 知 f(x)为 可 导 函 数 ,试 求 下 列 函 数 的 导 数 : (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .2xe )( xfe解 :(1) ).(ln1)(ln)(ln)(ln xfxxxfxfy (2) ).(2 )()()()()()( 22 22222 2xx xxxxx efxe xeefeefefy (3) ).()()()()( )()()( )()( )()()( xfefeefexfeef eeefeefeefy xxxxfxfx xfxxxfxxfx 解 此 类 题 应 注 意 :(1)分 清 是 由 哪 些 函 数 复 合 而 成 的 .(2)用 逐 步 的 方 法 来 进 行 求 导 . 练 习 1:求 下 列 函 数 的 导 数 : xxxy xyyy xx lnsin)sin(ln)4( ln1)3(2)2(;2)1( 3log1 答 案 : .22ln)1( 12 xxy .3ln 2ln2)2( 3logxy x .ln12 1)3( xxy .lncos)cos(lnsin)4( xxx xxy 例 4:设 一 质 点 的 运 动 规 律 为 为 常 数 ,试 求 t=1/2时 质 点 运 动 的 速 度 v0. ,),sin(2 tes t解 : )sin()sin()( 22 tetesv ttt )()cos()sin()2( 22 ttette tt ).cos()sin(2 22 tete tt故 当 t=1/2时 ,质 点 运 动 速 度 v0为 : ).2cos()2sin(21| 210 esv t 例 5:求 曲 线 y=xlnx的 平 行 于 直 线 x-y+1=0的 切 线 方 程 .解 :设 该 切 线 与 曲 线 相 切 的 切 点 为 (x0,x0lnx0). .1ln1ln)(lnln xxxxxxxxy故 曲 线 在 点 (x0,x0lnx0)处 的 切 线 斜 率 为 lnx0+1.由 已 知 可 得 :lnx0+1=1,即 x0=1,故 切 点 为 (1,0).所 以 所 求 切 线 方 程 为 y-0=x-1,即 x-y-1=0.答 案 : x+ey-2e=0, (1+e)x-ey-e 2=0.练 习 2:分 别 求 曲 线 y=logxe; 在 点 (e,1)处 的 切 线 方 程 . xey ex ln延 伸 :设 点 P是 曲 线 y=ex上 任 意 一 点 ,求 点 P到 直 线 y=x的 最 小 距 离 . 答 案 : .22 四、小结：(1)对 数 函 数 、 指 数 函 数 的 导 数 是 常 用 的 导 数 公 式 中 较 难 的 两 类 函 数 的 导 数 ,要 熟 记 公 式 ,会 用 公 式 ,用 活 公式 .(2)解 决 指 、 对 数 函 数 的 导 数 问 题 ,应 充 分 重 视 指 数 、 对 数 的 运 算 性 质 的 准 确 使 用 ,以 保 证 变 换 过 程 的 等 价 性 .(3)在 求 指 、 对 数 函 数 的 导 数 过 程 中 ,要 遵 循 先 化 简 ,再 求 导 的 原 则 ;要 结 合 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法 则 进 行 求 导 . a axxaaxxyxx xxy 2222 ln22)7()1ln(1ln)6( .)1( ln)6( 2 x xy .)7( 22 axy 2211ln)5( xxy .12)5( 4 x xy 例 6:求 下 列 函 数 的 导 数 :(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).解 :(1)两 边 取 对 数 ,得 lny=xlnx.由 于 y是 x的 函 数 ,由 复 合 函 数 的 求 导 法 则 对 上 式两 边 对 x求 导 ,可 得 : ).1(ln),1(ln,1ln1 xxyxyyxxxyy x(2)两 边 取 对 数 ,得 lny=g(x)lnf(x),两 边 对 x求 导 ,可 得 :;)( )()()(ln)(1 xf xfxgxfxgyy )( )()()(ln)( xf xfxgxfxgyy . )( )()()(ln)()( )( xf xfxgxfxgxfy xg 说 明 :(1)解 法 可 能 对 lny求 导 不 易 理 解 ,事 实 上 ,若 u=lny, y=f(x),则 ).(1 xfyyuu xyx (2)本 题 用 的 求 导 方 法 习 惯 上 称 为 对 数 求 导 法 ,即 先 两 边 取 对 数 ,再 对 x求 导 .一 般 适 用 于 下 列 两 类 函 数 : 形 如 y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的 函 数 ,取 对 数 后 ,可 将 积 转 化 为 和 的 形 式 ,或 ,取 对 数 后 ,可 转 化 为 代 数 和 的 形 式 . )()( )()( 11 nnbxbx axaxy 无 理 函 数 或 形 如 y=f(x)g(x)这 类 幂 指 函 数 .(3)对 数 求 导 法 的 优 点 :一 是 可 使 问 题 简 单 化 (积 、 商 变 和 、 差 ,幂 、 根 变 积 式 ),二 是 可 使 较 复 杂 函 数 求 导 变 为 可 能 (无 求 导 公 式 变 为 有 求 导 公 式 ).例 如 我 们 利 用 上 面 例 题 中 的 (2)可 知中 的 n的 范 围 可 以 扩 大 到 全 体 实 数 . )()( 1 Qnnxx nn 又 如 下 面 一 题 我 们 就 有 两 种 不 同 的 解 法 : 方 法 二 :由 于 y0,故 可 以 两 边 取 对 数 . ).1ln()1ln(21ln)11ln(ln xxxxxxy );1 11(1 11)111 1(211 22 xxyyxxxxxyy .1 111)1(111 2222 x xxxxxx xxxxxy 题 目 :已 知 0 x0,故 两 边 取 对 数 ,得 .ln2lnln xxy ,2 2ln1ln21)(lnln)(1 xxxxxxxxxxyy ).2(ln22 2ln 21 xxxxxy xx方 法 二 : .2 ln2ln2ln xxxx eexy x ).2(ln)2(ln212 )1ln21()ln2(ln 21 ln2lnln2ln xxxxx xxxxexxey xx xxxx