《幂级数的应》PPT课件

上 节 问 题 nn n xxaxf )()( 00 幂 级 数 在 其 收 敛 域 内 以 f (x)为 和 函 数 .问 题 : 2. f (x)若 能 展 开 成 幂 级 数 , 是 什 么 ?na3. 展 开 式 是 否 唯 一 ?1. f (x)在 什 么 条 件 下 才 能 展 开 成 幂 级 数 ?7.4 幂 级 数 的 应 用7.4.1 泰 勒 级 数 ).1,1(,1 10 xxxn n 定 理 7.14 如 果 函 数 f (x)在 x0的 某 一 邻 域 )( 0 xU内 具 有 任 意 阶 导 数 , )( 0 xx 的 幂 级 数 , )(,)()( 0000 RxxRxxxaxf nn n 则 其 系 数 ),2,1,0(,! )( 0)( nn xfa n n且 展 开 式 是 唯 一 的 . 且 在 内 能 展 开 成)( 0 xU证 即内 收 敛 于在因 ),()()( 000 xfxUxxa nn n nn xxaxxaaxf )()()( 0010即 )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn泰 勒 系 数 是 唯 一 的 , 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf 逐 项 求 导 任 意 次 , 得 泰 勒 系 数 20032 )()1()(23!2)( nn xxannxxaaxf ),2,1,0(,! )( 0)( nn xfa nn 所 以 , f (x)的 展 开 式 唯 一 的 .令 x0 = x0, 即 得 nn n xxn xf )(! )( 00 0)( 则 幂 级 数如 果 函 数 f (x)在 内 有 任 意 阶 导 数 ,称 为 f (x)在 点 x0处 的 泰 勒 级 数 . 特 别 地 , 当 x0 = 0时 , 称 幂 级 数为 函 数 f (x)的 麦 克 劳 林 级 数 . nnn nn xnfxfxffxnf ! )0(!2 )0(!1 )0()0(! )0( )(20 )(记 为 ),( 00 RxRx n n n xxn xfxf )(! )()( 00 0)( 问 题 nn n xxn xfxf )(! )()( 00 0)( 泰 勒 级 数 在 收 敛 区 间 是 否 收 敛 于 f (x) ?？ ,)()!1( )()( 10)1( nnn xxnfxR其 中 介 于 x与 x0之 间 .若 函 数 f (x)在 x0的 某 邻 域 内 有 n+1阶 导 数 , 则 由 泰 勒 公 式 : (1)( )(! )()()()( 00)(000 xR xxn xfxxxfxfxf n nn )(1 xsn (1) 式 对 任 意 的 n 都 成 立 )()(lim 1 xfxsnn 0)(lim xRnn )(,0)(lim 0 xUxxRnn 定 理 7.15 函 数 f (x)在 点 x0的 泰 勒 级 数 , 在 x0的某 邻 域 内 收 敛 于 f (x)的 充 分 必 要 条 件 是 :)( 0 xU 当 f (x)在 x0 处 有 任 意 阶 导 数 时 , 推 理 设 函 数 f (x)在 内 有 定 义 ,使 得 )( 0 xU ,0M),( 00 RxRxx 恒 有 ),2,1,0(,)()( nMxf n则 f (x)在 内 可 展 开 成 点 x0的),( 00 RxRx 泰 勒 级 数 . 若 1. 直 接 展 开 法 求 函 数 f (x)的 麦 克 劳 林 级 数;! )0()(nfa nn (2) 写 出 泰 勒 级 数 ,! )0(0 )( nn n xnf 并 求 出 收 敛 半 径 R;7.4.2 函 数 展 开 成 幂 级 数 则 级 数 在 收 敛 区 间 内 收 敛 于 f (x).,)(lim )( xfR n nn 或 ,)(0lim )( MxfR nnn 或如(1) 求(3) 讨 论 解 ,)()( xn exf ),2,1,0(.1)0()( nf n其 收 敛 半 径 为因 泰 勒 公 式 的 余 项 ,)!1()( 1 nn xnexR (介 于 0, x之 间 )它 满 足 不 等 式 nxnxx !1!211 2xe )(xR n 1)!1( nxne )!1( 1 nxe nx .R例 1 将 展 开 成 x 的 幂 级 数 .xexf )( 对 任 一 确 定 的 ,Rx是 处 处 收 敛 的 幂 级 数 的 一 般 项 .0 !n nnx ),(,!21 2 xnxxxe nx xe 是 确 定 的 数 , )!1( 1nx n而所 以 在 上 恒 有),( x .0)(lim xRnn于 是 , 有 展 开 式或 ).,(, !0 xnxe n nx 解 ,2sin)()( nxxf n ,2sin)0()( nf n ,0)0()2( nf ,)1()0()12( nnf ),2,1,0( n 2sin)()( nxxf n ,1 ),( x ).,(,)!12()1(sin 120 xnxx nn n或 )!12()1(!5!3sin 1253 nxxxxx nn 例 2 将 展 开 成 x 的 幂 级 数 .xxf sin)( 且 解 ,)1)(1()1()()( nn xnxf ),1()1()0()( nf n ),2,1( n nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2 nnn aa 1lim 1 n n ,1 1R 例 3 将 展 开 成 x 的 幂 级 数 .)()1()( Rxxf nxn nxxx ! )1()1(!2 )1(1 )1( 2 称 为 牛 顿 二 项 式 展 开 式.1 的 取 值 有 关处 收 敛 性 与在 x );1,1(,1)1( 收 敛 域 为 ;1,1(,11)2( 收 敛 域 为 .1,1,1)3( 收 敛 域 为注 : )1,1(,)1(11 1 32 xxxxxx nn 1,1!)!2( !)!32()1(642 314212111 32 x xnnxxxx nn 1,1!)!2( !)!12()1(642 53142 3121111 32 x xnnxxxx nn 双 阶 乘当 时 , 有21,1 利 用 已 知 函 数 展 开 式 ,通 过 变 量 代 换 ,四 则运 算 , 恒 等 变 形 , 逐 项 求 导 , 逐 项 积 分 等 方 法 ,求 展 开 式 .2. 间 接 展 开 法 根 据 展 开 的 唯 一 性 , 它 与 直 接 展 开 法 得 到的 结 果 是 一 致 的 . 例 如 , )(sincos xx x xxx 0 1d)1ln(注 : 利 用 间 接 展 开 法 时 ,要 注 意 区 间 端 点 的 收 敛 性 .),(,)!12()1(sin 120 xnxx nn n ),(,)!2()1(cos 20 xnxx nn n )1,1(,)1(1 1 0 xxx n nn 1,1(,1)1( 0 1 xnxn nn 例 4 将 展 开 为 x 的 幂 级 数 .解 ,1 1)(arctan 2xx 而 ,)1(1 1 0 22 n nn xx )1,1(x x xxx 0 21 darctan ,12)1(0 12 n nn nx 1,1x两 边 积 分 xxf arctan)( 例 5 将 展 开 为 x的 幂 级 数 .2xe解 0 2!)(2 n nx nxe ,!)1(0 2 n nn nx ).,( x解 sin cos cos sin4 4 4 4x x ),(,!0 xnxe n nx 44sinsin xx例 6 将 的 幂 级 数 . 4sin)( xxxf 展 开 成 2 1 20 02 ( 1) ( 1)2 (2 1)! 4 (2 )! 4n nn nn nx xn n ),(,)!2( 4)!12( 4)1(22 0 212 xnxnxn nnn 解 xln 2 212ln x 2 21ln2ln x,12 21 x由 1 1 2 21)1(2ln n nn xn得 展 开 区 间 .4,0(x2ln )2( x 1,1(,)1()1ln( 1 1 xnxx n nn 1 1 )2(21)1(2ln n nnn xn例 7 将 展 开 为 的 幂 级 数 .xln 2x 例 8 将 .14 1)( 处 展 开 成 泰 勒 级 数在 xxxxf解 )1( 的 幂 级 数展 开 成 x x4 1 3 11 131 x 0 3 131 n nx )4,2(x13 )1( x ).1()(nf并 求 ,3 )1(0 1 n n nx 0 13 )1()1(4 1 n n nxxxx 0 1 13 )1(n n nx,3 )1(1 n n nx )4,2(x .3!)1()( nn nf ,31n! )1()(nf n ! )( 0)( n xfa nn 解 1 1( 2) 2x x 1 1 22 1 2x 01 2( 1)2 2 nnn x 10 ( 1) ( 2) , (0,4)2 n nnn x x 等 式 两 端 求 导 , 得例 9 将 .21)( 02 处 展 开 成 泰 勒 级 数在 xxxf 于 是 )4,0(,)2(2)1(1 1 1112 xxnx n nnn 故 例 10 将解 .1341)( 2 的 幂 级 数展 开 为 xxxxf )1(2 111 xx )3)(1( 1)( xxxf ,311121 xx 2 11 121 x 0 2 1)1(21 n nn x ,)1(2 )1(0 1 n nn n x )3,1(x )1(4 131 xx 4 11 141 x 0 4 1)1(41 n nn x ,)1(4 )1(0 1 n nn n x )5,3(x 0 0 11 )1(4 )1()1(2 )1(21)( n n nn nnn n xxxf ,)1(2 121)1( 0 322 n nnnn x )3,1(x )1,1(,1 1)1( 0 xxxn n ),(,!)2( 0 xenx xn n 1,1(),1ln(1)1()5( 0 1 xxnxn nn ),(,sin)!12()1()3( 0 12 xxnxn nn 常 用 已 知 和 函 数 的 幂 级 数 ),(,cos)!2()1()4( 0 2 xxnxn nn 1 22!n nnn解 21 1!2 ( 1)!2n nn nn nn n e 431 11 1( 1)!2 ( 1)!2n nn nnn n 12 01 1( 1)!2 !2n nn nnn n 1 1 12 2 220 1 1 1 12 4 2!2nn e e en 122 1 12( 2)!2nn en 例 11 求 数 项 级 数 的 和 . 7.4.3 幂 级 数 在 数 值 计 算 中 的 应 用如 果 一 个 函 数 可 以 用 幂 级 数 表 示 ,这 种 方 法 有 两 大 突 出 优 点 : 1. 幂 级 数 的 前 项 和 是 多 项 式 , 对 于 数 值 计 算 而 言是 最 简 单 的 函 数 ;2. 截 断 误 差 容 易 估 计 和 控 制 , 可 以 根 据 对 计 算 精度 的 不 同 要 求 选 择 计 算 的 项 数 .取 幂 级 数 的 前 若 干 项 和 作 为 该 函 数 的 近 似 值 .我 们 可 以 例 12 计 算 .10, 4使 其 误 差 不 超 过的 近 似 值e解 ,!1!211 2 nx xnxxe ,1x令 ,!1!2111 ne 得其 误 差 (也 叫 截 断 误 差 )为 : )2)(3( 1211)!1( 1 nnnn )!3( 1)!2( 1)!1( 1 nnnrn 32 )1( 1)1( 1111)!1( 1 nnnn 7183.2!71!31!2111 e 111 1)!1( 1 nn !1nn 410而 ,1043201!661 4 .10352301!771 4,7, n取故 例 13 利 用 03 9sin!3sin 计 算xxx 解 20sin9sin 0 ,206120 3 52 20!51 r 5)2.0(1201 3000001 510000646.0157079.09sin 0 15643.0其 误 差 不 超 过 .10 5误 差 .其 误 差 为 的 近 似 值 , 并 估 计 例 14 计 算 .10,dsin 410 精 确 到的 近 似 值xxx ,!71!51!311sin 642 xxxxx解 ),( x由 于 x = 0是 的 可 去 间 断 点 ,xxsin 故 定 义0sin xxx 则 它 在 0, 1上 连 续 .展 开 有,sinxx ,1sinlim0 xxx !771!551!3311dsin10 xxx等 式 两 端 在 0, 1积 分 , 得 因 为 30001!7713 r ,10 4所 以 , 取 前 三 项 作 为 积 分 的 近 似 值!551!3311dsin10 xxx 9461.0 !771!551!3311dsin10 xxx