资源描述
例 1. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD是 正 方 形 ，侧 棱 PD 底 面 ABCD， PD=DC,E是 PC的 中 点 ， 作 EF PB交 PB于 点 F. （ 1） 求 证 ： PA 平 面 EDB； （ 2） 求 证 ： PB 平 面 EFD； （ 3） 求 二 面 角 C-PB-D的 大 小 .DA B CEPF BDP EG解 :如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,点 D为 坐 标 原 点 ,设DC=1.(1)证 明 ： 连 结 AC, AC交 BD于 点 G, 连 结 EG,(1,0,0), (0,0,1),A P依 题 意 得 1 1( , 0).2 2ABCD G因 为 底 面 是 正 方 形 ， ，1 1(0, , ).2 2E zAx Cy1 1(1,0, 1), ( ,0, ).2 2PA EG 2 / .PA EG PA EG ， 即 ,EG EDB 平 面/ .PA EDB所 以 , 平 面 ,PA EDB平 面 BP E解 :如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,点 D为 坐 标 原 点 ,设DC=1.(1)证 明 ： (1,0,0), (0,0,1),A P依 题 意 得 1 1( , 0).2 2G ，1 1(0, , ),2 2E zAx Cy(1,0, 1),PA / .PA EDB所 以 , 平 面 ,PA EDB平 面方 法 二 ：1 1(0, , ), (1,1,0).2 2DE DB 2 ,PA DE DB , , ,PA DE DB 向 量 共 面 D BP E解 :如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,点 D为 坐 标 原 点 ,设DC=1.(1)证 明 ： (1,0,0), (0,0,1),A P依 题 意 得 1 1( , 0).2 2G ，1 1(0, , ),2 2E zAx Cy(1,0, 1),PA / .PA EDB所 以 , 平 面 ,PA EDB又 平 面方 法 三 ：1 1(0, , ), (1,1,0).2 2DE DB (1, 1,1).n DEDB平 面 的 一 个 法 向 量 为(1,0, 1) (1, 1,1) 0,PA n BP EF解 :如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,点 D为 坐 标 原 点 ,设DC=1. zAx CyD2 (1,1,0), (1,1, 1),B PB （ ） 证 明 ： 依 题 意 得1 1(0, , ),2 2DE 又 .PB DE所 以 ,EF PB由 已 知 .PB EFD所 以 平 面 1 10 0.2 2PB DE ,EF DE E又 3 , 2 ,PB EF PB DFEFD C PB D （ ） 解 ： 已 知 由 （ ） 可 知故 是 二 面 角 的 平 面 角 .( , , ), ( , , 1),F x y z PF x y z 设 点 的 坐 标 为 则,PF kPB 设 ( , , 1) (1,1, 1) ( , , ),x y z k k k k , , 1 .x k y k z k 即 0,PB DF (1,1, 1) ( , ,1 ) 3 1 0,k k k k 1.3k 所 以 1 1 2( ),3 3 3F ， ， 1 1(0, , ),2 2E又1 1 1( , , ).3 6 6FE cos | | |FE FDEFD FE FD 1 1 1 1 1 2( , , ) ( , , )3 6 6 3 3 3 1.26 66 3 60 , 60 .EFD C PB D 所 以 即 二 面 角 的 大 小 为 3（ ） 解 ： (0,1,1),m 1 1cos , ,2| | | | 2 2m nm n m n 又 因 为 二 面 角 C PB D的 平 面 角 是 锐 角 ,180 120 60 . 所 以 二 面 角 C PB D 的 大 小 是平 面 CPB法 向 量 为平 面 DPB法 向 量 为 (1, 1,0).n , 120 .m n 60 . OC SD 0, OC SD, 即 SO DAB CP，设 ),( 000 zyxE ,CE tCS 0 0 02( , , )2 62(0, , )2 2x y a zt a a 62(0, (1 ), ) 2 2E a t at 62 2( , (1 ), )2 2 2BE a a t at E x yz B A CD EFCB CF FE EB 5,BC ,FC EB 3cos , .3EB FC 333 2 = 2,2EF 2 3,CF 3 2,2BE 2 2 2 23 2 3 2 3 25 (2 3) ( 2) ( ) 2 2 3 cos ,2 2 2 CF EB 3cos , 3CF EB xAB P DCQx yzQ x(1, ,0)D a(0, ,0)P(0,0,1)PQ x(1, , 1), DQ x a(1, ,0), PQ DQ 0 x ax2 1 0 a2 4 0 a 2. 2a
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