资源描述
一、单选题1已知等比数列的首项和公比均为2，则的值为（）AB2C4D8【答案】D【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】由于等比数列的首项和公比均为2，所以，故选：D2如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（）ABCD【答案】D【分析】利用平移直线法找出直线与所成的角，结合余弦定理，即可求出答案.【详解】在正方体中，且，所以为平行四边形，则，所以即为直线与所成的角（或所成角的补角），不妨设正方体的棱长为2，因为为的中点，所以，则，在中，所以在中，因为，所以.故选：D3设一组样本数据的均值为2，方差为，则数据的均值和方差分别为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，结合平均数与方差的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，易知新数据的平均数为；方差为.故选：D.4已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】B【分析】设出点的坐标，利用进行转化，利用可得答案.【详解】设，因为，所以；因为，所以，即，所以，整理得，其轨迹是椭圆.故选：B.5莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目改编：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为（）A个B个C个D个【答案】A【分析】由题意，结合等差数列的性质，列方程组求出数列首项.【详解】设每个人所得按从小到大排列构成等差数列，首项为，公差为，由题意知，解得，最小的份为个.故选：A.6已知抛物线的焦点为，圆，过作直线，与上述两曲线自上而下依次交于点，当时，直线的斜率为（）ABCD【答案】A【解析】先设，则，再根据抛物线的性质知，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出，从而可得到，即可得到直线的斜率.【详解】设，则，.，由抛物线的性质知，则，.又，得，当且仅当时，此时，又，故.故选：A【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.7等比数列满足，数列满足，时，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】A【分析】由等比数列的性质与累加法求解，【详解】根据题意得，解得，故，时，故故选：A8已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过点，且与双曲线右支交于A，两点，为坐标原点，、的内切圆的圆心分别为，则面积的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】设的内切圆半径为，求得面积的解析式，再利用函数单调性即可求得面积的取值范围【详解】设圆与，分别切于点，.由双曲线定义知，又，即点为双曲线的右顶点.轴，的横坐标为1，同理：横坐标也为1.平分，平分.，设、的内切圆半径分别为，轴，.设直线倾斜角为，又为双曲线右支上两点，又渐近线方程为，由题意得，又在单调递减，在单调递增当时，；当时，；当时，.故选：B.二、多选题9对于抛物线，下列描述不正确的是（）A开口向上，焦点为B开口向上，焦点为C准线方程为D准线方程为【答案】BC【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.故选：BC.10已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（ ）A若 ，则B若 ，则的最小值为C若 ，则数列的前项和为D若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为【答案】BC【分析】令时，由求出可判断A；由知，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.【详解】对于A，由，当时，由，当时，所以A不正确；对于B，若，当时，则，所以当时，取得的最小值为；对于C，若 ，设数列的前项和为，所以，故C正确；对于D，数列为等差数列，且，则，所以，当时，的最大值为，所以D不正确.故选：BC.11已知为双曲线的左右焦点，关于一条渐近线的对称点刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是（ ）AB双曲线的离心率CD渐近线方程为【答案】BC【分析】渐近线与的交点为关于直线的对称点为，连接，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，求得，再计算可得【详解】如图所示，双曲线的左焦点为，右焦点为，由对称性，取一条渐近线， 关于渐近线的对称点为， 直线与线段的交点为，连接，因为点与关于直线对称，则，且为的中点，所以，根据双曲线的定义，有，故A不正确；，即，所以，故B正确；易知是以为直角的直角三角形，所以，故C正确；由于，所以渐近线方程为，故D不正确.故选：BC12已知数列满足，下列命题正确的有（）A当时，数列为递减数列B当时，数列一定有最大项C当时，数列为递减数列D当为正整数时，数列必有两项相等的最大项【答案】BCD【分析】分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；【详解】当时，知A错误；当时，当，所以可判断一定有最大项，B正确；当时，所以数列为递减数列，C正确；当为正整数时，当时，当时，令，解得，则，当时，结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.三、填空题13已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解.【详解】当时，；当时，因为，所以两式相减可得；显然不满足上式，综上可得.故答案为：14已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为_【答案】12【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，圆变形得，即圆心，半径，要使最大，即最大，又，使最大即可.如图所示：当共线时，有最大值为，的最大值为，的最大值，即的最大值为11+1=12，故答案为：1215抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是_.【答案】【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果.【详解】因为，所以，又因为为相互独立事件，所以所以中至少有一件发生的概率为故答案为:16已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为_【答案】/0.5【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到的关系，即可求解离心率.【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得，由于，所以的纵坐标为，由于是的内心，所以内切圆的半径为，由椭圆定义得，故答案为： 四、解答题17已知数列的首项，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）应用等比数列定义证明即可；（2）根据等比数列通项公式求解计算即得.【详解】（1）因为，所以，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可求得，所以，即.18已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.【解析】（1）根据抛物线准线的性质，结合已知进行求解即可；（2）根据点到直线的距离公式，结合椭圆弦长公式、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】解析：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，所以有：，椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）由（1）可知：的坐标为：，设直线的方程为：，到的距离为，则，联立可得：，则，当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.19如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.(1)证明：；(2)若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，进而证明平面即可证明结论；（2）由题平面，进而根据等体积法得，再以为原点，分别以方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】（1）证明：平面平面.又，平面平面.平面.取的中点，连接为的中点，.，为的中点，.又平面平面.平面.（2）解： .，且四边形为矩形，平面.，解得，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.则，易知是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，即，不妨取，得.由图知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.20某校从小明所在的高一年级的600名学生中，随机抽取了50名学生，对他们家庭中一年的月均用水量（单位：吨）进行调查，并将月均用水量分为6组：，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)求出图中实数的值，并根据样本数据，估计小明所在的高一年级的600名同学家庭中，月均用水量不低于11吨的约有多少户；(2)在月均用水量不低于11吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率【答案】(1)，84户(2).【分析】（1）根据图表求出在的频率为0.1，则，从而求出不低于11吨的频率为，再乘以600名同学即可得到相应户数；（2）首先求出样本数据有5户在相应区间内，再用列举法列出所有情况以及满足题意的情况数，则可求出概率.【详解】（1）因为各组的频率之和为1,所以月均用水量在区间的频率为所以图中实数.由图可知,样本数据中月均用水量不低于11吨的频率为所以小明所在学校600名同学家庭中,月均用水量不低于11吨的约有（户）（2）设事件:这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组由图可知,样本数据中月均用水量在的户数为.记这五名同学家庭分别为, .月均用水量在的户数为.记这两名同学家庭分别为,.则选取的同学家庭的所有可能结果为:共21种.事件的可能结果为:，共10种.所以.所以这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率为.21已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，理由见解析【分析】（1）首先得，再将点的坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可【详解】（1）由题意得，所以，所以，所以双曲线C的标准方程为；（2）假设存在，设，由题意知，直线斜率不为0，设直线，联立，消去，得，则，且，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，则，即，则，整理得，故，即，因为，所以，此时；当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；综上所述，故存在满足题意22已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.(1)求；(2)若对于，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用裂项相消法求和可得答案；（2）根据的表达式，求出的范围，得到的最大值，可得答案.【详解】（1）因为，所以.（2）当n为正奇数时，且随n的增大而增大，所以，所以，当n为正偶数时，且随n的增大而减小，所以，所以，综上可得且，则，所以的最大值为（当且仅当时取得）.因为恒成立，所以恒成立，所以，所以的取值范围为.
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