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教育资源 教育资源 几个抽象函数问题的粗浅分析 抽象函数是一种重要的数学概念我们把没有给出具体解析式，其一般形式为 y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高所以近几年来高考题中不断出现，在 2009 年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花 但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法 一、抽象函数的定义域 例 1 已知函数 f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a0）的定义域 解析：由由 a0 知只有当 0a1 时，不等式组才有解，具体为x|1+a x3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当 0a1 时，g(x)才能是 x 的函数，且其定义域为（1+a,3-a 点评：1.已知 f(x)的定义域为a,b，则 fg(x)的定义域由 ag(x)b，解出x 即可得解；2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)教育资源 教育资源 在 xa,b上的值域二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定 例 2 若函数 y=f(x+1)的值域为-1，1 求 y=(3x+2)的值域 解析：因为函数 y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数 y=f(3x+2)的值域也为-1，1 三、抽象函数的奇偶性 例 3 若 y=f(x)是偶函数,y=f(x-1)是奇函数，求 f(2019)=?解析：因为 y=f(x-1)是奇函数,所以 y=f(-x-1)=-f(x-1)为什么？；因为 y=f(x)是偶函数，所以 f(-x-1)=f(x+1)为什么？；因为 f(x+1)=-f(x-1),所以 f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为 y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2019)四、抽象函数的对称性 例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于 y=x 对称,则 g(x)+g(-x)的值为（）A、2B、0C、1D、不能确定 解析：由 y=f(2x+1)求得其反函数为 y=f（x）-1/2，y=f(2x+1)是奇函数，y=f（x）-1/2 也是奇函数，f（x）-1/2+f（-x）-1/2=0f（x）+f（-x）=2，而函数 y=g(x)的图像与函数教育资源 教育资源 y=f(x)的图像关于 y=x 对称，g(x)+g(-x)=f（x）+f（-x）故选 A 五、抽象函数的周期性 例 5、（2009 全国卷理）函数的定义域为 R，若 f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函数 解:f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为 4 的周期函数.，所以 f(x+3)=f(x-1)，即 f(x+3)是奇函数故选 D 关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了 定理 1.若函数 y=f(x)定义域为 R，且满足条件 f(x a)=f(xb)，则 y=f(x)是以 T=ab 为周期的周期函数 定理 2.若函数 y=f(x)定义域为 R，且满足条件 f(x a)=f(x b)，则 y=f(x)是以 T=2（ab）为周期的周期函数 定理 3.若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 与 x=b（ab)对称，则 y=f(x)是以 T=2(ba)为周期的周期函数转贴于中国论文中 教育资源 教育资源 et 定理 4.若函数 y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以 T=2(ba)为周期的周期函数 定理 5.若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 与点(b,0),(ab)对称，则 y=f(x)是以 T=4(ba)为周期的周期函数 性质 1：若函数 f(x)满足 f(a x)=f(a x)及 f(b x)=f(bx)(ab,ab0),则函数f(x)有周期 2(a b)；性质 2：若函数 f(x)满足 f(a x)=f(a x)及 f(b x)=f(b x)，(ab,ab0),则函数有周期2(a b).特别：若函数 f(x)满足 f(a x)=f(a x)（a0）且 f(x)是偶函数，则函数 f(x)有周期 2a.性质 3：若函数 f(x)满足 f(a x)=f(a x)及 f(b x)=f(bx)(ab,ab0)，则函数有周期4(a b).特别：若函数 f(x)满足 f(a x)=f(a x)（a0）且 f(x)是奇函数，则函数 f(x)有周期 4a 教育资源 教育资源 从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手
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