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1.2 基 本 不 等 式 1.了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值.2.理解定理1和定理2(基本不等式).3.探索并了解三个正数的算术几何平均值不等式的证明过程.4.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题. 1.定 理 1设a,b R,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.定 理 2(基 本 不 等 式 或 平 均 值 不 等 式 ) (3)基本不等式可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等 于它们的几何平均值. 【 做 一 做 2-1】 下列不等式中正确的是()答 案 :D 答 案 :4 3.定 理 3(三 个 正 数 的 算 术 几 何 平 均 值 不 等 式 或 平 均 值 不 等 式 )(3)定理3可用语言叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 【 做 一 做 3】 已知x,y,z是正数,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-,lg 6 B.(-,3lg 2C.lg 6,+) D.3lg 2,+)解 析 : x,y,z是正数, lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答 案 :B 4.定 理 4(一 般 形 式 的 算 术 几 何 平 均 值 不 等 式 ) 答 案 :4 1.三 个 或 三 个 以 上 正 数 的 算 术 几 何 平 均 值 不 等 式 的 应 用 条 件是 什 么 ?剖 析 :“一正”:不论是三个数的平均值不等式或者n个数的平均值 “二定”:包含两类求最值问题:一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2an的最大值;二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值.“三相等”:等号成立的条件是a 1=a2=a3=an,不能只是其中一部分值相等. 2.如 何 使 用 基 本 不 等 式 中 的 变 形 与 拼 凑 方 法 ?剖 析 :为了使用基本不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构,有时一个数拆成两个或两个以上的数, 题型一 题型二 题型三 题型四利 用 基 本 不 等 式 比 较 大 小 分 析 :解答本题应充分利用基本不等式及其变形,不等式的性质. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型四题型三 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 分 析 :根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件. 题型一 题型二 题型四题型三 题型一 题型二 题型四题型三 题型一 题型二 题型四题型三反 思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三相等”.求函数的最值时,常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等 变形,使其满足条件,进而求出最值. 题型一 题型二 题型三 题型四基 本 不 等 式 的 实 际 应 用【 例 3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2016年第31届夏季奥林匹克运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2016年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数;(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? 题型一 题型二 题型三 题型四分 析 :表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系列出函数表达式,再应用不等式求最值. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四反 思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步:阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.建立数学模型:根据中的分析,把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.讨论不等关系:根据题目要求和中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.得出问题结论:根据中得到的理论参数的值,结合题目要求得 出问题的结论. 题型一 题型二 题型三 题型四 易 错 辨 析易 错 点 :利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 ,应 注 意 不 等 式 成 立 的 条 件 ,即 变量 为 正 实 数 ,和 或 积 为 定 值 ,等 号 成 立 ,三 者 缺 一 不 可 . 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 51下列函数中,最小值为2的是() 答 案 :D 1 2 3 4 5答 案 :C 1 2 3 4 5A.3 B.4 C.5 D.6 答 案 :A 1 2 3 4 54周长为l的矩形的面积的最大值为,对角线长的最小值为. 1 2 3 4 5
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