向量组的极大无关组

信 息 系 刘 康 泽 一 、 向 量 组 的 极 大 无 关 组 则 ： 1 2, 构 成 1 2 3 4, , , 的 极 大 无 关 组 ， 例 如 , 设 1 10 , 2 01 , 3 11 , 4 22 ， 例 1 2 3, 也 构 成 1 2 3 4, , , 的 极 大 无 关 组 ； 2 4, 也 构 成 1 2 3 4, , , 的 极 大 无 关 组 等 等 。 但 是 3 4, 不 构 成 1 2 3 4, , , 的 极 大 无 关 组 ， 因 为 3 4, 线 性 相 关 。 【 注 1】 定 义 中 的 条 件 (2)可 以 改 叙 为 ： 1 2, , , m 中 的 任 意 一 个 向 量 都 可 以 由 1 2, , , ri i i 线 性 表 示 。 【 注 2】 定 义 中 的 条 件 (2)还 可 以 改 叙 为 ： 1 2, , , m 中 的 任 意 1r 个 向 量 都 线 性 相 关 。 【 注 3】 向 量 组 的 极 大 无 关 组 不 一 定 唯 一 。 证 ： 设 1 2, , , ri i i ( )和 1 2, , , sj j j ( ) 都 是 1 2, , , m 的 极 大 无 关 组 ， 由 定 理 1 可 知 ： 向 量 组 的 极 大 无 关 组 所 含 向 量 的 个 数 是 向 量 组 的 一 个 不 变 数 值 特 性 。 由 此 有 如 下 定 义 ： 二 、 向 量 组 的 秩 【 推 论 】 若 向 量 组 1 2, , , m 与 向 量 组 1 2, , , s 等 价 ， 则 它 们 的 秩 相 等 ， 即 ： 1 2 1 2, , , , , ,m sr r 。 证 ： 设 （ I） 与 （ II） 的 秩 相 等 . 则 当 秩 为 0 时 , 由 于 （ II） 中 均 为 0 向 量 ， 结 论 成 立 . 若 秩 不 为 0, 由 ( ) ( )r r 且 （ I） 包 含 在 （ II） 中 知 , （ I） 的 极 大 无 关 组 也 是 （ II） 的 极 大 无 关 组 . 因 此 每 个 i 都 可 由 此 极 大 无 关 组 线 性 表 出 , ),1( sri i 都 可 由 （ I） 线 性 表 出 。 例 、 向 量 组 ： （ I） r , 21 与 向 量 组 ： （ II） srr , 121 有 相 同 的 秩 的 充 要 条 件 是 每 个 ),1( sri i 都 可 由 r , 21 线 性 表 出 . 例 2 反 之 , 若 ),1( srii 可 由 （ I） 线 性 表 出 , 则 显 然 （ I） 与 组 （ II） 等 价 , 故 它 们 秩 相 等 。 证 ： 因 为 r ,1 可 由 r ,1 线 性 表 出 , 故 对 任 意 i , 有 ri , 1 可 由 r ,1 线 性 表 出 . 由 rr 1 知 ： ),1(, 1 riri 必 线 性 相 关 . 又 r ,1 线 性 无 关 , 故 i 可 由 r ,1 线 性 表 出 。 所 以 r ,1 与 r , 21 等 价 , 例 、 设 向 量 组 r , 21 线 性 无 关 , 且 可 由 向 量 组 r , 21 线 性 表 出 , 证 明 ： 这 两 个 向 量 组 等 价 , 从 而 r , 21 也 线 性 无 关 . 例 3 因 而 ： 秩 ),( 1 r = 秩 rr ),( 21 故 r ,1 线 性 无 关 . 解 ： （ 1） 不 一 定 , 例 如 ： )0 ,1 ,0( ),0 ,0 ,1( 21 与 )0 ,2 ,0( ),1 ,0 ,0( 21 它 们 的 秩 相 等 . 但 1 不 能 由 21, 线 性 表 出 , 故 21, 与 21, 不 等 价 . 例 、 （ 1） 秩 相 等 的 两 向 量 组 是 否 一 定 等 价 ？ （ 2） 若 两 向 量 组 的 秩 相 等 , 且 其 中 之 一 可 由 另 一 组 线 性 表 出 , 证 明 这 两 个 向 量 组 等 价 . 例 4 （ 2） 设 （ I） ： s ,1 ； （ II） t ,1 秩 相 等 , 设 为 r ， 且 （ III） ： riii , 21 ； （ IV） rjjj , 21 分 别 为 （ I） 、 （ II） 的 极 大 无 关 组 . 若 （ I） 可 由 （ II） 线 性 表 出 , 则 （ III） 可 由 （ IV） 线 性 表 出 . 因 （ III） 线 性 无 关 , 故 （ III） 与 （ IV） 等 价 。 由 此 （ I） 与 （ II） 等 价 。 解 ： 因 为 ： r r 3 ， 故 有 ： , , 1 2 3 线 性 无关 ， , , , 1 2 3 4线 性 相 关 ， 所 以 ： 4 可 由 , , 1 2 3 线 性 表 示 ， 设 ： 4 1 1 2 2 3 3 （ 1） 又 假 设 5 4能 由 , , 1 2 3 线 性 表 示 ， 则 ： k k k 5 4 1 1 2 2 3 3 例 、 设 , , 1 2 3 为 （ ） ； , , , 1 2 3 4为 （ ） ； , , , 1 2 3 5为 （ ） ， 且 ,r r r 3 4 ,则 ： , , ,r 1 2 3 5 4 。 例 5 即 ： k k k 5 1 1 2 2 3 3 4 由 （ 1） 式 知 ： k k k 5 1 1 1 2 2 2 3 3 3 这 说 明 ： , , , 1 2 3 5线 性 相 关 ， 与 r 4 矛 盾 。 从 而 , , ,r 1 2 3 5 4 4。 )1( r , 试 证 ： , , , , 1 2 1 2 r rr r 。 证 明 ： 由 已 知 有 ： , , , , 1 2 1 2 0 1 1 11 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 r r 例 、 设 向 量 组 r , 21 与 r , 21 满 足 r 321 r 312 121 rr 例 6 因 为 ： ( ) 0 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 r ( ) ( ) 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 00 0 1 1 0 0 0 1 rr r 所 以 有 ： , , , , 1 1 2 1 2 0 1 1 11 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 r r 即 , , 1 2 r 也 可 由 , , 1 2 r 线 性 表 出 , 所 以 , , 1 2 r 与 , , 1 2 r 等 价 . 故 ： , , , , 1 2 1 2 r rr r 。 三 、 矩 阵 的 秩 与 向 量 组 的 秩 之 间 的 关 系12 1 2( , , )TT nTmA 于 是 ， 在 讨 论 矩 阵 的 秩 时 ， 有 时 可 将 矩 阵 按 列 (行 ) 分 块 ， 然 后 利 用 向 量 组 的 秩 （ 或 线 性 关 系 ） 进 行 讨 论 ， 会带 来 方 便 。 反 之 ， 在 讨 论 向 量 的 线 性 关 系 时 ， 有 时 利 用 矩阵 的 秩 来 进 行 会 更 便 捷 。 证 ： 设 11 12 1 21 22 2 1 2 , p p m n n pm p n n np b b bb b b C A B B b b b ， 1 2 1 2, , , , ,p nC A ， 则 ： 11 12 1 21 22 21 2 1 2 1 2 , , , , p pp n n n np b b bb b b b b b ， 例 、 证 明 ： ( ) min ( ), ( )r AB r A r B 。 例 7 所 以 ： 1 ( 1,2, , )nj kj kk b j p ， 这 说 明 C 的 列 向 量 可 以 由 A的 列 向 量 线 性 表 示 ， 故 ： 1 2 1 2, , , ,p nr r ， 即 ( ) ( )r AB r A 。 同 理 可 证 ( ) ( )r AB r B 。 因 此 ： ( ) min ( ), ( )r AB r A r B 。 例 8 【 注 】 通 常 习 惯 用 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 矩 阵 B , 当 B 的 秩 为 r 时 , B 的 一 个 非 零 rD 子 式 所 在 的 r 个 列 向 量 是 线 性 无 关 的 则 A 中 对 应 的 r 个 列 向 量 也 线 性 无 关 ， 且 构 成 A 的 列 向 量 组 的 极 大 无 关 组 。 进 一 步 ， 若 要 求 将 其 余 向 量 由 极 大 无 关 组 线 性 表 示 ， 则 可 以 将 阶 梯 形 矩 阵 B 继 续 变 成 行 简 约 标 准 型 ， 行 简 约 标 准 型 的 列 向 量 的 线 性 表 示 关 系 极 易 看 出 ， 由 此 就 可 以 得 到 A的 列 向 量 组 的 线 性 表 示 关 系 。 例 、 1 102 , 2 320 , 3 211 , 4 235 的 一 个 极 大 无 关 组 并 将 其 余 向 量 由 极 大 无 关 组 线 性 表 示 。 例 9 求 解 1 2 3 4, , ,A 1 3 2 20 2 1 32 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 20 2 1 3 0 2 1 3 0 6 3 9 0 0 0 0 行 行 1 42 3 0 0 1 00 0 01 B 行 显 然 B 的 1,3列 1 3, 构 成 1 2 3 4, , , 极 大 无 关 组 A的 1,3列 1 3, 构 成 1 2 3 4, , , 的 极 大 无 关 组 ， 且 2 1 3 4 1 32 4 3 ， 则 有 ： 2 1 3 4 1 32 4 3 ， 。 解 ： 作 矩 阵 ： 601424 52712 11031 21301) , , ,( 4321 TTTTA 例 、 求 )4 ,2 ,1 ,1(1 , )2 ,1 ,3 ,0(2 , )14 ,7 ,0 ,3( 3 , )0 ,2 ,1 ,1(4 , )6 ,5 ,1 ,2(5 的 一 个 极 大 无 关 组 并 将 其 余 向 量 由 极 大 无 关 组 线 性 表 示 。 例 10 24220 10110 30330 21301初 等 行 变 换 所 以 421 , 为 54321 , 的 一 个 极 大 无 关 组 , 且 有 213 3 ； 4215 。