《阶线性方程》PPT课件

一 阶 线 性 微 分 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 四 节 一 、 一 阶 线 性 微 分 方 程二 、 伯 努 利 方 程 第 十 二 章 一 、 一 阶 线 性 微 分 方 程一 阶 线 性 微 分 方 程 标 准 形 式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy若 Q(x) 0, 称 为 非 齐 次 方 程 .1. 解 齐 次 方 程分 离 变 量 xxPyy d)(d 两 边 积 分 得 CxxPy lnd)(ln 故 通 解 为 xxPeCy d)(称 为 齐 次 方 程 ; 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 应 齐 次 方 程 通 解 xxPeCy d)(齐 次 方 程 通 解 非 齐 次 方 程 特 解 xxPCe d)(2. 解 非 齐 次 方 程 )()(dd xQyxPxy 用 常 数 变 易 法 : ,)()( d)( xxPexuxy 则 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ故 原 方 程 的 通 解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(y即 即 作 变 换 xxPeuxP d)()( xxPexQxu d)()(dd CxexQu xxP d)( d)(两 端 积 分 得 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 解 方 程 .)1(12dd 25 xx yxy解 : 先 解 ,012dd x yxy 即 1d2d x xyy积 分 得 ,ln1ln2ln Cxy 即 2)1( xCy用 常 数 变 易 法 求 特 解 . 令 ,)1()( 2 xxuy 则)1(2)1( 2 xuxuy代 入 非 齐 次 方 程 得 21)1( xu解 得 Cxu 23)1(32故 原 方 程 通 解 为 Cxxy 232 )1(32)1( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 方 程 的 通 解 .解 : 注 意 x, y 同 号 , ,d2d,0 xxxx 时当 yyxyx 2dd2 yyP 21)( yyQ 1)( 由 一 阶 线 性 方 程 通 解 公 式 , 得ex yy2d ey1 yy2d Cx lnd 故 方 程 可变 形 为 0d2d 3 yyxyyxxy y1 y1 lnd Cy所 求 通 解 为 )0( CCey yx yCy ln这 是 以 x 为 因 变 量 , y为 自 变 量 的 一 阶 线 性 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 闭 合 回 路 中 , 所 有 支 路 上 的 电 压 降 为 0例 3. 有 一 电 路 如 图 所 示 , ,sin tEE m 电 动 势 为 电 阻 R 和 电.)(ti L ER K解 : 列 方 程 .已 知 经 过 电 阻 R 的 电 压 降 为 R i 经 过 L的 电 压 降 为 tiLdd因 此 有 ,0dd iRtiLE 即 L tEiLRti m sindd 初 始 条 件 : 00 ti由 回 路 电 压 定 律 :其 中 电 源求 电 流感 L 都 是 常 量 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 L ER K解 方 程 : L tEiLRti m sindd 00 ti CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(由 初 始 条 件 : 00 ti 得 222 LR LEC m)(ti dtLRe tLEm sin tLRm eCtLtRLR E )cossin(222 te tLR dd C利 用 一 阶 线 性 方 程 解 的 公 式 可 得 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 tLRm eLR LEti 222)( )cossin(222 tLtRLR Em tLRm eLR LEti 222)( )sin(222 tLR Em暂 态 电 流 稳 态 电 流则令 ,arctan RL L ER K因 此 所 求 电 流 函 数 为解 的 意 义 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 伯 努 利 ( Bernoulli )方 程 伯 努 利 方 程 的 标 准 形 式 : )1,0()()(dd nyxQyxPxy nny以 )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 则 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求 出 此 方 程 通 解 后 ,除 方 程 两 边 , 得换 回 原 变 量 即 得 伯 努 利 方 程 的 通 解 .解 法 : (线 性 方 程 ) 伯 努 利 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 求 方 程 2)ln(dd yxaxyxy 的 通 解 .解 : 令 ,1 yz 则 方 程 变 形 为xaxzxz lndd 其 通 解 为 ez 将 1 yz 1)ln(2 2 xaCxy xx d1 exa )ln( xx d1 Cxd 2)ln(2 xaCx 代 入 , 得 原 方 程 通 解 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 一 阶 线 性 方 程 )()(dd xQyxPxy 方 法 1 先 解 齐 次 方 程 , 再 用 常 数 变 易 法 .方 法 2 用 通 解 公 式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(,1 nyu 令 化 为 线 性 方 程 求 解 .2. 伯 努 利 方 程 nyxQyxPxy )()(dd )1,0( n 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习判 别 下 列 方 程 类 型 :xyyxyxyx dddd)1( )ln(lndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxy dd)2ln()5( 提 示 : xxyyy dd1 可 分 离 变 量 方 程xyxyxy lndd 齐 次 方 程221dd 2xyxxy 线 性 方 程221dd 2yxyyx 线 性 方 程2sin2dd yx xyxxy 伯 努 利方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P281 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 作 业 第 五 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 备 用 题1. 求 一 连 续 可 导 函 数 )(xf 使 其 满 足 下 列 方 程 :ttxfxxf x d)(sin)( 0 提 示 : 令 txu uufxxf x d)(sin)( 0则 有 xxfxf cos)()( 0)0( f利 用 公 式 可 求 出 )sin(cos21)( xexxxf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 设 有 微 分 方 程 ,)(xfyy 其 中)(xf 10,2 x1,0 x试 求 此 方 程 满 足 初 始 条 件 00 xy 的 连 续 解 .解 : 1) 先 解 定 解 问 题 10,2 xyy 00 xy利 用 通 解 公 式 , 得 xey d 1d d2 Cxe x )2( 1Cee xx xeC 12利 用 00 xy 得 21 C故 有 )10(22 xey x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2) 再 解 定 解 问 题 1,0 xyy 11 22)1( eyy x此 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 为 )1(2 xeCy x利 用 衔 接 条 件 得 )1(22 eC因 此 有 )1()1(2 xeey x3) 原 问 题 的 解 为y 10),1(2 xe x 1,)1(2 xee x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ( 雅 各 布 第 一 伯 努 利 ) 书 中 给 出 的 伯 努 利 数 在 很 多 地 方 有 用 , 伯 努 利 (1654 1705)瑞 士 数 学 家 , 位 数 学 家 . 标 和 极 坐 标 下 的 曲 率 半 径 公 式 , 1695年 版 了 他 的 巨 著 猜 度 术 ,上 的 一 件 大 事 , 而 伯 努 利 定 理 则 是 大 数 定 律 的 最 早 形 式 . 年 提 出 了 著 名 的 伯 努 利 方 程 , 他 家 祖 孙 三 代 出 过 十 多 1694年 他 首 次 给 出 了 直 角 坐 1713年 出 这 是 组 合 数 学 与 概 率 论 史此 外 , 他 对双 纽 线 , 悬 链 线 和 对 数 螺 线 都 有 深 入 的 研 究 .